Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 5

Lecția 2: Ecuații de gradul al doilea

Înțelegerea formulei pentru soluțiile ecuației de gradul al doilea

Vezi mai multe detalii despre formula pentru soluțiile ecuației pătratice și cum se folosește ea.

Formula pe care o vom analiza ne ajută la rezolvarea ecuațiilor de gradul al doilea (numite și ecuații pătratice) și este, probabil în top cinci cele mai folosite formule din matematică. Nu suntem fanii memorării formulelor, dar aceasta este una dintre cele mai utile. Credem că este bine să ții minte cum se ajunge la ea, dar și cum se folosește (Vei vedea în a două secvență video!). Dacă ai o ecuație pătratică în forma generală:

a x^{2} + b x + c = 0

atunci formula despre care vorbim te va ajuta să găsești rădăcinile ecuației pătratice, adică acele valori ale lui

x

care îndeplinesc egalitatea.

Formula soluțiilor ecuației de gradul al doilea

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Poate ți se pare înfricoșătoare, dar te vei obișnui repede cu ea!
Antrenează-te cu folosirea acestei formule!

Exemplu rezolvat

În primul rând, trebuie să identificăm valorile pentru a, b şi c (coeficienţii). Primul pas: asigură-te că ecuația este în forma de mai sus,

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ este coeficientul din fața lui $x^{2}$ ‍, deci aici $a = 1$ ‍ (să menționăm că $a$ ‍ nu poate fi egal cu $0$ ‍ -- chiar $x^{2}$ ‍ face ca ecuația să fie pătratică).
$b$ ‍ este coeficientul din fața lui $x$ ‍, deci aici $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ este constanta, sau termenul liber, fără $x$ ‍ lângă el, deci aici $c = - 21$ ‍.

Apoi înlocuim

a

b

și

c

în formulă:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

Rezolvând, ajungem la:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

De aceea, soluțiile sunt

x = 3

și

x = - 7

Ce ne spune soluția?

Cele două soluții sunt tăieturile pe Ox ale ecuației, adică sunt abscisele punctelor în care graficul intersectează axa Ox. Ecuația

x^{2} + 3 x - 4 = 0

se reprezintă astfel:

unde soluțiile pentru formula noastră, care reprezintă și tăieturile, sunt

x = - 4

și

x = 1

Bineînțeles, putem rezolva o ecuație pătratică și prin descompunerea în factori, completând pătratul, sau prin reprezentare grafică. Atunci de ce ne-ar mai trebui această formulă?

Deoarece sunt situații în care rezolvarea ecuațiilor pătratice este mult mai grea decât în primul exemplu.

Al doilea exemplu rezolvat

Hai să încercăm cu o ecuație care este greu de descompus în factori:

3 x^{2} + 6 x = - 10

Mai întâi, să aducem toți termenii în partea stângă:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

Formula ne dă:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

Știm că nu se poate extrage rădăcină pătrată dintr-un numar negativ fără să folosim numere imaginare. Așadar, nu există soluții reale pentru această ecuație. Înseamnă că niciun punct de pe grafic nu poate avea

y = 0

, adică graficul nu va intersecta axa Ox. De asemenea, se poate vedea asta când facem graficul pe calculator:

Acum probabil ai înțeles elementele de bază ale acestei formule. În următoarea secvență video, vei găsi mult mai multe exemple rezolvate.

Sfaturi pentru folosirea formulei

Fii atent ca ecuația să fie aranjată în forma potrivită: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍, altfel nu va funcționa!
Ai grijă să extragi radical din întreaga expresie $(b^{2} - 4 a c)$ ‍, iar acel $2 a$ ‍ este numitor, adică totul se împarte la el
Uită-te la valorile negative: $b^{2}$ ‍ nu poate fi negative, deci dacă $b$ ‍ începe cu semnul minus, asigură-te că semnul dispare din pătrat, căci indiferent dacă este negativ sau pozitiv un număr, pătratul lui este întotdeauna pozitiv
Pătrează $+ / -$ ‍ și întotdeaună caută DOUĂ soluții
Dacă folosești un calculator, răspunsul poate fi rotunjit la un anumit număr de zecimale. Dacă ți se cere un răspuns exact (ceea ce se întâmplă de obicei) și rădăcinile pătrate nu se simplifică ușor, păstrează radicalul în răspuns, de exemplu $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ și $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

Pasul următor:

Antrenează-te cu formula pentru soluțiile ecuației pătratice.
Urmărește rezolvarea unui exemplu:

Acoperirea video Khan Academy

Vezi transcrierea video

Demonstrăm formula:

Acoperirea video Khan Academy

Proof of the quadratic formulaVezi transcrierea video

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.