If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Descompunerea pătraticelor: coeficientul dominant = 1

Învață cum să descompui în factori expresii pătratice ca produs a două binoame liniare. De exemplu,  x²+5x+6=(x+2)(x+3).

Ce trebuie să știi pentru această lecție?

Scrierea divizorilor unui polinom presupune scrierea lui ca produs a două sau mai multe polinoame. Inversează procesul de înmulțire a polinoamelor. Pentru mai multe detalii, vedeți articolul precedent despre scoaterea unor factori comuni.

Ce vei învăța în această lecție?

În această lecție, vei învăța cum să descompui un polinom de forma x, squared, plus, b, x, plus, c ca produs a două binoame.

Recapitulare: Înmulțirea binoamelor

Să considerăm expresia left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Putem găsi produsul aplicând proprietatea de distributivitate de mai multe ori.
(x+2)(x+4)=(x+2)(x)+(x+2)(4)=x2+2x+4x+8=x2+6x+8\begin{aligned} \tealD{(x+2)}(x+4)&=\tealD{(x+2)}(x)+\tealD{(x+2)}(4)\\\\ &=x^2+2x+4x+8\\\\ &=x^2+6x+8 \end{aligned}
Deci avem left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 6, x, plus, 8.
Din aceasta, vedem că x, plus, 2 și x, plus, 4 sunt divizori ai lui x, squared, plus, 6, x, plus, 8. Dar cum am putea găsi aceşti divizori dacă nu am începe cu ei?

Descompunerea trinoamelor

Putem inversa procesul de înmulțire a binoamelor prezentat mai sus, pentru a descompune în factori un trinom (care este un polinom cu 3 termeni).
Cu alte cuvinte, dacă începem cu x, squared, plus, 6, x, plus, 8, putem folosi descompunerea în factori pentru a-l scrie ca produs de două binoame, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis.
Hai să aruncăm o privire la câteva exemple pentru a vedea cum se face acest lucru.

Exemplul 1: Descompunerea lui x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Pentru a descompune x, squared, plus, start color #e07d10, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, mai întâi trebuie să găsim două numere care înmulțite dau start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff (număr constant) şi adunate dau start color #e07d10, 5, end color #e07d10 ( coeficientul lui x).
Aceste două numere sunt start color #11accd, 2, end color #11accd și start color #1fab54, 3, end color #1fab54 deoarece start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 6 și start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 5.
Putem să adunăm fiecare dintre aceste numere la x pentru a forma doi factori binomiali: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis și left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis.
În concluzie, am descompus în factori trinomul după cum urmează:
x, squared, plus, 5, x, plus, 6, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis
Pentru a verifica descompunerea, putem înmulți cele două binoame:
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+6=x2+5x+6\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=(x+2)(x)+(x+2)(3)\\ \\ &=x^2+2x+3x+6\\ \\ &=x^2+5x+6 \end{aligned}
Produsul lui x, plus, 2 și x, plus, 3 este într-adevăr x, squared, plus, 5, x, plus, 6. Descompunerea noastră este corectă!

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune x, squared, plus, 7, x, plus, 10.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

2) Descompune x, squared, plus, 9, x, plus, 20.

Să ne mai uităm la câteva exemple și să vedem ce putem învăța din ele.

Exemplul 2: Descompunerea lui x, squared, plus, 5, x, plus, 6

Pentru a descompune x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, hai să găsim mai întâi două numere care înmulțite dau start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff și adunate dau start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Aceste două numere sunt start color #11accd, minus, 2, end color #11accd și start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 deoarece left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 6 și left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 5.
Putem să adunăm fiecare dintre aceste numere la x pentru a forma doi factori binomiali: left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 2, end color #11accd, right parenthesis, right parenthesis și left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Descompunerea este prezentată mai jos:
x25x+6=(x+(2))(x+(3))=(x2)(x3)\begin{aligned}x^2-5x+6&=(x+(\blueD{-2}))(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x\blueD{-2})(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Modelul descompunerii: Observă că numerele necesare pentru a descompune x, squared, minus, 5, x, plus, 6 sunt ambele negative left parenthesis, minus, 2 cât și minus, 3, right parenthesis. Acest lucru se datorează faptului că produsul lor trebuie să fie pozitiv left parenthesis, 6, right parenthesis și suma lor negativă left parenthesis, minus, 5, right parenthesis.
În general, când se descompune x, squared, plus, b, x, plus, c, dacă c este pozitiv și b este negativ, atunci ambii factori vor fi negativi!

