If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Bazele algebrei

Curs: Bazele algebrei > Unitatea 7

Lecția 6: Descompunerea pătraticelor 2
Matematică
Bazele algebrei
Pătratice și polinomiale
Descompunerea pătraticelor 2
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Descompunerea pătraticelor: coeficientul dominant ≠ 1

Clasa Google
Învață cum să descompui expresii pătratice ca produs de două binoame liniare. De exemplu, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Ce trebuie să știi înainte să începi această lecție?

Metoda grupării poate fi folosită pentru a descompune un polinom cu 4 termeni, prin scoaterea factorilor comuni de mai multe ori. Dacă este ceva nou pentru tine, accesează articolul nostru Introducere în descompunere prin grupare.
De asemenea, îți recomandăm ca, înainte de a continua, să revizuiești articolul nostru despre Descompunerea pătraticelor cu coeficientul determinant 1.

Ce vei învăța în această lecție?

În acest articol, vom folosi gruparea pentru a descompune pătraticele care au coeficientul determinant diferit de 1, precum 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Exemplul 1: Descompunerea lui 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3

Din moment ce coeficientul determinant al lui left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis este start color #11accd, 2, end color #11accd, nu putem folosi metoda sumă-produs pentru descompunerea expresiei pătratice.
În schimb, pentru a descompune start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, trebuie să găsim două numere întregi al căror produs este start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (coeficientul determinant înmulțit cu termenul constant) și care adunate dau start color #e07d10, 7, end color #e07d10 ( coeficientul lui x).
Deoarece start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 și start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, cele două numere sunt start color #01a995, 1, end color #01a995 și start color #01a995, 6, end color #01a995.
Aceste două numere ne spun cum să împărțim termenul x din expresia inițială. Deci putem exprima polinomul astfel: 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Acum putem folosi gruparea pentru a descompune polinomul:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)Grupa˘m termenii=x(2x+1)+3(2x+1)Afla˘m CMMDC=x(2x+1)+3(2x+1)Factor comun!=(2x+1)(x+3)Scoaterea lui 2x+1\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{Grupăm termenii}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{Aflăm CMMDC}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Factor comun!}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{\text{Scoaterea lui } 2x+1}} \end{aligned}
Forma descompusă este left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Ne putem verifica arătând că produsul factorilor este 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Rezumat

În general, putem folosi următorii pași pentru a descompune o pătratică de forma start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. În primul rând, găsim două numere al căror produs este start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff și a căror sumă este start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Folosim aceste numere pentru a împărți termenul x.
  3. Folosim gruparea pentru a descompune expresia pătratică.

Verifică dacă ai înțeles

1) Descompune 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Alege un răspuns:

2) Descompune 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Exemplul 2: Descompunerea lui 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

Pentru a descompune start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, trebuie să găsim două numere întregi care înmulțite dau start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 și adunate dau start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Deoarece start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 și start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, numerele sunt start color #01a995, 3, end color #01a995 și start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Acum putem scrie termenul minus, 5, x ca suma lui start color #01a995, 3, end color #01a995, x și start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x și să folosim gruparea pentru a descompune polinomul:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Grupa˘m termenii(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Afla˘m CMMDC(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Simplifica˘m(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Factor comun!(5)=(2x+1)(3x−4)Scoaterea lui 2x+1\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Grupăm termenii}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Aflăm CMMDC}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Simplificăm}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Factor comun!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Scoaterea lui } 2x+1}}\\ \end{aligned}
Forma descompusă este left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Ne putem verifica arătând că produsul factorilor este 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
De reținut: În pasul start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd de deasupra, observă că al treilea termen este negativ, între grupuri a fost inserat un „+” pentru a păstra expresia echivalentă cu cea inițială. De asemenea, în pasul start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd, a trebuit să scoatem CMMDC negativ din al doilea grup pentru a descoperi un factor comun 2, x, plus, 1. Fii atent la semne!

Verifică dacă ai înțeles

3) Descompune 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Alege un răspuns:

4) Descompune 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Descompune 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Când este utilă această metodă?

Ei bine, în mod clar, metoda este utilă pentru descompunerea pătraticelor de forma a, x, squared, plus, b, x, plus, c, chiar și când a, does not equal, 1.
Cu toate acestea, nu este întotdeauna posibil să se descompună o expresie pătratică de această formă folosind metoda noastră.
De exemplu, să luăm expresia start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. Pentru a o descompune, trebuie să găsim două numere întregi cu produsul start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 și suma start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Încearcă oricât, dar nu vei găsi două astfel de numere întregi.
Prin urmare, metoda noastră nu funcționează pentru start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff, precum și pentru o grămadă de alte expresii pătratice.
Este util să ne amintim totuși că dacă această metodă nu funcționează, înseamnă că expresia nu poate fi descompusă ca left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis unde A, B, Cși D sunt întregi.

De ce funcționează această metodă?

Hai să ne uităm la motivul pentru care această metodă are succes. Va trebui să folosim o grămadă de litere aici, dar te rog să rămâi alături de noi!
Să presupunem că expresia pătratică generală a, x, squared, plus, b, x, plus, c poate fi descompusă ca left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, unde A, B, C și D sunt numere întregi.
Când desfacem parantezele, obținem expresia pătratică left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Deoarece această expresie este echivalentă cu a, x, squared, plus, b, x, plus, c, coeficienții corespunzători ai celor două expresii trebuie să fie egali! Acest lucru ne dă următoarea relaţie între toate notațiile:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Acum, să definim m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 și n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Conform acestei definiţii...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
și
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
Așa că start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 și start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff sunt cele două numere întregi pe care le căutăm întotdeauna când folosim această metodă de descompunere!
Următorul pas al metodei, după găsirea lui m și n, este împărțirea coeficientului left parenthesis, b, right parenthesis al lui x, conform lui m și n și desompunerea cu ajutorul grupării.
Într-adevăr, dacă separăm termenul xleft parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x în left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, vom putea folosi gruparea pentru a descompune expresia în left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
În concluzie, în această secțiune noi...
  • am început cu expresia generală extinsă a, x, squared, plus, b, x, plus, c și descompunerea generală left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • am putut găsi două numere, m şi n, astfel încât m, n, equals, a, c și m, plus, n, equals, b left parenthesisnoi am făcut asta prin definirea lui m, equals, B, C și n, equals, A, D, right parenthesis,
  • am separat termenul b, x al lui x în m, x, plus, n, x, astfel încât am putut să descompunem forma dezvoltată înapoi în left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Acest proces arată de ce, dacă o expresie poate fi într-adevăr descompusă ca left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, metoda noastră ne asigură că vom găsi această descompunere.
Mulțumim pentru că ai terminat!

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.