If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Ordinea operațiilor cu numere raționale

Hai să aprofundăm ordinea operațiilor! Cum se folosesc opusul, modulul și inversul în efectuarea de calcule? Cum se folosesc în raport cu alte proprietăți precum proprietatea de distributivitate sau de comutativitate?

Recapitulare ordinea operațiilor

Atunci când într-o expresie avem o mulţime de operaţii, trebuie să cădem de acord asupra ordinii în care le evaluăm. Astfel, vom ajunge cu toții aceeaşi valoare a expresiei. Am putea folosi doar paranteze pentru a arăta întotdeauna ce să facem mai întâi, dar ne place să scriem mai puțin, dacă este posibil.
Astfel, s-a convenit să evaluăm mai întâi operațiile de ordin mai mare (cele care au prioritate mai mare). Înmulțirea reprezintă o adunare repetată, deci efectuăm înmulțirea înaintea adunării. Puterile reprezintă înmulțiri repetate, deci ridicăm la putere înainte de a efectua alte înmulțiri.
  • Gruparea simbolurilor: În primul rând, evaluăm expresii cuprinse între simboluri de grupare. Există mai multe tipuri de simboluri de grupare. Cele mai folosite sunt parantezele rotunde, parantezele pătrate, acoladele, linii de fracție, simbolul pentru modul sau valoare absolută.
  • Puteri: Apoi calculăm expresiile care conțin exponenți. Există și operații inverse ridicării la putere (avem 2 asemenea operații deoarece ridicarea la putere nu este comutativă). Acestea ocupă aceeași poziție în ordine, se fac tot la acest pas.
  • Înmulțirea: La al treilea pas, efectuăm înmulțirile. Împărțirea este operația inversă înmulțirii, deci se face tot acum.
  • Adunarea: La ultimul pas, efectuăm adunarea. Scăderea este operația inversă adunării, deci se face tot acum.
Știai că... există operații care conduc la creșterea numărului mult mai repede decât puterile? Una dintre ele apare frecvent în probabilități.
Cunoști vreo operație pentru care creșterea numărului se face mult mai lent decât la adunare? Scrie-ne desprea ea în comentarii.

Puteri cu numere negative

Unde se găsește semnul minus în ordinea operațiilor? În expresia 42, care este mai întâi, semnul minus sau ridicarea la putere? Un semn minus înseamnă că se ia opusul numărului, ceea ce este același lucru cu înmulțirea cu numărul 1. Așadar, luăm opusul în pasul corespunzător înmulțirii și împărțirii.
Hai să calculăm (4)2 și 42.
(4)2=4(4)Evaluăm grupările.=16Înmulțim.
Pentru (4)2, luăm mai întâi opusul numărului 4, deoarece semnul minus este situat în interiorul parantezelor.
42=(44)Evaluăm puterea.=16Luăm opusul.
Pentru 42, mai întâi ridicăm la pătrat numărul 4, deoarece în ordinea operațiilor puterile se calculează înaintea înmulțirii cu 1.
Problema 1.1
Calculează:
34=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Puteri de fracții

Să ne amintim că p fracție are trei niveluri de grupare: numărătorul, numitorul, respectiv întreaga fracție. Dacă nu există paranteze sau alte simboluri de grupare, atunci exponentul face parte din numărător, respectiv de numitor, în funcție de poziția sus sau jos în care apare.
De exemplu, în expresia (32)4, întreaga fracție este în interiorul unor simboluri de grupare, mai exact între paranteze. Exponentul 4 este în afara parantezelor. Prin urmare, ridicăm întreaga fracție la puterea 3.
(32)4=32323232=8116
Pe de altă parte, în expresia 342, singurul simbol de grupare este linia de fracție. Exponentul 4 este la numărător. Prin urmare, îl ridicăm doar pe 3 la puterea 4.
342=33332=812
Problema 2.1
Calculează:
272=
  • Your answer should be
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4

Modulul (valoarea absolută)

