Conţinutul principal

Ridicare rapidă la putere modulară

Clasa Google

Cum putem calcula rapid A^B mod C dacă B este o putere a lui 2?

Folosind regulile de la înmulțirea modulară:

ex. A^2 mod C = (A * A) mod C = ((A mod C) * (A mod C)) mod C

Putem folosi această regulă pentru a calcula 7^256 mod 13 rapid

7^1 mod 13 = 7
7^2 mod 13 = (7^1 *7^1) mod 13 = (7^1 mod 13 * 7^1 mod 13) mod 13

Putem înlocui rezultatul nostru anterior cu 7^1 mod 13 în această egalitate.

7^2 mod 13 = (7 *7) mod 13 = 49 mod 13 = 10
7^2 mod 13 = 10

7^4 mod 13 = (7^2 *7^2) mod 13 = (7^2 mod 13 * 7^2 mod 13) mod 13

Putem înlocui rezultatul nostru anterior cu 7^2 mod 13 în această egalitate.

7^4 mod 13 = (10 * 10) mod 13 = 100 mod 13 = 9
7^4 mod 13 = 9

7^8 mod 13 = (7^4 * 7^4) mod 13 = (7^4 mod 13 * 7^4 mod 13) mod 13

Putem înlocui rezultatul nostru anterior cu 7^4 mod 13 în această egalitate.

7^8 mod 13 = (9 * 9) mod 13 = 81 mod 13 = 3
7^8 mod 13 = 3

Continuăm în acest mod, înlocuind rezultatele anterioare în ecuaţiile noastre.

...după 5 iterații obținem:

7^256 mod 13 = (7^128 * 7^128) mod 13 = (7^128 mod 13 * 7^128 mod 13) mod 13
7^256 mod 13 = (3 * 3) mod 13 = 9 mod 13 = 9
7^256 mod 13 = 9

Acum avem o metodă de a calcula rapid A^B mod C, cu condiția ca B să fie o putere a lui 2.

Cu toate acestea, avem nevoie și de o metodă pentru ridicarea la putere modulară rapidă atunci când B nu este o putere a lui 2.

Cum putem calcula rapid A^B mod C pentru orice B?

Pasul 1: Împărțim B în puteri ale lui 2 prin scrierea în format binar (în baza doi)

Începând de la cea mai din dreapta cifră, se consideră k=0 iar pentru fiecare cifră:

Dacă cifra este 1, avem nevoie de o parte pentru 2^k, altfel nu
Adunăm 1 la k și ne mutăm spre stânga, la următoarea cifră

Pasul 2: Calculăm mod C din puterile lui doi ≤ B

5^1 mod 19 = 5

5^2 mod 19 = (5^1 * 5^1) mod 19 = (5^1 mod 19 * 5^1 mod 19) mod 19
5^2 mod 19 = (5 * 5) mod 19 = 25 mod 19
5^2 mod 19 = 6

5^4 mod 19 = (5^2 * 5^2) mod 19 = (5^2 mod 19 * 5^2 mod 19) mod 19
5^4 mod 19 = (6 * 6) mod 19 = 36 mod 19
5^4 mod 19 = 17

5^8 mod 19 = (5^4 * 5^4) mod 19 = (5^4 mod 19 * 5^4 mod 19) mod 19
5^8 mod 19 = (17 * 17) mod 19 = 289 mod 19
5^8 mod 19 = 4

5^16 mod 19 = (5^8 * 5^8) mod 19 = (5^8 mod 19 * 5^8 mod 19) mod 19
5^16 mod 19 = (4 * 4) mod 19 = 16 mod 19
5^16 mod 19 = 16

5^32 mod 19 = (5^16 * 5^16) mod 19 = (5^16 mod 19 * 5^16 mod 19) mod 19
5^32 mod 19 = (16 * 16) mod 19 = 256 mod 19
5^32 mod 19 = 9

5^64 mod 19 = (5^32 * 5^32) mod 19 = (5^32 mod 19 * 5^32 mod 19) mod 19
5^64 mod 19 = (9 * 9) mod 19 = 81 mod 19
5^64 mod 19 = 5

Pasul 3: Utilizăm proprietățile înmulțirii modulare, pentru a combina valorile mod C deja calculate

5^117 mod 19 = ( 5^1 * 5^4 * 5^16 * 5^32 * 5^64) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5^1 mod 19 * 5^4 mod 19 * 5^16 mod 19 * 5^32 mod 19 * 5^64 mod 19) mod 19
5^117 mod 19 = ( 5 * 17 * 16 * 9 * 5 ) mod 19
5^117 mod 19 = 61200 mod 19 = 1
5^117 mod 19 = 1

Observații:

Există și alte tehnici de optimizare, dar acestea nu fac obiectul acestui articol. Trebuie menționat că pentru ridicarea la putere modulară, în criptografie, se pot folosi exponenți B > 1000 biți.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Teoria informației și criptografie