Conţinutul principal

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 4: Descompunerea polinoamelor, dând factor comun

Descompunerea polinoamelor prin scoaterea factorului comun

Învață cum să scoți factor comun dintr-o expresie polinomială. De exemplu, descompunem 6x²+10x ca 2x(3x+5).

Cu ce ar trebui să fi familiarizat înainte de această lecție?

cmmdc (cel mai mare divizor comun) a două sau mai multe monoame este produsul tuturor factorilor primi comuni ai acestora. De exemplu, cmmdc-ul lui

6 x

și

4 x^{2}

este

2 x

Dacă este ceva nou pentru tine, vei dori să vezi cei mai mari divizori comuni ai monoamelor.

Ce vei învăța în această lecție?

În această lecţie, vei învăţa cum să scoți factori comuni din polinoame.

Proprietatea de distributivitate: $a (b + c) = a b + a c$ ‍

Pentru a înțelege cum să scoatem factori comuni, trebuie să înțelegem proprietatea de distributivitate.

De exemplu, putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a găsi produsul dintre

3 x^{2}

și

4 x + 3

ca mai jos:

3 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (4 x + 3) = 3} x^{2} (4 x) + 3} x^{2} (3)

Observăm că fiecare termen din binom a fost înmulțit cu factorul comun

3 x^{2}

Cu toate acestea, pentru că proprietatea de distributivitate este o egalitate, este adevărat și procesul invers.

3 \overset{⏜}{x^{2} (4 x) + 3 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 3}} x^{2} (4 x + 3)

Dacă începem cu

3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} (3)

, putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun

3 x^{2}

și să obținem

3 x^{2} (4 x + 3)

Expresia rezultată este în forma descompusă deoarece este scrisă ca un produs format din două polinoame, în timp ce expresia inițială este o sumă a doi termeni.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1

Descompune în factori $2 x (3 x) + 2 x (5)$ ‍.

Cum scoatem ca factor cel mai mare divizor comun (cmmdc)?

Pentru a scoate factor comun pe cmmdc dintr-un polinom, procedăm astfel:

Găsim cmmdc-ul tuturor termenilor din polinom.
Exprimăm fiecare termen ca produs dintre cmmdc și alt factor.
Folosim proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun cmmdc-ul.

Hai scoatem factor comun pe cmmdc din

2 x^{3} - 6 x^{2}

Pasul 1: Găsim cmmdc-ul

$2 x^{3} = 2 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍
$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

Deci cmmdc-ul din

2 x^{3} - 6 x^{2}

este

2 \cdot x \cdot x = 2 x^{2}

Pasul 2: Exprimăm fiecare termen ca produs între $2 x^{2}$ ‍ și alt factor.

$2 x^{3} = (2 x^{2}) (x)$ ‍
$6 x^{2} = (2 x^{2}) (3)$ ‍

[Mi-ar plăcea să văd cum să găsesc ceilalţi factori.]

Astfel, polinomul poate fi scris ca

2 x^{3} - 6 x^{2} = (2 x^{2}) (x) - (2 x^{2}) (3)

Pasul 3: Scoaterea ca factor comun a cmmdc-ului

Acum putem aplica proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun pe

2 x^{2}

2 \overset{⏜}{x^{2} (x) - 2 \overset{⏜}{x^{2} (3) = 2}} x^{2} (x - 3)

Verificăm rezultatul nostru

Putem verifica descompunerea noastră înmulțind pe

2 x^{2}

și ajungând înapoi la polinom.

2 \overset{⏜}{\overset{⏜}{x^{2} (x - 3) = 2} x^{2} (x) - 2} x^{2} (3)

Deoarece acesta este acelaşi cu polinomul inițial, descompunerea noastră este corectă!

Verifică dacă ai înțeles

Problema 2

Scoate factor comun cmmdc-ul din $12 x^{2} + 18 x$ ‍.

Problema 3

Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.

10 x^{2} + 25 x + 15 =

Problema 4

Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.

x^{4} - 8 x^{3} + x^{2} =

Putem fi mai eficienți?

Dacă te simţi confortabil cu procesul de scoatere a factorului comun a cmmdc-ului, poți utiliza o metodă mai rapidă:

Odată ce știm cmmdc-ul, forma descompusă este pur şi simplu produsul dintre cmmdc şi suma termenilor din polinomul inițial împărţită la cmmdc.

Vezi, de exemplu, cum folosim această metodă rapidă pentru a descompune pe

5 x^{2} + 10 x

, al cărui cmmdc este

5 x

5 x^{2} + 10 x = 5 x (\frac{5 x^{2}}{5 x} + \frac{10 x}{5 x}) = 5 x (x + 2)

Scoaterea ca factori comuni a unor binoame

Factorul comun dintr-un polinom nu trebuie să fie neapărat monom.

De exemplu, să considerăm polinomul

x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)

Observă că binomul

2 x - 1

este comun pentru ambii termeni. Îl putem scoate ca factor comun, folosind proprietatea de distributivitate:

x (2 x \overset{⏜}{- 1) - 4 (2 x \overset{⏜}{- 1) = (x - 4) (2 x -}} 1)

[Încă mai sunt confuz. Există o altă explicație?]

[De ce este 2x-1 în paranteze?]

Verifică dacă ai înțeles

Problema 5

Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.

2 x (x + 3) + 5 (x + 3) =

Diferite tipuri de descompuneri în factori

Poate părea că am folosit termenul „factor” pentru a descrie mai multe procese diferite:

Am scos factor comun din monoame scriindu-le ca produs al altor monoame. De exemplu, $12 x^{2} = (4 x) (3 x)$ ‍.
Am scos factor comun pe cmmdc din polinoame folosind proprietatea de distributivitate. De exemplu, $2 x^{2} + 12 x = 2 x (x + 6)$ ‍.
Am scos ca factor comun binoamele, ceea ce a condus la o expresie egală cu produsul celor două binoame. De exemplu:

x (x + 1) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x + 2)

Deşi este posibil să fi folosit tehnici diferite, în fiecare caz scriem polinomul ca un produs a doi sau mai mulţi factori. Deci, în toate cele trei exemple, într-adevăr am scos factor comun polinomul.

Problemă provocare

Problema 6

Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.

12 x^{2} y^{5} - 30 x^{4} y^{2} =

Problema 7

Un dreptunghi mare cu o arie de

14 x^{4} + 6 x^{2}

metri pătrați este împărţit în două dreptunghiuri mai mici cu arii de

14 x^{4}

şi

6 x^{2}

metri pătraţi.

Lățimea dreptunghiului (în metri) este egală cu cel mai mare factor comun al

14 x^{4}

și

6 x^{2}

Care este lungimea și lățimea dreptunghiului mare?

Lățime =

metri

Lungime =

metri

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Cu ce ar trebui să fi familiarizat înainte de această lecție?

Ce vei învăța în această lecție?

Proprietatea de distributivitate: a(b+c)=ab+ac‍

Verifică dacă ai înțeles

Cum scoatem ca factor cel mai mare divizor comun (cmmdc)?

Verifică dacă ai înțeles

Putem fi mai eficienți?

Scoaterea ca factori comuni a unor binoame

Verifică dacă ai înțeles

Diferite tipuri de descompuneri în factori

Problemă provocare

Vrei să te alături conversației?

Proprietatea de distributivitate: $a (b + c) = a b + a c$ ‍