If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Descompunerea polinoamelor prin scoaterea factorului comun

Învață cum să scoți factor comun dintr-o expresie polinomială. De exemplu, descompunem 6x²+10x ca 2x(3x+5).

Cu ce ar trebui să fi familiarizat înainte de această lecție?

cmmdc (cel mai mare divizor comun) a două sau mai multe monoame este produsul tuturor factorilor primi comuni ai acestora. De exemplu, cmmdc-ul lui 6, x și 4, x, squared este 2, x.
Dacă este ceva nou pentru tine, vei dori să vezi cei mai mari divizori comuni ai monoamelor.

Ce vei învăța în această lecție?

În această lecţie, vei învăţa cum să scoți factori comuni din polinoame.

Proprietatea de distributivitate: a, left parenthesis, b, plus, c, right parenthesis, equals, a, b, plus, a, c

Pentru a înțelege cum să scoatem factori comuni, trebuie să înțelegem proprietatea de distributivitate.
De exemplu, putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a găsi produsul dintre 3, x, squared și 4, x, plus, 3 ca mai jos:
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Observăm că fiecare termen din binom a fost înmulțit cu factorul comun start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99.
Cu toate acestea, pentru că proprietatea de distributivitate este o egalitate, este adevărat și procesul invers.
start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis
Dacă începem cu 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, plus, 3, x, squared, left parenthesis, 3, right parenthesis, putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun start color #0c7f99, 3, x, squared, end color #0c7f99 și să obținem 3, x, squared, left parenthesis, 4, x, plus, 3, right parenthesis.
Expresia rezultată este în forma descompusă deoarece este scrisă ca un produs format din două polinoame, în timp ce expresia inițială este o sumă a doi termeni.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1
Descompune în factori 2, x, left parenthesis, 3, x, right parenthesis, plus, 2, x, left parenthesis, 5, right parenthesis.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Cum scoatem ca factor cel mai mare divizor comun (cmmdc)?

Pentru a scoate factor comun pe cmmdc dintr-un polinom, procedăm astfel:
  1. Găsim cmmdc-ul tuturor termenilor din polinom.
  2. Exprimăm fiecare termen ca produs dintre cmmdc și alt factor.
  3. Folosim proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun cmmdc-ul.
Hai scoatem factor comun pe cmmdc din 2, x, cubed, minus, 6, x, squared.
Pasul 1: Găsim cmmdc-ul
  • 2, x, cubed, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, x
  • 6, x, squared, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, 3, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10
Deci cmmdc-ul din 2, x, cubed, minus, 6, x, squared este start color #ca337c, 2, end color #ca337c, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, dot, start color #e07d10, x, end color #e07d10, equals, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99.
Pasul 2: Exprimăm fiecare termen ca produs între start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99 și alt factor.
  • 2, x, cubed, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis
  • 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis
Astfel, polinomul poate fi scris ca 2, x, cubed, minus, 6, x, squared, equals, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, squared, end color #0c7f99, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
Pasul 3: Scoaterea ca factor comun a cmmdc-ului
Acum putem aplica proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun pe start color #01a995, 2, x, squared, end color #01a995.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis
Verificăm rezultatul nostru
Putem verifica descompunerea noastră înmulțind pe 2, x, squared și ajungând înapoi la polinom.
start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, x, squared, end color #0c7f99, left parenthesis, 3, right parenthesis
Deoarece acesta este acelaşi cu polinomul inițial, descompunerea noastră este corectă!

Verifică dacă ai înțeles

Problema 2
Scoate factor comun cmmdc-ul din 12, x, squared, plus, 18, x.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Problema 3
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
10, x, squared, plus, 25, x, plus, 15, equals

Problema 4
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
x, start superscript, 4, end superscript, minus, 8, x, cubed, plus, x, squared, equals

Putem fi mai eficienți?

Dacă te simţi confortabil cu procesul de scoatere a factorului comun a cmmdc-ului, poți utiliza o metodă mai rapidă:
Odată ce știm cmmdc-ul, forma descompusă este pur şi simplu produsul dintre cmmdc şi suma termenilor din polinomul inițial împărţită la cmmdc.
Vezi, de exemplu, cum folosim această metodă rapidă pentru a descompune pe 5, x, squared, plus, 10, x, al cărui cmmdc este start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99:
5, x, squared, plus, 10, x, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, start fraction, 5, x, squared, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, plus, start fraction, 10, x, divided by, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, end fraction, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, 5, x, end color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis

Scoaterea ca factori comuni a unor binoame

Factorul comun dintr-un polinom nu trebuie să fie neapărat monom.
De exemplu, să considerăm polinomul x, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis.
Observă că binomul start color #0c7f99, 2, x, minus, 1, end color #0c7f99 este comun pentru ambii termeni. Îl putem scoate ca factor comun, folosind proprietatea de distributivitate:
x, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, minus, 4, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, end color #0c7f99, start color #0c7f99, minus, 1, end color #0c7f99, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, 2, x, minus, end color #0c7f99, with, \overgroup, on top, with, \overgroup, on top, start color #0c7f99, 1, end color #0c7f99, right parenthesis

Verifică dacă ai înțeles

Problema 5
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals

Diferite tipuri de descompuneri în factori

Poate părea că am folosit termenul „factor” pentru a descrie mai multe procese diferite:
  • Am scos factor comun din monoame scriindu-le ca produs al altor monoame. De exemplu, 12, x, squared, equals, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, right parenthesis.
  • Am scos factor comun pe cmmdc din polinoame folosind proprietatea de distributivitate. De exemplu, 2, x, squared, plus, 12, x, equals, 2, x, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis.
  • Am scos ca factor comun binoamele, ceea ce a condus la o expresie egală cu produsul celor două binoame. De exemplu:
x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, plus, 2, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis
Deşi este posibil să fi folosit tehnici diferite, în fiecare caz scriem polinomul ca un produs a doi sau mai mulţi factori. Deci, în toate cele trei exemple, într-adevăr am scos factor comun polinomul.

Problemă provocare

Problema 6
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
12, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript, minus, 30, x, start superscript, 4, end superscript, y, squared, equals

Problema 7
Un dreptunghi mare cu o arie de 14, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 6, x, squared metri pătrați este împărţit în două dreptunghiuri mai mici cu arii de 14, x, start superscript, 4, end superscript şi 6, x, squared metri pătraţi.
Lățimea dreptunghiului (în metri) este egală cu cel mai mare factor comun al 14, x, start superscript, 4, end superscript și 6, x, squared.
Care este lungimea și lățimea dreptunghiului mare?
start text, L, a, with, \u, on top, ț, i, m, e, end text, equals
metri
start text, L, u, n, g, i, m, e, end text, equals
metri