If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Vizualizarea înmulțirii numerelor complexe

Înveți cum se arată înmulțirea numerelor complexe, privind la consecințele sale în planul complex.

Cum arată înmulțirea numerelor complexe?

Până acum, am învățat să înmulțim două numere complexe exprimate în formă algebrică și în formă trigonometrică. În special, forma trigonometrică ne indică să înmulțim modulul și să adunăm unghiurile.
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]
Un lucru foarte relevant pentru înțelegerea înmulțirii numerelor complexe în forma trigonometrică este faptul că ne permite să vizualizăm ce se întâmplă.
Ce se întâmplă dacă înmulțim fiecare punct al planului complex cu un număr complex oarecare z? Dacă z are forma trigonometrică r(cos(θ)+isin(θ)), regula remarcată anterior ne spune că fiecare punct din planul complex va fi amplificat cu factorul r și rotit cu unghiul θ.

Exemple

Pentru z=3+i=2(cos(30)+isin(30)), înmulțirea lui z ar amplifica orice număr cu factorul 2 și l-ar roti cu 30, astfel:
Acoperirea video Khan Academy
Pentru z=13i3, valoarea absolută a lui z este
(13)2+(13)2=23
iar unghiul său este 45, deci înmulțirea cu z ar scala totul cu factorul 230,471, ceea ce înseamnă comprimare, simultană cu rotirea cu 45 față de origine, adică o rotire în sensul acelor de ceasornic.
Acoperirea video Khan Academy
Pentru z=2, care are valoarea absolută 2 și unghiul 180, înmulțirea rotește cu o jumătate de rotație în jurul originii și scalează cu factorul 2.
Acoperirea video Khan Academy
Alt mod de a ne gândi la aceste transformări, precum și la înmulțirea numerelor complexe în general, ar fi să marcăm numerele 1 și z și să observăm că înmulțirea cu z deplasează punctul de la poziția lui 1 la poziția lui z, căci z1=z. Desigur, trebuie să menționăm că originea rămâne fixă, deoarece z0=0.
Acoperirea video Khan Academy
Acoperirea video Khan Academy
Acoperirea video Khan Academy
Nu este uimitor faptul că operații atât de simple precum z1=z și z0=0 pot fi atât de utile în vizualizarea înmulțirii numerelor complexe?

Înțelegerea vizuală a conjugatului unui număr complex

Hai să vedem ce se întâmplă când înmulțim planul cu un număr complex z, apoi înmulțim rezultatul cu conjugatul acestuia z¯:
Acoperirea video Khan Academy
Acoperirea video Khan Academy
Dacă unghiul lui z este θ, unghiul conjugatului complex z¯ este θ, deci înmulțirile succesive anulează rotația. Vedem aceasta pentru că punctul inițial 1 ajunge pe axa reală, în partea pozitivă.
Dar cu modulul cum rămâne? Cele două numere au aceeași valoare absolută, |z|=|z¯|, deci efectul înmulțirii cu z, apoi cu z¯ este scalarea cu factorul |z||z¯|=|z|2.
Bineînțeles, este foarte simplu să observăm cu ajutorul acestor formule, deoarece (a+bi)(abi)=a2+b2=|a+bi|2, dar putem să punem în lumină și mai mult folosind asta.

Cum arată împărțirea numerelor complexe?

Ce se întâmplă când împărțim cu z fiecare număr al planului complex? Dacă z are unghiul θ și valoarea absolută r, atunci împărțirea este operația inversă înmulțirii: ea rotește orice cu unghiul θ și scalează cu factorul 1r (ceea ce înseamnă comprimarea cu factorul r).

Exemplul 1: Împărțirea cu 3+i

Unghiul lui 3+i este 30, iar valoarea absolută este 2, deci se rotește totul cu 30, în sensul acelor de ceasornic și se scalează cu factorul 12 (ceea ce înseamnă comprimarea cu factorul 2).
Acoperirea video Khan Academy

Exemplul 2: Împărțirea cu 13i3

Unghiul lui 13i3 este 45, iar valoarea absolută a sa este
(13)2+(13)2=23
Așadar, acum totul se rotește cu +45 și se scalează cu factorul 322,121.
Acoperirea video Khan Academy
Probabil ai observat că aceste împărțiri pot fi interpretate ca mutarea punctului din z la poziția lui 1.

Corelarea vizualizării cu formula împărțirii numerelor complexe

Pentru a calcula zw, în care să presupunem că z=a+bi și w=c+di, am învățat să înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu conjugatul lui w, w=cdi.
zw=a+bic+di=a+bic+dicdicdi=(a+bi)(cdi)c2+d2=zw|w|2
Cu alte cuvinte, împărțirea cu w este același lucru cu înmulțirea cu w|w|2. Putem vizualiza asta în vreun fel?
Să presupunem că w are argumentul θ și modulul r, apoi pentru a împărți cu w, trebuie să rotim cu θ și să scalăm cu 1r. Deoarece w, conjugatul, are unghiul opus lui w, înmulțirea cu w va roti cu θ, exact cum voiam. Totuși, înmulțirea cu w scalează totul cu factorul r, iar noi aveam nevoie invers, deci împărțim cu r2=|w|2 pentru a corecta.
De exemplu, iată cum arată împărțirea cu 1+2i:
Acoperirea video Khan Academy
Și iată cum arată înmulțirea cu conjugatul, 12i, apoi împărțirea cu pătratul modulului |1+2i|2=5.
Acoperirea video Khan Academy
Rezultatul final al ambelor este același.