If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Descompunerea polinoamelor prin scoaterea factorului comun

Învață cum să scoți factor comun dintr-o expresie polinomială. De exemplu, descompunem 6x²+10x ca 2x(3x+5).

Cu ce ar trebui să fi familiarizat înainte de această lecție?

cmmdc (cel mai mare divizor comun) a două sau mai multe monoame este produsul tuturor factorilor primi comuni ai acestora. De exemplu, cmmdc-ul lui 6x și 4x2 este 2x.
Dacă este ceva nou pentru tine, vei dori să vezi cei mai mari divizori comuni ai monoamelor.

Ce vei învăța în această lecție?

În această lecţie, vei învăţa cum să scoți factori comuni din polinoame.

Proprietatea de distributivitate: a(b+c)=ab+ac

Pentru a înțelege cum să scoatem factori comuni, trebuie să înțelegem proprietatea de distributivitate.
De exemplu, putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a găsi produsul dintre 3x2 și 4x+3 ca mai jos:
3x2(4x+3)=3x2(4x)+3x2(3)
Observăm că fiecare termen din binom a fost înmulțit cu factorul comun 3x2.
Cu toate acestea, pentru că proprietatea de distributivitate este o egalitate, este adevărat și procesul invers.
3x2(4x)+3x2(3)=3x2(4x+3)
Dacă începem cu 3x2(4x)+3x2(3), putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun 3x2 și să obținem 3x2(4x+3).
Expresia rezultată este în forma descompusă deoarece este scrisă ca un produs format din două polinoame, în timp ce expresia inițială este o sumă a doi termeni.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1
Descompune în factori 2x(3x)+2x(5).
Alege un răspuns:

Cum scoatem ca factor cel mai mare divizor comun (cmmdc)?

Pentru a scoate factor comun pe cmmdc dintr-un polinom, procedăm astfel:
  1. Găsim cmmdc-ul tuturor termenilor din polinom.
  2. Exprimăm fiecare termen ca produs dintre cmmdc și alt factor.
  3. Folosim proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun cmmdc-ul.
Hai scoatem factor comun pe cmmdc din 2x36x2.
Pasul 1: Găsim cmmdc-ul
  • 2x3=2xxx
  • 6x2=23xx
Deci cmmdc-ul din 2x36x2 este 2xx=2x2.
Pasul 2: Exprimăm fiecare termen ca produs între 2x2 și alt factor.
  • 2x3=(2x2)(x)
  • 6x2=(2x2)(3)
Astfel, polinomul poate fi scris ca 2x36x2=(2x2)(x)(2x2)(3).
Pasul 3: Scoaterea ca factor comun a cmmdc-ului
Acum putem aplica proprietatea de distributivitate pentru a scoate factor comun pe 2x2.
2x2(x)2x2(3)=2x2(x3)
Verificăm rezultatul nostru
Putem verifica descompunerea noastră înmulțind pe 2x2 și ajungând înapoi la polinom.
2x2(x3)=2x2(x)2x2(3)
Deoarece acesta este acelaşi cu polinomul inițial, descompunerea noastră este corectă!

Verifică dacă ai înțeles

Problema 2
Scoate factor comun cmmdc-ul din 12x2+18x.
Alege un răspuns:

Problema 3
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
10x2+25x+15=

Problema 4
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
x48x3+x2=

Putem fi mai eficienți?

Dacă te simţi confortabil cu procesul de scoatere a factorului comun a cmmdc-ului, poți utiliza o metodă mai rapidă:
Odată ce știm cmmdc-ul, forma descompusă este pur şi simplu produsul dintre cmmdc şi suma termenilor din polinomul inițial împărţită la cmmdc.
Vezi, de exemplu, cum folosim această metodă rapidă pentru a descompune pe 5x2+10x, al cărui cmmdc este 5x:
5x2+10x=5x(5x25x+10x5x)=5x(x+2)

Scoaterea ca factori comuni a unor binoame

Factorul comun dintr-un polinom nu trebuie să fie neapărat monom.
De exemplu, să considerăm polinomul x(2x1)4(2x1).
Observă că binomul 2x1 este comun pentru ambii termeni. Îl putem scoate ca factor comun, folosind proprietatea de distributivitate:
x(2x1)4(2x1)=(x4)(2x1)

Verifică dacă ai înțeles

Problema 5
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
2x(x+3)+5(x+3)=

Diferite tipuri de descompuneri în factori

Poate părea că am folosit termenul „factor” pentru a descrie mai multe procese diferite:
  • Am scos factor comun din monoame scriindu-le ca produs al altor monoame. De exemplu, 12x2=(4x)(3x).
  • Am scos factor comun pe cmmdc din polinoame folosind proprietatea de distributivitate. De exemplu, 2x2+12x=2x(x+6).
  • Am scos ca factor comun binoamele, ceea ce a condus la o expresie egală cu produsul celor două binoame. De exemplu:
x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)
Deşi este posibil să fi folosit tehnici diferite, în fiecare caz scriem polinomul ca un produs a doi sau mai mulţi factori. Deci, în toate cele trei exemple, într-adevăr am scos factor comun polinomul.

Problemă provocare

Problema 6
Scoate ca factor comun cel mai mare divizor comun din următorul polinom.
12x2y530x4y2=

Problema 7
Un dreptunghi mare cu o arie de 14x4+6x2 metri pătrați este împărţit în două dreptunghiuri mai mici cu arii de 14x4 şi 6x2 metri pătraţi.
Lățimea dreptunghiului (în metri) este egală cu cel mai mare factor comun al 14x4 și 6x2.
Care este lungimea și lățimea dreptunghiului mare?
Lățime=
metri
Lungime=
metri