Conţinutul principal

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 6: Descompunerea pătraticelor 2

Descompunerea prin grupare

Învață despre metoda de descompunere numită "grupare" De exemplu, putem folosi gruparea pentru a scrie 2x²+8x+3x+12 as (2x+3)(x+4).

Ce trebuie să știi pentru această lecție?

Descompunerea unui polinom presupune scrierea lui ca produs a două sau mai multe polinoame. Reprezintă procesul invers înmulțirii polinomiale.

Am văzut deja mai multe exemple de descompunere. Cu toate acestea, pentru acest articol, ar trebui să fii familiarizat în mod special cu aflarea factorilor comuni folosind proprietatea de distributivitate. De exemplu,

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

Ce vei învăța în această lecție?

În acest articol, vom învăța cum să folosim o metodă de descompunere numită grupare.

Exemplul 1: Descompune $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

În primul rând, să observăm că nu există niciun factor comun pentru toți termenii în

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

. Cu toate acestea, dacă grupăm primii doi termeni şi ultimii doi termeni, fiecare grup are propriul său CMMDC, sau cel mai mare divizor comun:

\underset{prima grupare}{\underset{⏟}{(2 x^{2} + 8 x)}} + \underset{a doua grupare}{\underset{⏟}{(3 x + 12)}}

În cazul acesta, CMMDC-ul pentru prima grupare este

2 x

, iar pentru a doua CMMDC este

3

. Îi putem da factor comun și obținem următoarea expresie:

2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

Pentru a scoate factorul

2 x

din

2 x^{2} + 8 x

, putem împărți fiecare termen la

2 x

Primul termen este: $\frac{2 x^{2}}{2 x} = x$ ‍
Al doilea termen este: $\frac{8 x}{2 x} = 4$ ‍

Deci

2 x^{2} + 8 x = 2 x (x + 4)

Pentru a scoate factorul

3

din

3 x + 12

, împărțim fiecare termen la

3

Primul termen este: $\frac{3 x}{3} = x$ ‍
Al doilea termen este: $\frac{12}{3} = 4$ ‍

Deci,

3 x + 12 = 3 (x + 4)

Prin urmare, rezultă că

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12 = 2 x (x + 4) + 3 (x + 4)

. O înmulțire rapidă poate verifica dacă factorii comuni au fost scoși în mod corect.

Descoperim încă un factor comun pentru cei doi termeni:

x + 4

. Putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a scoate acest factor comun.

2 x (x + 4) + 3 (x + 4) = (x + 4) (2 x + 3)

Deoarece polinomul este exprimat în prezent ca produs a două binoame, este sub formă descompusă. Putem verifica înmulțind și comparând rezultatul cu polinomul inițial.

Exemplul 2: Descompune $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Hai să rezumăm ce am făcut mai sus, luând de data aceasta un alt polinom.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & Gruparea termenilor \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Aflarea CMMDC \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & Factor comun! \\ = (x + 2) (3 x + 4) & Scoatere factor comun x + 2 \end{aligned}

Forma descompusă este

(x + 2) (3 x + 4)

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍.

4) Descompune $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍.

3) Descompune $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍.

Exemplul 3: Descompune $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍

Este necesară o atenţie sporită atunci când folosim metoda grupării pentru descompunerea unui polinom cu coeficienți negativi.

De exemplu, pentru a descompune

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

parcurgem pașii următori:

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & Gruparea termenilor \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & Aflarea CMMDC \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Simplificare \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & Factor comun! \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & Scoaterea factorului x - 2 \end{aligned}

Forma descompusă a polinomului este

(x - 2) (3 x - 4)

. Putem înmulți binoamele pentru a ne verifica.

Câţiva dintre paşii de mai sus pot părea diferiţi de ceea ce ai văzut în primul exemplu, deci poate ai câteva întrebări.

De unde a venit semnul "+" între grupări?

În pasul

(1)

, a fost adăugat un semn "+" între grupările

(3 x^{2} - 6 x)

și

(- 4 x + 8)

. Acest lucru se datorează faptului că al treilea termen

(- 4 x)

este negativ, iar semnul termenului trebuie inclus în grup.

Păstrarea semnului minus în afara celui de-al doilea grup este complicată. De exemplu, o eroare comună este la gruparea

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

. Această grupare, însă, se reduce la

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

, ceea ce nu este aceeași cu expresia inițială.

De ce să scoatem factorul $- 4$ ‍ în loc de $4$ ‍?

În pasul

(2)

, am scos un

- 4

pentru a descoperi factorul comun

(x - 2)

al termenilor. În schimb, dacă am fi luat în considerare un plus

4

, nu am fi obținut acel factor comun observat mai sus:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

Atunci când termenul dominant dintr-un grup este negativ, va trebui adesea să scoatem un factor comun negativ.

Verifică dacă ai înțeles

4) Descompune $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍.

5) Descompune $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍.

6) Descompune $3 x^{2} + 6 x - - 2$ ‍.

Problemă provocare

2) Descompune $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍.

Când putem folosi metoda grupării?

Metoda grupării poate fi utilizată pentru a descompune polinoame ori de câte ori există un factor comun al grupărilor.

De exemplu, putem folosi metoda grupării pentru a descompune

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

deoarece poate fi scris după cum urmează:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Cu toate acestea, nu putem folosi metoda grupării pentru a descompune

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

, deoarece scoaterea CMMDC din ambele grupuri nu generează un divizor comun!

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

Folosirea grupării pentru descompunerea trinoamelor

De asemenea, poți folosi gruparea pentru a descompune anumite pătratice cu trei termeni (adică trinoame) precum

2 x^{2} + 7 x + 3

. Acest lucru se datorează faptului că putem rescrie expresia după cum urmează:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

Apoi putem folosi gruparea pentru a descompune

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

(x + 3) (2 x + 1)

Pentru mai multe informații despre astfel de trinoame cvadratice utilizând metoda grupării, vezi următorul articol.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Ce trebuie să știi pentru această lecție?

Ce vei învăța în această lecție?

Exemplul 1: Descompune 2x2+8x+3x+12‍

Exemplul 2: Descompune 3x2+6x+4x+8‍

Verifică dacă ai înțeles

Exemplul 3: Descompune 3x2−6x−4x+8‍

Verifică dacă ai înțeles

Problemă provocare

Când putem folosi metoda grupării?

Folosirea grupării pentru descompunerea trinoamelor

Vrei să te alături conversației?

Exemplul 1: Descompune $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍

Exemplul 2: Descompune $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍

Exemplul 3: Descompune $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