Exemplul 3: Descompunerea lui x, squared, minus, x, minus, 6

Putem scrie x, squared, minus, x, minus, 6 ca x, squared, minus, 1, x, minus, 6.
Pentru a descompune x, squared, start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff, hai să găsim mai întâi două numere care înmulțite dau start color #aa87ff, minus, 6, end color #aa87ff și adunate dau start color #e07d10, minus, 1, end color #e07d10.
Aceste două numere sunt start color #11accd, 2, end color #11accd și start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54 deoarece left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, dot, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 6 și start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, minus, 1.
Putem să adunăm fiecare dintre aceste numere la x pentru a forma doi factori binomiali: left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis și left parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, right parenthesis.
Descompunerea este prezentată mai jos:
x2x6=(x+2)(x+(3))=(x+2)(x3)\begin{aligned}x^2-x-6&=(x+\blueD2)(x+(\greenD{-3}))\\ \\ &=(x+\blueD2)(x\greenD{-3}) \end{aligned}
Modelul descompunerii: Observă că pentru a descompune x, squared, minus, x, minus, 6, avem nevoie de un număr pozitiv left parenthesis, 2, right parenthesis și un număr negativ left parenthesis, minus, 3, right parenthesis. Acest lucru se datorează faptului că produsul lor trebuie să fie negativ left parenthesis, minus, 6, right parenthesis.
În general, când se descompune x, squared, plus, b, x, plus, c, dacă c este negativ, unul dintre factori este pozitiv iar celălalt este negativ.

Rezumat

În general, pentru a descompune un trinom de forma x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, trebuie să găsim dizivori ai lui start color #aa87ff, c, end color #aa87ff care adunați dau start color #e07d10, b, end color #e07d10.
Presupunem că aceste două numere sunt m și n astfel încât c, equals, m, n și b, equals, m, plus, n, atunci x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis.

Verifică dacă ai înțeles

3) Descompune x, squared, minus, 8, x, minus, 9.

4) Descompune x, squared, minus, 10, x, plus, 24.

5) Descompune x, squared, plus, 7, x, plus, 30.

De ce funcționează asta?

Pentru a înțelege de ce funcționează această metodă de descompunere, hai să revenim la exemplul inițial în care am descompus x, squared, plus, 5, x, plus, 6 ca left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Dacă ne întoarcem și înmulțim celd două binoame, putem vedea efectul pe care îl au start color #11accd, 2, end color #11accd și start color #1fab54, 3, end color #1fab54 la formarea produsului x, squared, plus, 5, x, plus, 6.
(x+2)(x+3)=(x+2)(x)+(x+2)(3)=x2+2x+3x+23=x2+(2+3)x+23\begin{aligned}(x+\blueD 2)(x+\greenD3)&={(x+\blueD2)}(x)+(x+\blueD 2)(\greenD{3})\\ \\ &=x^2+\blueD2x+\greenD3x+\blueD2\cdot \greenD3\\ \\ &=x^2+(\blueD 2+\greenD 3)x+\blueD2\cdot \greenD3 \end{aligned}
Coeficientul lui x este suma lui start color #11accd, 2, end color #11accd și start color #1fab54, 3, end color #1fab54, iar termenul liber este produsul dintre start color #11accd, 2, end color #11accd și start color #1fab54, 3, end color #1fab54.

Modelul sumă-produs

Hai să repetăm ceea ce am făcut cu left parenthesis, x, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis și pentru left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis:
(x+m)(x+n)=(x+m)(x)+(x+m)(n)=x2+mx+nx+mn=x2+(m+n)x+mn\begin{aligned}(x+\blueD m)(x+\greenD n)&={(x+\blueD m)}(x)+(x+\blueD m)(\greenD{n})\\ \\ &=x^2+\blueD mx+\greenD nx+\blueD m\cdot \greenD n\\ \\ &=x^2+(\blueD m+\greenD n)x+\blueD m\cdot \greenD n \end{aligned}
Pentru a rezuma acest proces, obținem următoarea egalitate:
left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, equals, x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54
Aceasta se numeşte modelul sumă-produs.
Aceasta ne arată de ce, odată ce vom exprima un trinom x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff ca x, squared, plus, left parenthesis, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54 (prin găsirea a două numere start color #11accd, m, end color #11accd și start color #1fab54, n, end color #1fab54 astfel start color #e07d10, b, end color #e07d10, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54 și start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, equals, start color #11accd, m, end color #11accd, dot, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis, putem descompune acel trinom ca left parenthesis, x, plus, start color #11accd, m, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, start color #1fab54, n, end color #1fab54, right parenthesis.

Întrebare reflectivă

6) Poate fi utilizată această metodă de descompunere pentru 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 1?
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Când putem folosi această metodă pentru a descompune?

În general, metoda sumă-produs este aplicabilă doar când putem scrie un trinom ca left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis pentru m și n numere întregi.
Aceasta înseamnă că termenul de grad maxim al trinomului trebuie să fie x, squared (și nu, spre exemplu, 2, x, squared) pentru a lua în considerare folosirea aceastei metode. Acest lucru se datorează faptului că produsul lui left parenthesis, x, plus, m, right parenthesis și left parenthesis, x, plus, n, right parenthesis va fi întotdeauna un polinom, cu termenul dominant x, squared.
Cu toate acestea, nu toate trinoamele cu x, squared ca termen dominant pot fi luate în considerare. De exemplu, x, squared, plus, 2, x, plus, 2 nu poate fi, deoarece nu există două numere întregi a căror sumă să fie 2 și al căror produs să fie 2.
În lecțiile viitoare, vom învăța mai multe modalități de a descompune mai multe tipuri de polinoame.

Problemă provocare

7*) Descompune x, squared, plus, 5, x, y, plus, 6, y, squared.

8*) Descompune x, start superscript, 4, end superscript, minus, 5, x, squared, plus, 6.