Dacă vedeți acest mesaj, înseamnă că avem probleme cu încărcarea resurselor externe pe site-ul nostru.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conţinutul principal

Verificarea funcțiilor inverse prin compunere

Înveți cum să verifici dacă două funcții sunt una inversa celeilalte, prin operația de compunere. De exemplu, funcțiile f(x)=5x-7 și g(x)=x/5+7 sunt inverse una alteia?
În acest articol compunem o serie de funcții. Dacă ai nevoie de o recapitulare pe acest subiect, îți recomandăm să mergi aici înainte de a citi acest articol.
Funcţiile inverse, în sensul cel mai general, sunt funcţii care "se inversează" una pe cealălaltă. De exemplu, dacă o funcție asociază argumentului a valoarea b, atunci funcția sa inversă trebuie să asocieze argumentului b valoarea a.
De exemplu, să luăm următoarele funcții f și g: f(x)=x+13 și g(x)=3x1.
Observă că f(5)=2 și g(2)=5.
Aici vedem că atunci când aplicăm f urmat de g, ajungem înapoi la datele inițiale. Scris sub formă de compunere, avem g(f(5))=5.
Dar pentru ca două funcţii să fie inverse una alteia, trebuie să arătăm că acest lucru se întâmplă pentru toate argumentele posibile, indiferent de ordinea în care sunt aplicate f și g . Acest lucru dă naștere regulii de compunere a inverselor.

Regula de compunere a inverselor

Iată care sunt condițiile pentru ca două funcții f și g să fie una inversa celeilalte:
  • f(g(x))=x pentru oricare x din domeniul de definiție al lui g
  • g(f(x))=x pentru oricare x din domeniul de definiție al lui f
Justificare: Dacă f și g sunt inverse una celeilalte, compunerea f cu g (în oricare ordine) conduce la “funcția identitate", adică acea funcție care duce îi asociază fiecărui element chiar pe el însuși.

Exemplul 1: Funcțiile f și g formează pereche de funcții inverse

Hai să folosim regula de compunere a inverselor pentru a verifica dacă f și g sunt, într-adevăr, una inversa celeilalte.
Să ne amintim că f(x)=x+13 și g(x)=3x1.
Hai să determinăm f(g(x)) și g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))1=3(x+13)1=x+11=x
Așadar, vedem că funcțiile f și g sunt una inversa celeilalte, deoarece f(g(x))=x și g(f(x))=x.

Exemplul 2: Funcțiile f și g nu formează pereche de funcții inverse

Dacă f(g(x)) sau g(f(x)) nu coincide x, atunci f și g nu pot forma pereche de funcții inverse.
Hai să încercăm pentru f(x)=5x7 și g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))7=5(x5+7)7=x+357=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x75+7=x75+7=x+285
Așadar, funcțiile f și g nu sunt inverse una celeilalte, deoarece f(g(x))x și g(f(x))x.
(Observăm că am fi putut spune că f și g nu sunt inverse după ce arătam că f(g(x))=x+28.)

Verifică dacă ai înțeles

În general, pentru a verifica dacă f și g sunt funcții inverse una celeilalte, putem să le compunem. Dacă ajungem la x, funcțiile respective formează pereche de funcții inverse. Altfel, nu formează o asemenea pereche.

1) f(x)=2x+7 și h(x)=x72

Scrie expresiile simplificate pentru f(h(x)) și h(f(x)), în variabila x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Funcțiile f și h sunt una inversa celeilalte?
Alege un răspuns:

2) f(x)=4x+10 și g(x)=14x10

Scrie expresiile simplificate pentru f(g(x)) și g(f(x)), în variabila x.
f(g(x))=
g(f(x))=
Funcțiile f și g sunt una inversa celeilalte?
Alege un răspuns:

3) f(x)=23x8 și h(x)=32(x+8)

Scrie expresiile simplificate pentru f(h(x)) și h(f(x)), în variabila x.
f(h(x))=
h(f(x))=
Funcțiile f și h sunt una inversa celeilalte?
Alege un răspuns: