Dacă vedeți acest mesaj, înseamnă că avem probleme cu încărcarea resurselor externe pe site-ul nostru.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conţinutul principal

Descompunerea pătraticelor: coeficientul dominant ≠ 1

Învață cum să descompui expresii pătratice ca produs de două binoame liniare. De exemplu, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Ce trebuie să știi înainte să începi această lecție?

Metoda grupării poate fi folosită pentru a descompune un polinom cu 4 termeni, prin scoaterea factorilor comuni de mai multe ori. Dacă este ceva nou pentru tine, accesează articolul nostru Introducere în descompunere prin grupare.
De asemenea, îți recomandăm ca, înainte de a continua, să revizuiești articolul nostru despre Descompunerea pătraticelor cu coeficientul determinant 1.

Ce vei învăța în această lecție?

În acest articol, vom folosi gruparea pentru a descompune pătraticele care au coeficientul determinant diferit de 1, precum 2x2+7x+3.

Exemplul 1: Descompunerea lui 2x2+7x+3

Din moment ce coeficientul determinant al lui (2x2+7x+3) este 2, nu putem folosi metoda sumă-produs pentru descompunerea expresiei pătratice.
În schimb, pentru a descompune 2x2+7x+3, trebuie să găsim două numere întregi al căror produs este 23=6 (coeficientul determinant înmulțit cu termenul constant) și care adunate dau 7 ( coeficientul lui x).
Deoarece 16=6 și 1+6=7, cele două numere sunt 1 și 6.
Aceste două numere ne spun cum să împărțim termenul x din expresia inițială. Deci putem exprima polinomul astfel: 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3.
Acum putem folosi gruparea pentru a descompune polinomul:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Grupăm termenii=x(2x+1)+3(2x+1)Aflăm CMMDC=x(2x+1)+3(2x+1)Factor comun!=(2x+1)(x+3)Scoaterea lui 2x+1
Forma descompusă este (2x+1)(x+3).
Ne putem verifica arătând că produsul factorilor este 2x2+7x+3.

Rezumat

În general, putem folosi următorii pași pentru a descompune o pătratică de forma ax2+bx+c:
  1. În primul rând, găsim două numere al căror produs este ac și a căror sumă este b.
  2. Folosim aceste numere pentru a împărți termenul x.
  3. Folosim gruparea pentru a descompune expresia pătratică.

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune 3x2+10x+8.
Alege un răspuns:

2) Descompune 4x2+16x+15.

Exemplul 2: Descompunerea lui 6x25x4

Pentru a descompune 6x25x4, trebuie să găsim două numere întregi care înmulțite dau 6(4)=24 și adunate dau 5.
Deoarece 3(8)=24 și 3+(8)=5, numerele sunt 3 și 8.
Acum putem scrie termenul 5x ca suma lui 3x și 8x și să folosim gruparea pentru a descompune polinomul:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)Grupăm termenii(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)Aflăm CMMDC(3)=3x(2x+1)4(2x+1)Simplificăm(4)=3x(2x+1)4(2x+1)Factor comun!(5)=(2x+1)(3x4)Scoaterea lui 2x+1
Forma descompusă este (2x+1)(3x4).
Ne putem verifica arătând că produsul factorilor este 6x25x4.
De reținut: În pasul (1) de deasupra, observă că al treilea termen este negativ, între grupuri a fost inserat un „+” pentru a păstra expresia echivalentă cu cea inițială. De asemenea, în pasul (2), a trebuit să scoatem CMMDC negativ din al doilea grup pentru a descoperi un factor comun 2x+1. Fii atent la semne!

Verifică dacă ai înțeles

3) Descompune 2x23x9.
Alege un răspuns:

4) Descompune 3x22x5.

5) Descompune 6x213x+6.

Când este utilă această metodă?

Ei bine, în mod clar, metoda este utilă pentru descompunerea pătraticelor de forma ax2+bx+c, chiar și când a1.
Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să se descompună o expresie pătratică de această formă folosind metoda noastră.
De exemplu, să luăm expresia 2x2+2x+1. Pentru a o descompune, trebuie să găsim două numere întregi cu produsul 21=2 și suma 2. Încearcă oricât, dar nu vei găsi două astfel de numere întregi.
Prin urmare, metoda noastră nu funcționează pentru 2x2+2x+1, precum și pentru o grămadă de alte expresii pătratice.
Este util să ne amintim totuși că dacă această metodă nu funcționează, înseamnă că expresia nu poate fi descompusă ca (Ax+B)(Cx+D) unde A, B, Cși D sunt întregi.

De ce funcționează această metodă?

Hai să ne uităm la motivul pentru care această metodă are succes. Va trebui să folosim o grămadă de litere aici, dar te rog să rămâi alături de noi!
Să presupunem că expresia pătratică generală ax2+bx+c poate fi descompusă ca (Ax+B)(Cx+D), unde A, B, C și D sunt numere întregi.
Când desfacem parantezele, obținem expresia pătratică (AC)x2+(BC+AD)x+BD.
Deoarece această expresie este echivalentă cu ax2+bx+c, coeficienții corespunzători ai celor două expresii trebuie să fie egali! Acest lucru ne dă următoarea relaţie între toate notațiile:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
Acum, să definim m=BC și n=AD.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
Conform acestei definiţii...
m+n=BC+AD=b
și
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
Așa că BC și AD sunt cele două numere întregi pe care le căutăm întotdeauna când folosim această metodă de descompunere!
Următorul pas al metodei, după găsirea lui m și n, este împărțirea coeficientului (b) al lui x, conform lui m și n și desompunerea cu ajutorul grupării.
Într-adevăr, dacă separăm termenul x(BC+AD)x în (BC)x+(AD)x, vom putea folosi gruparea pentru a descompune expresia în (Ax+B)(Cx+D).
În concluzie, în această secțiune noi...
  • am început cu expresia generală extinsă ax2+bx+c și descompunerea generală (Ax+B)(Cx+D),
  • am putut găsi două numere, m şi n, astfel încât mn=ac și m+n=b (noi am făcut asta prin definirea lui m=BC și n=AD),
  • am separat termenul bx al lui x în mx+nx, astfel încât am putut să descompunem forma dezvoltată înapoi în (Ax+B)(Cx+D).
Acest proces arată de ce, dacă o expresie poate fi într-adevăr descompusă ca (Ax+B)(Cx+D), metoda noastră ne asigură că vom găsi această descompunere.
Mulțumim pentru că ai terminat!