Întrebări frecvente despre puteri și ordinea operațiilor

Răspundem la cele mai întâlnire întrebări legate de puteri și ordinea operațiilor.

Ce sunt puterile?

Cu ajutorul puterilor putem scrie mai scurt înmulțirile repetate. De exemplu, în loc de

2 \times 2 \times 2 \times 2

, putem scrie

2^{4}

. În acest caz, numărul

2

reprezintă baza, iar numărul

4

reprezintă exponentul. Exponentul ne spune din câți factori egali cu baza va fi format produsul. Deci,

2^{4}

înseamnă

2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

. Puterile sunt utile atunci când vrem să scriem numere mari sau să comparăm numere care au foarte mulți divizori.

De ce avem nevoie de puteri?

Matematicienii care au vrut să-și facă munca mai ușoară și să lucreze mai rapid au inventat puterile. Imaginează-ți că ar fi trebuit să scrii sau să spui un număr precum

1 000 000 000 000

. Ți-ar fi trebuit foarte mult timp și spațiu, nu-i așa? Dar dacă folosim puteri putem scrie numărul de mai înainte sub forma

10^{12}

. Această scriere înseamnă:

\underset{12 factori}{\underset{⏟}{10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}}

Înțelegi cât de mult se scurtează și se simplifică expresiile când folosim puteri?

Folosim puteri pentru a scrie și compara numere foarte mari sau foarte mici, precum dimensiunea Universului, viteza luminii, populația lumii sau masa unui atom.

De asemenea, folosim puteri pentru a modela și previziona modele de creștere sau descreștere. De exemplu, urmărim contul bancar, răspândirea unui virus, ciclul de viață al unei baterii sau timpul de înjumătățire al unei substanțe radioactive.

Cum aflăm puterile numerelor?

Pentru a afla valoarea unei puteri a unui număr natural, înmulțim baza cu ea însăși de atâtea ori cât arată exponentul. Iată un exemplu:

\begin{aligned} 3^{2} & = \underset{2 factori}{\underset{⏟}{3 \times 3}} \\ = 9 \end{aligned}

Puterile de fracții sau numere zecimale nu sunt altceva decât baze date ca fracții sau numere zecimale ridicate la putere. Pentru a afla valoarea unei puteri de fracție sau de număr zecimal, pur și simplu înmulțim baza cu ea însăși de atâtea ori cât arată exponentul. Iată un exemplu:

\begin{aligned} {(\frac{5}{2})}^{3} & = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} \\ = \frac{125}{8} \end{aligned}

De unde provine ordinea operațiilor?

Ordinea operațiilor sau convențiile de efectuare a calculelor aritmetice dintr-o anumită succesiune nu este o lege universală sau a naturii, ci o invenție a oamenilor care s-a dezvoltat în timp, în mai multe culturi. Oameni diferiți își organizează în mod diferit felul în care reprezintă operațiile matematice, în funcție de nevoile, preferințele și tradițiile lor.

De exemplu, în India antică, matematicienii foloseau sistemul de simboluri și reguli numit siddhanta, cel care a inclus noțiunile zero, numere negative, fracții, algebră și trigonometrie. Ei respectau o ordine generală a operațiilor foarte asemănătoare cu cea din zilele noastre, cu singura excepție că ei dădeau puterii cel mai mare rang, urmat de extragerea rădăcinilor, apoi înmulțirea și împărțirea, iar la sfârșit adunarea și scăderea.

În China antică, matematicienii foloseau un sistem de bețișoare sau personaje pentru a reprezenta numere și operații, precum și o tablă de numărare sau un abac pentru a efectua calcule. De asemenea, respectau o ordine a operațiilor foarte asemănătoare cu a noastră, cu excepția faptului că înmulțirea și împărțirea aveau același rang cu adunarea și scăderea, iar parantezele erau folosite pentru a indica ordinea expresiilor incluse.

În Egiptul antic, matematicienii foloseau hieroglifele și fracțiile pentru a reprezenta numere și operații, iar calculele le făceau pe papirus sau plăci de ardezie. Ei nu aveau o ordine prestabilită a operațiilor, dar se bazau pe context sau pe tipul de problemă pentru a determina succesiunea de pași. Ei foloseau adesea fracții unitate sau fracții cu numărătorul unu pentru a simplifica fracțiile complexe și foloseau metoda falsei poziționări pentru a rezolva ecuații.

Istoricul ordinii operațiilor folosită de noi începe undeva înapoi în timp, în secolele al 16-lea și al 17-lea, când matematicieni precum Francois Viete, Rene Descartes și Gottfried Leibniz au dezvoltat notația agebrică modernă și regulile de lucru cu puteri și rădăcini. Tot ei sunt cei care au introdus și parantezele pentru a indica o grupare și prioritatea operațiilor. Totuși, nu a existat o convenție universal valabilă privind ordinea operațiilor pentru înmulțire, împărțire, adunare și scădere până în secolul al 19-lea.

Prima menționare explicită a ordinii operațiilor într-o carte a apărut în 1917, făcută de David Eugene Smith și William David Reeve în cartea lor intitulată "Un prim curs de Algebră". Ei au folosit termenul "ierarhia operațiilor" și stabileau că "operațiile incluse [sic] în paranteze trebuie efectuate înaintea celorlalte operații; apoi, din restul operațiilor, vor fi efectuate cele care reprezintă puteri, radicali sau bară deasupra înainte de înmulțire sau împărțire, iar acestea din urmă se calculează înainte de adunare sau scădere." De asemenea, ei au folosit termenul "vinculum" referindu-se la o bară orizontală deasupra care grupează termeni, ca de exemplu

\overset{―}{a + b}

Acronimul PEIIAS a fost popularizat în 1958 de către William Betz, în cartea sa "Aritmetica, o abordare modernă". El a folosit expresia "please excuse my dear Aunt Sally" (PEDMAS) ca mnemonică prin care studenții săi să rețină ordinea operațiilor. În limba română, am putea încerca să reținem "prietenul este întotdeauna în acțiune sigură" ca mnemonică pentru PEIIAS.

În ce situații NU respectăm ordinea operațiilor?

De fapt, se întâmplă des asta! Chiar dacă ordinea operațiilor ne prezintă un mod de a evalua o expresie, proprietățile adunării și înmulțirii ne permit o oarecare flexibilitate.

Proprietatea de distributivitate ne spune că, pentru un produs dintre un factor și o paranteză ce conține sumă sau diferență, putem înmulți factorul cu fiecare termen din paranteze în loc să adunăm, respectiv să scădem mai întâi ce este în interiorul parantezelor.
Proprietatea de comutativitate a adunării spune că putem aduna termenii în orice ordine, nu neapărat de la stânga la dreapta. Aceste proprietății ne dau o libertate foarte mare, mai ales pentru operațiile cu numere negative, deoarece putem rescrie expresiile folosind adunare în loc de scădere.
Proprietatea de comutativitate a înmulțirii ne spune că putem înmulți factorii în orice ordine, nu neapărat de la stânga la dreapta. Dacă luăm în calcul inversul unui număr, vom putea rescrie expresiile cu împărțiri folosind înmulțirea.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.