If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 8: Descompunerea în factori: Pătrate perfecte
Matematică
Bazele algebrei
Pătratice și polinomiale
Descompunerea în factori: Pătrate perfecte
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Descompunerea în factori: Pătrate perfecte

Clasa Google
Învață cum să descompui în factori pătratice de forma "pătrat perfect". De exemplu, scrie x²+6x+9 ca (x+3)².
Descompunerea unui polinom presupune scrierea lui ca produs de două sau mai multe polinoame. Inversează procesul de înmulțire a polinoamelor.
În acest articol, vei învăța cum să iei în calcul trinomamele pătrate perfecte folosind mode speciale. Acest lucru inversează procesul de ridicare la pătrat al unui binom, așa că ar trebui să înțelegi asta foarte bine înainte de a continua.

Introducere: Descompunerea trinoamelor pătrate perfecte

Pentru a dezvolta orice binom, putem aplica unul dintre următoarele modele.
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Observă că, în modele, a și b pot fi orice expresie algebrică. De exemplu, să presupunem că vrei să dezvolți left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. În acest caz, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd și start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54 și, astfel, obținem:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Poți verifica acest model folosind înmulțirea pentru a dezvolta left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
Inversarea acestui proces de dezvoltare este o formă de descompunere. Dacă rescriem ecuațiile în ordine inversă, vom avea modele pentru descompunerea polinoamelor de forma a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Putem aplica primul model pentru a descompune x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Aici avem start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd și start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Expresiile de această formă se numesc trinoame pătrate perfecte. Numele reflectă faptul că acest tip de polinom cu trei termeni poate fi exprimat ca un pătrat perfect!
Să aruncăm o privire la câteva exemple în care descompunem trinoamele pătrate perfecte folosind acest model.

Exemplul 1: Descompunerea lui x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Observă că atât primul, cât și ultimul termen sunt pătrațe perfecte: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared și 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. În plus, observă că termenul din mijloc este de două ori produsul numerelor la pătrat: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Asta ne spune că polinomul este un trinom pătrat perfect şi, astfel, putem folosi următorul model de descompunere:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
În cazul nostru, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd și start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Putem descompune polinomul după cum urmează:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Putem verifica prin dezvoltarea lui left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Alege un răspuns:

2) Descompune x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Alege un răspuns:

3) Descompune x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Exemplul 2: Descompune 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Coeficientul dominant al unui trinom pătrat perfect nu este obligatoriu să fie 1.
De exemplu, în 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, observă că atât primul, cât și ultimul termen sunt pătrate perfecte: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared și 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. În plus, observă că termenul din mijloc este de două ori produsul numerelor la pătrat: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Deoarece satisface condițiile de mai sus, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 este un trinom pătrat perfect. Putem aplica din nou următorul model de descompunere.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
În acest caz, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd și start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Polinomul se descompune după cum urmează:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Putem face verificarea prin dezvoltarea lui left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Verifică dacă ai înțeles

4) Descompune 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Alege un răspuns:

5) Descompune 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Problemă provocare

6*) Descompune x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Descompune 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.