Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 9

Lecția 2: Proprietăți ale logaritmilor

Justificarea proprietăților logaritmilor

Studiază demonstrațiile proprietăților logaritmilor: regula produsului, a câtului și ridicarea la putere.

În această lecție, vom demonstra trei proprietăți ale logaritmilor: logaritm din produs, logaritm din cât și ridicarea la putere. Înainte de a începe, să ne amintim ceva ce ne va fi util.

$\log_{b} (b^{c}) = c$ ‍

Cu alte cuvinte, un logaritm în baza

b

elimină baza

b

dintr-o putere și rămânem doar cu exponentul!

Să nu uiți asta atunci când vei citi demonstrațiile care urmează.

Logaritm din produs: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Pentru început, să luăm un exemplu care folosește produsul — să considerăm că

M = 4

N = 8

și

b = 2

Înlocuind aceste valori în

\log_{b} (M N)

, avem:

$\begin{aligned} \log_{2} (4 \cdot 8) & = \log_{2} (2^{2} \cdot 2^{3}) & 2^{2} = 4 și 2^{3} = 8 \\ = \log_{2} (2^{2 + 3}) & a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \\ = 2 + 3 & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{2} (4) + \log_{2} (8) & Deoarece 2 = \log_{2} (4) și 3 = \log_{2} (8) \end{aligned}$ ‍

Astfel, avem

\log_{2} (4 \cdot 8) = \log_{2} (4) + \log_{2} (8)

Chiar dacă am verificat un singur caz, putem folosi același raționament pentru a demonstra că formula functionează și pe caz general.

Observă că scrierea lui

4

și

8

ca puteri ale lui

2

a fost elementul cheie în demonstrație. Așadar, în general, ne-ar conveni ca

M

și

N

să fie puteri cu baza

b

. Pentru aceasta, fie

M = b^{x}

și

N = b^{y}

, unde

x

și

y

sunt numere reale.

Atunci, din definiție, putem scrie

\log_{b} (M) = x

și

\log_{b} (N) = y

Acum avem:

$\begin{aligned} \log_{b} (M N) & = \log_{b} (b^{x} \cdot b^{y}) & Înlocuire \\ = \log_{b} (b^{x + y}) & Proprietăți ale exponenților \\ = x + y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (N) & Înlocuire \end{aligned}$ ‍

Logaritm din cât: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Demonstrația acestei formule este asemănătoare cu cea de mai sus.

Ca mai înainte, dacă luăm

M = b^{x}

și

N = b^{y}

, atunci înseamnă că

\log_{b} (M) = x

și

\log_{b} (N) = y

Acum putem demonstra formula pentru logaritm din cât astfel:

$\begin{aligned} \log_{b} (\frac{M}{N}) & = \log_{b} (\frac{b^{x}}{b^{y}}) & Înlocuire \\ = \log_{b} (b^{x - y}) & Proprietățile puterilor \\ = x - y & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) - \log_{b} (N) & Înlocuire \end{aligned}$ ‍

Logaritm din putere: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍

De data aceasta, doar

M

intervine în proprietate, deci este suficient să considerăm

M = b^{x}

, pentru care avem

\log_{b} (M) = x

Dăm mai jos demonstrația pentru formula logaritmului din putere.

$\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} ({(b^{x})}^{p}) & Înlocuire \\ = \log_{b} (b^{x p}) & Proprietățile puterilor \\ = x p & \log_{b} (b^{c}) = c \\ = \log_{b} (M) \cdot p & Înlocuire \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Înmulțirea este comutativă \end{aligned}$ ‍

Sau altfel, putem justifica proprietatea aceasta folosind formula pentru produs.

De exemplu, știm că

\log_{b} (M^{p}) = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M)

, unde

M

se înmulțește cu el însuși de

p

ori.

Acum putem folosi logaritm din produs împreună cu definiția înmulțirii ca adunare repetată și completăm demonstrația astfel:

\begin{aligned} \log_{b} (M^{p}) & = \log_{b} (M \cdot M \cdot … \cdot M) & Definiția puterii \\ = \log_{b} (M) + \log_{b} (M) + … + \log_{b} (M) & Formula pentru logaritm din produs \\ = p \cdot \log_{b} (M) & Adunarea repetată este înmulțire \end{aligned}

Și gata! Tocmai am demonstrat trei formule privind proprietățile logaritmilor!

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Algebră pentru liceu

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 9

Logaritm din produs: logb⁡(MN)=logb⁡(M)+logb⁡(N)‍

Logaritm din cât: logb⁡(MN)=logb⁡(M)−logb⁡(N)‍

Logaritm din putere: logb⁡(Mp)=plogb⁡(M)‍

Vrei să te alături conversației?

Logaritm din produs: $\log_{b} (M N) = \log_{b} (M) + \log_{b} (N)$ ‍

Logaritm din cât: $\log_{b} (\frac{M}{N}) = \log_{b} (M) - \log_{b} (N)$ ‍

Logaritm din putere: $\log_{b} (M^{p}) = p \log_{b} (M)$ ‍