If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Vizualizarea puterilor unui număr complex

Înveți cum se comportă puterile numerelor complexe, urmărind grafic în planul complex.

Legătura între i2=1 și poziția lui i

Am început studiul numerelor complexe prin inventarea unui număr i care verifică i2=1 și apoi l-am vizualizat prin plasarea lui în afara axei numerelor, cu o unitate deasupra lui 0. Cu vizualizarea oferită în ultima parte, putem vedea de ce acel punct în spațiu este un loc firesc pentru un număr al cărui pătrat este 1.
Vedem că înmulțirea cu i dă o rotație de 90 în jurul originii:
Acoperirea video Khan Academy
Putem să ne gândim la asta fie pentru că i are modulul 1 și argumentul 90, fie pentru că această rotație este singurul mod de mișcare în jurul originii ( 0 fix) care duce pe 1 în locul unde era i.
Deci, ce se întâmplă dacă înmulțim ceva în plan cu i de două ori?
Acoperirea video Khan Academy
Este ca o rotație de 180 în jurul originii, care înseamnă înmulțirea cu 1. Aceasta are sens, deoarece înmulțirea cu i de două ori are același rezulat ca înmulțirea cu i2, care ar fi 1.
Este interesant să ne gândim dacă noi am fi încercat să plasăm pe i altundeva, dar să-și păstreze proprietatea caracteristică i2=1 și dacă am fi avut o vizualizare la fel de clară pentru înmulțirea numerelor complexe.

Ridicarea la putere a numerelor complexe

Hai să vedem înmulțirea repetată a unui număr complex cu el înșusi.

Exemplul 1: (1+i3)3

Luăm numărul z=1+i3, care are modulul 12+(3)2=2 și argumentul 60. Ce se întâmplă dacă îl înmulțim pe z de trei ori la rând cu el însuși?
Acoperirea video Khan Academy
Totul este amplificat cu factorul 2 de trei ori așa că în final se scalează cu un factor egal cu 23=8. De asemenea, totul este rotit cu 60 de trei ori la rând, așa că în final este rotit cu 180. Deci, la sfârșit este același lucru ca înmulțirea cu 8, deci (1+i3)3=8.
Putem vedea aceasta dacă folosim algebra, după cum urmează:
=(2(cos(60)+isin(60)))3=23(cos(60+60+60)+isin(60+60+60) =8(cos(180)+isin(180))=8

Exemplul 2: (1+i)8

Apoi, presupunem că înmulțim totul în planul complex cu (1+i) de opt ori succesiv:
Acoperirea video Khan Academy
Deoarece modulul lui 1+i este
|1+i|=12+12=2,
orice este amplificat cu factorul 2 de opt ori și deci în final este amplificat cu (2)8=24=16.
Deoarece unghiul lui (1+i) este 45, orice lucru este în final rotit cu 845=360, deci per total este ca și cum nu s-ar roti deloc. Ca atare (1+i)8=16.
Alternativ, modul de a vedea acest lucru algebric este
=(1+i)8=(2(cos(45)+isin(45))8=(2)8(cos(45++458 ori)+isin(45++458 ori))=16(cos(360)+isin(360))=16

Exemplul 3: z5=1

Acum să începem prin a pune întrebarea inversă: există oare un număr z astfel ca după amplificarea oricărui lucru în planul complex cu z de cinci ori consecutiv, lucrurile să se întoarcă de unde au plecat? Cu alte cuvinte, putem noi rezolva ecuația z5=1? Un răspuns simplu este z=1, dar să vedem dacă putem afla și altul.
Mai întâi de toate, modulul unui astfel de număr ar fi 1, deoarece dacă ar fi mai mare decât 1, planul se va extinde și dacă ar fi mai mic decât 1, el se va restrânge. Rotația este altceva, deoarece te poți întoarce la locul de început după câteva rotații repetate. În particular, dacă rotești 15 dintr-un cerc, ca aici
Acoperirea video Khan Academy
apoi făcând aceasta de 5 ori consecutiv vei ajunge din nou de unde ai plecat.
Acoperirea video Khan Academy
Numărul care rotește planul în acest mod este cos(72)+isin(72), deoarece 3605=72.
Există și alte soluții, precum rotirea cu 25 dintr-un cerc:
Acoperirea video Khan Academy
sau cu 15 dintr-o altă rotație completă:
Acoperirea video Khan Academy
În fapt, frumusețea este că numerele care rezolvă ecuația formează un pentagon perfect pe cercul unitate:

Exemplu 4: z6=27

Privind ecuația z6=27, se cere să aflăm numărul complex z astfel că amplificând cu acest număr de 6 ori succesiv vom scala cu un factor egal cu 27 și roti cu 180, deoarece semnul minus indică o rotație de 180.
Un lucru care va fi amplificat cu un factor egal cu 27 după 6 aplicații trebuie să aibă mărimea de A276=3 și o rotație care dă 180 după 6 aplicații este de 1806=30. Ca atare un număr care rezolvă această ecuație este z6=27
3(cos(30)+isin(30))=3(32+i12)=32+i32
Totusi, mai există și alte răspunsuri! De fapt, aceste răspunsuri formează un hexagon perfect pe cercul cu raza egală cu 3:
Poți vedea de ce?

Rezolvarea ecuației generale zn=w

Să generalizăm ultimele două exemple. Dacă sunt date valorile w și n și se cere aflarea lui z, cum a fost în ultimele exemple unde n=6 și w=27, mai întâi aflăm reprezentarea trigonometrică (polară) a lui w:
w=r(cos(θ)+isin(θ))
Aceasta înseamnă că argumentul (unghiul) lui z trebuie să fie θn și modulul Arn, deoarece în acest mod amplificând cu z de n ori succesiv efectul va fi rotirea cu θ și înmulțirea cu r, pentru a obține pe w, deci
z=Arn(cos(θn)+isin(θn))
Pentru a obține alte soluții, reținem în minte că unghiul θ poate fi gândit ca θ+2π, sau θ+4π, sau θ+2kπ pentru orice întreg k, deoarece acestea formează toate același unghi. Motivul pentru care acest lucru contează este că afectează valoarea lui θn dacă înlocuim θ cu θ+2πk înainte de împărțire. Deci toate răspunsurile vor fi de forma
z=Arn(cos(θ+2kπn)+isin(θ+2kπn))
pentru orice valoare a întregului k. Aceste valori vor fi diferite când k merge de la 0 la n1, dar îndată ce k=n putem observa că unghiul θ+2nπn=θn+2π este de fapt același cu θn, deoarece ele diferă printr-o rotație completă. Ca atare, toate răspunsurile se obțin considerând valorile lui k mergând de la 0 la n1.