Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 4

Lecția 5: Operații cu funcții

Adunarea și scăderea funcțiilor

Afli cum putem să adunăm sau să scădem două funcții pentru a crea o nouă funcție.

La fel cum adunăm și scădem numere, putem să adunăm și să scădem funcții. De exemplu, dacă avem funcțiile

f

și

g

, putem crea două funcții noi:

f + g

și

f - g

Adunarea a două funcții

Exemplu

Hai să luăm un exemplu, ca să vezi cum se lucrează.

Fiind date funcțiile

f (x) = x + 1

și

g (x) = x^{2} - 2 x + 5

, determină funcția

(f + g) (x)

Soluție

Cea mai dificilă parte în operațiile cu funcții constă în înțelegerea notației. Ce înseamnă

(f + g) (x)

Ei bine,

(f + g) (x)

înseamnă pur și simplu să calculăm suma dintre

f (x)

și

g (x)

. Matematic, aceasta înseamnă că

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Acum, problema a devenit ceva mai familiară.

\begin{aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) Definim. \\ = (x + 1) + (x^{2} - 2 x + 5) Înlocuime. \\ = x + 1 + x^{2} - 2 x + 5 Eliminăm parantezele. \\ = x^{2} - x + 6 Grupăm termenii asemenea. \end{aligned}

De asemenea, putem să urmărim reprezentarea grafică:

În imaginile de mai jos, sunt reprezentate graficele funcțiilor

y = f (x)

y = g (x)

și

y = (f + g) (x)

Din primul grafic putem observa că

f (2) = 3

și

g (2) = 5

. Din al doilea grafic, observăm că

(f + g) (2) = 8

Așadar,

f (2) + g (2) = (f + g) (2)

deoarece

3 + 5 = 8

Acum încearcă tu. Convinge-te că

f (1) + g (1) = (f + g) (1)

Evaluează expresiile de mai jos.

f (1) =

g (1) =

(f + g) (1) =

Hai să mai încercăm niște probleme de antrenament.

În problemele 1 și 2, se consideră

a (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

și

b (x) = x^{2} + 8 x - 10

Problema 1

Determină $(a + b) (x)$ ‍.

Problema 2

Calculează $(a + b) (- 1)$ ‍.

Există două metode de a calcula

(a + b) (- 1)

Metoda 1: Determinăm funcția

(a + b) (x)

și apoi calculăm valoarea ei în

x = - 1

În ultima problemă am aflat că

(a + b) (x) = 4 x^{2} + 3 x - 8

. Hai să înlocuim

x = - 1

$\begin{aligned} (a + b) (x) & = 4 x^{2} + 3 x - 8 \\ (a + b) (- 1) & = 4 (- 1)^{2} + 3 (- 1) - 8 \\ = 4 - 3 - 8 \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Metoda 2: Calculăm

a (- 1)

și

b (- 1)

, apoi adunăm cele două rezultate.

În primul rând, să calculăm

a (- 1)

$\begin{aligned} a (x) & = 3 x^{2} - 5 x + 2 \\ a (- 1) & = 3 (- 1)^{2} - 5 (- 1) + 2 \\ = 3 + 5 + 2 \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

Acum, să calculăm

b (- 1)

$\begin{aligned} b (x) & = x^{2} + 8 x - 10 \\ b (- 1) & = (- 1)^{2} + 8 (- 1) - 10 \\ = 1 - 8 - 10 \\ = - 17 \end{aligned}$ ‍

Deci avem:

$\begin{aligned} (a + b) (- 1) & = a (- 1) + b (- 1) \\ = 10 + (- 17) \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Deoarece am determinat

(a + b) (x)

în ultima problemă, metoda 1 poate fi mai eficientă.

Scăderea a două funcții

Scăderea a două funcții funcționează în mod similar. Iată un exemplu:

Exemplu

p (t) = 2 t - 1

și

q (t) = - t^{2} - 4 t - 1

Hai să determinăm

(q - p) (t)

Soluție

Din nou, cea mai complicată parte aici este înțelegerea notației. Dar, după ce am lucrat exemplul cu adunarea,

(q - p) (t)

înseamnă exact ceea ce ai gândit!

