Adunarea și scăderea matricelor

Să ne gândim cum putem defini “Adunarea matricelor”. Matematicienii ar fi putut să aleagă orice mod de a defini adunarea. Dar au ales pentru adunare o metodă care are într-adevăr sens și proprietăți care ne permit să facem lucruri interesante mai târziu cu matricele. Dacă erai unul dintre acești matematicieni care au definit cum se vor aduna matricele, cum ai fi definit adunarea acestei prime matrice cu cea de-a doua? Ei bine, primul lucru obișnuit care ți-ar fi venit în minte -- mai ales că cele două matrice au aceleași dimensiuni -- (Aceasta este o matrice de 2 pe 3. Are 2 linii și 3 coloane. Și aceasta este tot de 2 pe 3. Are și ea 2 linii și 3 coloane.) --ai fi adunat elementele corespunzătoare. Și dacă așa ai fi simțit, atunci ai fi avut aceeași intuiție ca marii matematicieni. Căci adunarea matricelor înseamnă chiar asta: să aduni elementele corepondente. În cazul nostru, am aduna 1 + 5 pentru a obține elementul sumei - care este 6. Putem aduna -7 plus zero și obținem -7. Îl putem aduna pe 5 cu 3 și obținem 8. Putem aduna -și rămân fără culori- Putem aduna 0 plus 11 și obținem 11. Adunăm 3 la -1 și obținem 2. Iar acum adunăm -10 plus 7 și obținem -3. Dacă te uiți la această definiție a adunării matricelor, observi că nu contează în ce ordine adunăm aceste matrice. Am fi putut să adună și invers. Uite, dacă adunăm invers, - stai să copiez asta - deci, dacă adunam această matrice - să o copiez aici - dacă adunam acea matrice la - încă una copiată - această matrice, observi că ordinea în care adunăm matricele nu contează. Este la fel ca la suma numerelor. A plus B este egal cu B plus A. Dar, atenție, lucrul acesta nu va fi valabil pentru toate operațiile cu matrice pe care le vom studia. În special, nu este adevărat pentru înmulțirea matricelor. Dar dacă adunăm acestea două folosind definiția dinainte, adunarea termenilor corespondenți, vom avea exact același rezultat. Aici sus am adunat 1 plus 5 și am obținut 6. Aici adunăm 5 plus 1 și obținem 6. Avem același rezultat, deoarece 1 plus 5 este egal cu 5 plus 1. Aici avem 0 plus -7 și obținem -7. Așadar, obținem exact același lucru ca aici sus. Deci, când adunăm matrice, dacă o notăm pe aceasta cu A (de obicei folosim majuscule îngroșate) și o numim pe aceasta matricea B, atunci facem suma A plus B, care este aceasta de aici. Observăm că este exact același lucru ca matricea B plus matricea A. Hai să te întreb ceva interesant: Dacă am fi vrut să scădem matrice? Hai să presupunem și aici că sunt matrice cu aceleași dimensiuni. Să zicem că avem matrice de 2 pe 2. Să luăm: 0, 1 3, 2 Și vreau să scad: -1, 3 0, 5 Probabil că spui așa: "- Pur și simplu scădem elementele corespondente." Într-adevăr, așa definim scăderea matricelor. De fapt, nici nu ar trebui să definim scăderea matricelor, căci ea reiese din ce am învățat la înmulțirea cu scalar și adunarea matricelor. O putem vedea exact ca pe - este exact la fel - 0, 1 3, 2 la care adunăm: -1 ori -1, 3 0, 5. Dacă faci calculele, vei obține același rezultat ca la scăderea elementelor corespondente. Deci va fi - cât va fi? 0 minus -1 face 1, 1 minus 3 face -2, 3 minus 0 este 3, 2 minus 5 face -3. Și obținem la fel ca aici. Când înmulțim -1 cu -1 obținem +1, 1 plus 0 face 1. -1 ori 3 plus 1 face -2. Destul de simplu. S-ar putea să îți fi trecut prin minte o întrebare: "- Bine, înțeleg că atunci când adun sau scad matrice care au aceleași dimensiuni pur și simplu adun sau scad elementele corespondente. Dar ce se întâmplă când avem matrice de dimensiuni diferite?" De exemplu, dacă ar trebui să adunăm matricea 1, 0, 3, 5, 0, 1 cu matricea - deci avem o matrice de 3 pe 2 - și vrem să adunăm la ea o matrice de 2 pe 2. 5, 7 -1, 0. Cum am defini asta? Ei, asta e! Matematicienii nu au definit așa ceva. Nu se poate defini. Acestea nu se pot aduna. Așadar, nu este definită adunarea sau scăderea matricelor pentru matrice de dimensiuni diferite. Nu s-a găsit niciun motiv rezonabil, care să justifice utilitatea și consistența logică a unei asemenea operații.