If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 7: Descompunerea în factori a pătraticelor: Diferența de pătrate
Matematică
Bazele algebrei
Pătratice și polinomiale
Descompunerea în factori a pătraticelor: Diferența de pătrate
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Descompunerea în factori a pătraticelor: Diferența de pătrate

Clasa Google
Învață cum să descompui pătratice de forma "diferență de pătrate". De exemplu, scrie x²-16 ca (x+4)(x-4).
Descompunerea unui polinom presupune scrierea lui ca produs a două sau mai multe polinoame. Reprezintă procesul invers înmulțirii polinomiale.
În acest articol, vom învăţa cum să folosim modelul diferenței de pătrate pentru a descompune anumite polinoame. Dacă nu cunoști diferența de pătrate, te rugăm să vezi acest videoclip înainte de a continua.

Introducere: Modelul diferenței de pătrate

Fiecare polinom care este o diferenţă de pătrate poate fi descompus prin aplicarea următoarei formule:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Ține cont că a și b pot fi orice expresie algebrică. De exemplu, pentru a, equals, x și b, equals, 2, obținem următoarele:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Polinomul x, squared, minus, 4 este acum exprimat în forma descompusă, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Putem extinde partea dreaptă a acestei ecuații pentru a justifica descompunerea:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
Acum că înţelegi modelul, hai să-l folosim pentru a descompune alte câteva polinoame.

Exemplul 1: Descompunerea lui x, squared, minus, 16

Atât x, squared cât și 16 sunt pătrate perfecte, deoarece x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared și 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Cu alte cuvinte:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Deoarece cele două pătrate se scad, putem vedea că acest polinom reprezintă o diferență de pătrate. Putem folosi modelul diferenței de pătrate pentru a descompune această expresie:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
În cazul nostru, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd și start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Prin urmare, polinomul nostru se descompune după cum urmează:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Putem verifica, asigurându-ne că produsul acestor doi factori este x, squared, minus, 16.

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune x, squared, minus, 25.
Alege un răspuns:

2) Descompune x, squared, minus, 100.

Întrebare reflectivă

3) Putem folosi modelul diferenței de pătrate pentru a descompune x, squared, plus, 25?
Alege un răspuns:

Exemplul 2: Descompune 4, x, squared, minus, 9

Coeficientul dominant nu trebuie să fie egal cu 1 pentru a utiliza modelul diferenței de pătrate. De fapt, diferenţa de pătrate poate fi folosită aici!
Acest lucru se datorează faptului că 4, x, squared și 9 sunt pătrate perfecte, deoarece 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared și 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Putem folosi această informaţie pentru a descompune polinomul folosind diferenţa de pătrate:
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
O verificare rapidă a înmulțirii verifică răspunsul nostru.

Verifică dacă ai înțeles

4) Descompune 25, x, squared, minus, 4.
Alege un răspuns:

5) Descompune 64, x, squared, minus, 81.

6) Descompune 36, x, squared, minus, 1.

Problemă provocare

7*) Descompune x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9.

8*) Descompune 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.