Prin definiție,

(q - p) (t) = q (t) - p (t)

. Acum putem rezolva problema.

\begin{aligned} (q - p) (t) \\ = q (t) - p (t) Definim. \\ = (- t^{2} - 4 t - 1) - (2 t - 1) Înlocuim. \\ = - t^{2} - 4 t - 1 - 2 t + 1 Atenție semnul minus. \\ = - t^{2} - 6 t Grupăm termenii asemenea. \end{aligned}

Așadar,

(q - p) (t) = - t^{2} - 6 t .

Hai să mai încercăm niște probleme de antrenament.

Problema 3

j (n) = 3 n^{3} - n^{2} + 8

k (n) = - 8 n^{2} + 3 n - 5

Determină $(j - k) (n)$ ‍.

Problema 4

g (x) = 4 x^{2} - 7 x + 2

h (x) = 2 x - 5

Evaluează $(h - g) (3)$ ‍.

Există două metode de a calcula

(h - g) (3)

Metoda 1: Calculăm

h (3)

și

g (3)

, apoi scădem cele două rezultate.

În primul rând, să calculăm

h (3)

$\begin{aligned} h (x) & = 2 x - 5 \\ h (3) & = 2 (3) - 5 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Acum, să calculăm

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = 4 x^{2} - 7 x + 2 \\ g (3) & = 4 (3)^{2} - 7 (3) + 2 \\ = 36 - 21 + 2 \\ = 17 \end{aligned}$ ‍

Deci avem:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = h (3) - g (3) \\ = 1 - 17 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Metoda 2: Determinăm funcția

(h - g) (x)

și apoi calculăm valoarea ei în

x = 3

$\begin{aligned} (h - g) (x) & = (2 x - 5) - (4 x^{2} - 7 x + 2) \\ = 2 x - 5 - 4 x^{2} + 7 x - 2 \\ = - 4 x^{2} + 9 x - 7 \end{aligned}$ ‍

Când

x = 3

, avem:

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = - 4 (3)^{2} + 9 (3) - 7 \\ = - 36 + 27 - 7 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Folosind oricare dintre metode, vedem că

(h - g) (3) = - 16

Aplicație

La o universitate, numărul celor

M

băieți și numărul celor

W

fete care au absolvit în

t

ani din 1980 este dat cu ajutorul funcțiilor

M (t) = 526 - t

, respectiv

W (t) = 474 + 2 t

Fie

N

numărul total al studenților care au absolvit universitatea în cei

t

ani din 1980.

Scrie o expresie pentru $N (t)$ ‍.

N (t) =

Problemă provocare

În imaginea de mai jos, sunt date graficele funcțiilor

y = f (x)

și

y = g (x)

Care este graficul funcției $y = (f + g) (x)$ ‍?

Hai să calculăm

(f + g) (x)

pentru o anumită valoare a lui

x

. Pe baza acelei valori, putem să identificăm care este graficul corect. Să încercăm cu

x = 4

\begin{aligned} (f + g) (4) & = f (4) + g (4) \\ = 4 + g (4) Deoarece f (4) = 4 \\ = 4 + 0 Deoarece g (4) = 0 \\ = 4 \end{aligned}

Deci

(f + g) (4) = 4

, ceea ce înseamnă că graficul lui

y = (f + g) (x)

trebuie să treacă prin

(4, 4)

. Deoarece numai graficul

A

trece prin

(4, 4)

, acesta trebuie să fie graficul corect.

Explicația de mai sus am dat-o pentru

x = 4

, dar ne puteam gândi la orice altă valoare a lui

x

. În tabelul de mai jos avem informații pentru valori "drăguțe" ale lui

x

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$(f + g) (x)$ ‍
$- 8$ ‍	$- 8$ ‍	$0$ ‍	$- 8$ ‍
$- 6$ ‍	$- 6$ ‍	$1$ ‍	$- 5$ ‍
$- 4$ ‍	$- 4$ ‍	$0$ ‍	$- 4$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$- 3$ ‍
$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍
$2$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍
$4$ ‍	$4$ ‍	$0$ ‍	$4$ ‍
$6$ ‍	$6$ ‍	$- 1$ ‍	$5$ ‍
$8$ ‍	$8$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

Așadar, graficul funcției

y = (f + g) (x)

trebuie să treacă prin punctele

(- 8, - 8)

(- 6, - 5)

(- 4, - 4)

(- 2, - 3)

(0, 0)

(2, 3)

(4, 4)

(6, 5)

șî

(8, 8)

. Acestea corespund graficului

A

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.