If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 6: Descompunerea pătraticelor 2
Matematică
Bazele algebrei
Pătratice și polinomiale
Descompunerea pătraticelor 2
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Descompunerea prin grupare

Clasa Google
Învață despre metoda de descompunere numită "grupare" De exemplu, putem folosi gruparea pentru a scrie 2x²+8x+3x+12 as (2x+3)(x+4).

Ce trebuie să știi pentru această lecție?

Descompunerea unui polinom presupune scrierea lui ca produs a două sau mai multe polinoame. Reprezintă procesul invers înmulțirii polinomiale.
Am văzut deja mai multe exemple de descompunere. Cu toate acestea, pentru acest articol, ar trebui să fii familiarizat în mod special cu aflarea factorilor comuni folosind proprietatea de distributivitate. De exemplu, 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis .

Ce vei învăța în această lecție?

În acest articol, vom învăța cum să folosim o metodă de descompunere numită grupare.

Exemplul 1: Descompune 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

În primul rând, să observăm că nu există niciun factor comun pentru toți termenii în 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12. Cu toate acestea, dacă grupăm primii doi termeni şi ultimii doi termeni, fiecare grup are propriul său CMMDC, sau cel mai mare divizor comun:
start underbrace, left parenthesis, 2, x, squared, plus, 8, x, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, p, r, i, m, a, space, g, r, u, p, a, r, e, end text, end subscript, plus, start underbrace, left parenthesis, 3, x, plus, 12, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, a, space, d, o, u, a, space, g, r, u, p, a, r, e, end text, end subscript
În cazul acesta, CMMDC-ul pentru prima grupare este 2, x, iar pentru a doua CMMDC este 3. Îi putem da factor comun și obținem următoarea expresie:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Descoperim încă un factor comun pentru cei doi termeni: start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05. Putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a scoate acest factor comun.
2, x, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #a75a05, x, plus, 4, end color #a75a05, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis
Deoarece polinomul este exprimat în prezent ca produs a două binoame, este sub formă descompusă. Putem verifica înmulțind și comparând rezultatul cu polinomul inițial.

Exemplul 2: Descompune 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Hai să rezumăm ce am făcut mai sus, luând de data aceasta un alt polinom.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Gruparea termenilor=3x(x+2)+4(x+2)Aflarea CMMDC=3x(x+2)+4(x+2)Factor comun!=(x+2)(3x+4)Scoatere factor comun x+2\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Gruparea termenilor}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Aflarea CMMDC}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Factor comun!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Scoatere factor comun } x+2}} \end{aligned}
Forma descompusă este left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Alege un răspuns:

4) Descompune 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) Descompune 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

Exemplul 3: Descompune 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

Este necesară o atenţie sporită atunci când folosim metoda grupării pentru descompunerea unui polinom cu coeficienți negativi.
De exemplu, pentru a descompune 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 parcurgem pașii următori:
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Gruparea termenilor(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Aflarea CMMDC(3)=3x(x−2)−4(x−2)Simplificare(4)=3x(x−2)−4(x−2)Factor comun!(5)=(x−2)(3x−4)Scoaterea factorului x−2\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Gruparea termenilor}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Aflarea CMMDC}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Simplificare}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Factor comun!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Scoaterea factorului $x-2$}}}\\\\ \end{aligned}
Forma descompusă a polinomului este left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Putem înmulți binoamele pentru a ne verifica.
Câţiva dintre paşii de mai sus pot părea diferiţi de ceea ce ai văzut în primul exemplu, deci poate ai câteva întrebări.
De unde a venit semnul "+" între grupări?
În pasul start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd, a fost adăugat un semn "+" între grupările left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis și left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Acest lucru se datorează faptului că al treilea termen left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis este negativ, iar semnul termenului trebuie inclus în grup.
Păstrarea semnului minus în afara celui de-al doilea grup este complicată. De exemplu, o eroare comună este la gruparea 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 ca left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Această grupare, însă, se reduce la 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, ceea ce nu este aceeași cu expresia inițială.
De ce să scoatem factorul minus, 4 în loc de 4?
În pasul start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, am scos un minus, 4 pentru a descoperi factorul comun left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis al termenilor. În schimb, dacă am fi luat în considerare un plus 4 , nu am fi obținut acel factor comun observat mai sus:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Atunci când termenul dominant dintr-un grup este negativ, va trebui adesea să scoatem un factor comun negativ.

Verifică dacă ai înțeles

4) Descompune 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Alege un răspuns:

5) Descompune 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) Descompune 3, x, squared, plus, 6, x, minus, minus, 2.

Problemă provocare

2) Descompune 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15.

Când putem folosi metoda grupării?

Metoda grupării poate fi utilizată pentru a descompune polinoame ori de câte ori există un factor comun al grupărilor.
De exemplu, putem folosi metoda grupării pentru a descompune 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6 deoarece poate fi scris după cum urmează:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Cu toate acestea, nu putem folosi metoda grupării pentru a descompune 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12, deoarece scoaterea CMMDC din ambele grupuri nu generează un divizor comun!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Folosirea grupării pentru descompunerea trinoamelor

De asemenea, poți folosi gruparea pentru a descompune anumite pătratice cu trei termeni (adică trinoame) precum 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. Acest lucru se datorează faptului că putem rescrie expresia după cum urmează:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Apoi putem folosi gruparea pentru a descompune 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 ca left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
Pentru mai multe informații despre astfel de trinoame cvadratice utilizând metoda grupării, vezi următorul articol.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.