Să presupunem că avem expresia 412|711100|. Știm că trebuie calculată înmulțirea înaintea scăderii, dar modulul când se calculează?
În primul rând, modulul reprezintă și un simbor de grupare. Așadar, ceea ce este în interiorul lui se calculează la pasul corespunzător simbolurilor de grupare. Așa, deci mai întâi înmulțim 711 și obținem 77, apoi scădem 100 și obținem 23 în interiorul modulului.
Apoi luăm valoarea absolută la același pas în care calculăm puterile.
Știai că... există și alte operații care se execută tot la acest pas, căci reprezintă operațiile inverse ridicării la putere exact așa cum scăderea este operația inversă adunării?
Problema 3.1
Calculează:
412|711100|=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Adunăm și scădem de la stânga la dreapta?

Probabil ai învățat că evaluarea adunării și scăderii se face de la stânga la dreapta, iar acest lucru este normal, căci scăderea nu este o operație comutativă și nici asociativă. Din fericire, putem rescrie scăderea ca o adunare cu opusul numărului.
Hai să rescriem 4+63+1.
4+63+1=4termen+6termen+(3termen)+1termen
Bun, deci pentru că avem o adunare, putem să schimbăm ordinea și să grupăm!
Odată ce ne obișnuim să privim scăderea ca adunare cu opusul, putem face tot felul de scurtături. De multe ori se omit simbolurile + suplimentare.
4termen+6termen3termen+1termen
De fiecare dată când ajungem la un + sau un care nu este inclus într-un simbol de grupare, știm că începe un nou termen. Simbolul rămâne la termenul său. Apoi putem să comutăm sau să asociem termenii cum vrem.
4+63+1=6+134=(6+1)+(34)=7+(7)
Problema 4.1
Care 2 expresii de mai jos sunt echivalente cu 0,25+(8)13+0,7?
Alege 2 variante:

Înmulțim și împărțim de la stânga spre dreapta?

Inversul unui număr ne spune de câte ori trebuie să luăm acel număr ca să obținem 1. Partea bună este că putem rescrie împărțirea la un număr ca înmulțire cu inversul.
Iată câteva exemple.
  • 8:6=816
  • 37:611=37116
  • 11:0,25=11:14=11×4
Asta este grozav, deoarece putem comuta și asocia factorii înmulțirii în orice fel.
Hai să rescriem 3:824.
3:824=31824=32418=3(2418)=3(24:8)
La fel ca la adunare și scădere, uneori putem scrie concentrat grupând simbolul de împărțire cu factorul respectiv.
3factor:8factorul 1824factor=324:8
O expresie nu poate începe cu simbolul : și, prin urmare, dacă mutăm împărțirea la începutul expresiei sau într-un simbol de grupare, atunci îl scriem ca factor folosind inversul.
3factor:8factorul 1824factor=18324
Ține minte: nu putem muta un factor într-un alt termen. Dacă un simbol + sau nu este în interiorul unui simbol de grupare, atunci el marchează începutul unui alt termen. De exemplu, expresia 1025 are 2 termeni: 102 și 5.
102510522051010150
Problema 5.1
Care 2 expresii de mai jos sunt echivalente cu 34:85:6?
Alege 2 variante:

Simboluri de grupare și desfacerea parantezelor

Amintește-ți că proprietatea de distributivitate ne permite să scriem expresii echivalente care conțin paranteze și înmulțiri. Așadar, obținem aceeași valoare fie că desfacem parantezele, fie că efectuăm mai întâi calculele din paranteze.
Hai să verificăm!
12+(7)(20+5)=12+(7)(15)Calculăm parantezele.=12+(7)+15Înmulțim 1 cu 15.=20Adunăm.
Acum, calculăm prin desfacerea parantezelor:
12+(7)(20+5)=12+(7)+205Distribuim 1.=20Adunăm.
Am obținut aceeași valoare în ambele variante.
Ține minte: proprietatea de distributivitate nu se aplică tuturor simbolurilor de grupare, ci doar parantezelor și acoladelor.
7|34||7(3)+(7)(4)|77