If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Descompunerea prin grupare

Învață despre metoda de descompunere numită "grupare" De exemplu, putem folosi gruparea pentru a scrie 2x²+8x+3x+12 as (2x+3)(x+4).

Ce trebuie să știi pentru această lecție?

Descompunerea unui polinom presupune scrierea lui ca produs a două sau mai multe polinoame. Reprezintă procesul invers înmulțirii polinomiale.
Am văzut deja mai multe exemple de descompunere. Cu toate acestea, pentru acest articol, ar trebui să fii familiarizat în mod special cu aflarea factorilor comuni folosind proprietatea de distributivitate. De exemplu, 6x2+4x=2x(3x+2) .

Ce vei învăța în această lecție?

În acest articol, vom învăța cum să folosim o metodă de descompunere numită grupare.

Exemplul 1: Descompune 2x2+8x+3x+12

În primul rând, să observăm că nu există niciun factor comun pentru toți termenii în 2x2+8x+3x+12. Cu toate acestea, dacă grupăm primii doi termeni şi ultimii doi termeni, fiecare grup are propriul său CMMDC, sau cel mai mare divizor comun:
(2x2+8x)prima grupare+(3x+12)a doua grupare
În cazul acesta, CMMDC-ul pentru prima grupare este 2x, iar pentru a doua CMMDC este 3. Îi putem da factor comun și obținem următoarea expresie:
2x(x+4)+3(x+4)
Descoperim încă un factor comun pentru cei doi termeni: x+4. Putem folosi proprietatea de distributivitate pentru a scoate acest factor comun.
2x(x+4)+3(x+4)=(x+4)(2x+3)
Deoarece polinomul este exprimat în prezent ca produs a două binoame, este sub formă descompusă. Putem verifica înmulțind și comparând rezultatul cu polinomul inițial.

Exemplul 2: Descompune 3x2+6x+4x+8

Hai să rezumăm ce am făcut mai sus, luând de data aceasta un alt polinom.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Gruparea termenilor=3x(x+2)+4(x+2)Aflarea CMMDC=3x(x+2)+4(x+2)Factor comun!=(x+2)(3x+4)Scoatere factor comun x+2
Forma descompusă este (x+2)(3x+4).

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune 9x2+6x+12x+8.
Alege un răspuns:

4) Descompune 5x2+10x+2x+4.

3) Descompune 8x2+6x+4x+3.

Exemplul 3: Descompune 3x26x4x+8

Este necesară o atenţie sporită atunci când folosim metoda grupării pentru descompunerea unui polinom cu coeficienți negativi.
De exemplu, pentru a descompune 3x26x4x+8 parcurgem pașii următori:
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)Gruparea termenilor(2)=3x(x2)+(4)(x2)Aflarea CMMDC(3)=3x(x2)4(x2)Simplificare(4)=3x(x2)4(x2)Factor comun!(5)=(x2)(3x4)Scoaterea factorului x2
Forma descompusă a polinomului este (x2)(3x4). Putem înmulți binoamele pentru a ne verifica.
Câţiva dintre paşii de mai sus pot părea diferiţi de ceea ce ai văzut în primul exemplu, deci poate ai câteva întrebări.
De unde a venit semnul "+" între grupări?
În pasul (1), a fost adăugat un semn "+" între grupările (3x26x) și (4x+8). Acest lucru se datorează faptului că al treilea termen (4x) este negativ, iar semnul termenului trebuie inclus în grup.
Păstrarea semnului minus în afara celui de-al doilea grup este complicată. De exemplu, o eroare comună este la gruparea 3x26x4x+8 ca (3x26x)(4x+8). Această grupare, însă, se reduce la 3x26x4x8, ceea ce nu este aceeași cu expresia inițială.
De ce să scoatem factorul 4 în loc de 4?
În pasul (2), am scos un 4 pentru a descoperi factorul comun (x2) al termenilor. În schimb, dacă am fi luat în considerare un plus 4 , nu am fi obținut acel factor comun observat mai sus:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
Atunci când termenul dominant dintr-un grup este negativ, va trebui adesea să scoatem un factor comun negativ.

Verifică dacă ai înțeles

4) Descompune 2x23x4x+6.
Alege un răspuns:

5) Descompune 3x2+3x10x10.

6) Descompune 3x2+6x2.

Problemă provocare

2) Descompune 2x3+10x2+3x+15.

Când putem folosi metoda grupării?

Metoda grupării poate fi utilizată pentru a descompune polinoame ori de câte ori există un factor comun al grupărilor.
De exemplu, putem folosi metoda grupării pentru a descompune 3x2+9x+2x+6 deoarece poate fi scris după cum urmează:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
Cu toate acestea, nu putem folosi metoda grupării pentru a descompune 2x2+3x+4x+12, deoarece scoaterea CMMDC din ambele grupuri nu generează un divizor comun!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

Folosirea grupării pentru descompunerea trinoamelor

De asemenea, poți folosi gruparea pentru a descompune anumite pătratice cu trei termeni (adică trinoame) precum 2x2+7x+3. Acest lucru se datorează faptului că putem rescrie expresia după cum urmează:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
Apoi putem folosi gruparea pentru a descompune 2x2+1x+6x+3 ca (x+3)(2x+1).
Pentru mai multe informații despre astfel de trinoame cvadratice utilizând metoda grupării, vezi următorul articol.