Conţinutul principal

Curs: Algebră pentru liceu > Unitatea 1

Lecția 6: Sume parțiale

Fișă de lucru cu sume parțiale aritmetice

Încearcă să rezolvi câteva exerciții în care ți se cere să calculezi sume parțiale pentru progresii aritmetice.

Antrenează-te cu evaluarea sumelor parțiale pentru progresii aritmetice

Problema 1

\sum_{k = 1}^{275} (- 5 k + 12) =

Ce se cere?

Se cere suma valorilor termenilor

- 5 k + 12

de la

k = 1

până la

k = 275

(- 5 \cdot 1 + 12) + (- 5 \cdot 2 + 12) + … + (- 5 \cdot 275 + 12)

Avem o sumă parțială pentru o progresie aritmetică deoarece formula

- 5 k + 12

este funcție liniară de

k

Formula pentru sumele parțiale aritmetice

Suma parțială

S_{n}

pentru o progresie aritmetică este

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

unde

a_{1}

ieste primul termen,

a_{n}

este ultimul termen, iar

n

reprezintă numărul de termeni.

De ce avem nevoie pentru a folosi formula?

Numărul de termeni

(n = 275)

este limita superioară a simbolului sigma.

Trebuie să găsim

a_{1}

(primul termen) și

a_{275}

(ultimul termen).

Pasul 1: Aflăm $a_{1}$ ‍ şi $a_{275}$ ‍ (primul şi ultimul termen)

a_{1} = - 5 (1) + 12 = 7

a_{275} = - 5 (275) + 12 = - 1363

Pasul 2: Aflăm suma parțială $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{275} & = \frac{(7 + (- 1363))}{2} \cdot 275 \\ S_{275} & = - 678 (275) \\ S_{275} & = - 186 450 \end{aligned}

Răspuns

- 186.450

Problema 2

Termenul

a_{i}

al progresiei aritmetice este dat de formula:

a_{1} = 2

a_{i} = a_{i - 1} - 3

Găsește suma primilor $335$ ‍ de termeni ai progresiei.

Noţiuni de bază

Hai să scriem primii câțiva termeni:

2 + (- 1) + (- 4) + (- 7) …

Avem de-a face cu o progresie aritmetică deoarece diferența dintre termeni consecutivi este constantă. Mai exact, fiecare termen este cu

3

mai mic decât termenul anterior.

Avem nevoie de o formulă pentru a calcula suma termenilor.

Formula pentru sumele parțiale aritmetice

Suma parțială

S_{n}

pentru o progresie aritmetică este

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

unde

a_{1}

ieste primul termen,

a_{n}

este ultimul termen, iar

n

reprezintă numărul de termeni.

De ce avem nevoie pentru a folosi formula?

Primul termen

(a_{1} = 2)

și numărul de termeni

(n = 335)

se cunosc.

Trebuie să aflăm ultimul termen

(a_{n})

Pasul 1: Aflăm $a_{n}$ ‍ (ultimul termen)

După primul termen avem

335 - 1 = 334

termeni. Termenii progresiei descresc cu cu

3

la fiecare pas. Deci, progresia descrește, în total, cu

334 \cdot 3 = 1002

începând de la

2

. Aceasta înseamnă că ultimul termen trebuie să fie

2 - 1002 = - 1000

Cu alte cuvinte,

a_{n} = - 1000

Pasul 2: Aflăm suma parțială $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{335} & = \frac{(2 + (- 1000))}{2} \cdot 335 \\ S_{335} & = - 499 (335) \\ S_{335} & = - 167 165 \end{aligned}

Răspuns

- 167.165

Problema 3

Află suma $- 50 + (- 44) + (- 38) + … + 2038 + 2044$ ‍.

Noţiuni de bază

Avem de-a face cu o progresie aritmetică deoarece diferența dintre termeni consecutivi este constantă. Mai exact, fiecare termen este cu

6

mai mare decât termenul anterior.

Avem nevoie de o formulă pentru a calcula suma termenilor.

Formula pentru sumele parțiale aritmetice

Suma parțială

S_{n}

pentru o progresie aritmetică este

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n

unde

a_{1}

ieste primul termen,

a_{n}

este ultimul termen, iar

n

reprezintă numărul de termeni.

De ce avem nevoie pentru a folosi formula?

Primul termen

(a_{1} = - 50)

și ultimul termen

(n = 2044)

se cunosc.

Trebuie să aflăm

n

(numărul de termeni).

Pasul 1: Aflăm $n$ ‍ (numărul de termeni)

Progresia crește cu

2044 - (- 50) = 2094

de la primul până la ultimul termen. Deoarece pasul progresiei este

6

, avem nevoie de

\frac{2094}{6} = 349

termeni pentru a ajunge de la valoarea primului termen până la ultimul. Trebuie să luăm în calcul și primul termen, deci în total progresia are

349 + 1 = 350

termeni.

Cu alte cuvinte,

n = 350

Pasul 2: Aflăm suma parțială $(S_{n})$ ‍

\begin{aligned} S_{n} & = \frac{(a_{1} + a_{n})}{2} \cdot n \\ S_{350} & = \frac{(- 50 + 2044)}{2} \cdot 350 \\ S_{350} & = 997 (350) \\ S_{350} & = 348 950 \end{aligned}

Răspuns

348.950

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.