Ortocentrul și centrul de greutate

Am fost intrebati sa demonstram ca daca ortocentru si centrul de greutate Ale unui triunghi dat reprezinta aceelasi punct Atunci triunghiul este echilateral Deci am un triunghi aici si vom asuma Ca ortocentrul si centrul lui de greutate sunt aceelasi punct Si doar ca sa revedem ca orticentru este punctual unde Cele trei inaltimi ale unui triunghi se intersecteaza Si centrul de greutate este punctul unde cele trei mediane Deci putem face , putem asuma ca aceste trei linii de aici ca acestea sunt amandoua inaltime si mediana Si ca acest punct de aici este amandoua otpcentru si centru de greutate Deci daca asumam ca aceste linii sunt inaltimi Si ca ne spune ca sunt perpendicular pe laturile opuse Deci ca este un unghi de 90 de grade , acestea sunt amandoua unghiuri de 90 de grade Acestea sunt amandoua unghiuri de 90 de grade Acestea sunt amandoua unghiuri de 90 de grade Si de fapt ca centrul de greutate inseamna Ca fiecare dintre aceste linii intersecteaza laturile opuse Deci ne spune ca aceasta lungime e egala cu lungimea Ca aceasta lungime , hai sa folosesc o culoare diferita Ca aceasta lungime e egala cu aceasta lungime Si ne spune ca aceasta lungime , aceasta lungime e egala cu aceasta lungime Si mai puteti spune de asemeni Ei bine fiecare dintre aceste linii sunt de asemeni perpendiculare pe mijlocul fiecarei laturi Deci nu numai ca acesta este ortocentru in centru de greutate Este de asemeni centrul cercului circumscris acestui triunghi de aici Pentru asta in afara subiectului Am cam marcat totul ce putem asuma ca este dat Acesta este un ortocentru si un centru Desi celellalt lucruri , alte proprietati ale acestuia Mai ales centru de greutate pe care il stim Dar acum hai sa dovedim ca acesta trebuie sa fie un triunghi echilateral Deci primul lucru pe care-l il putem vedea Si hai sa pun ceva litere aici Deci putem sa facem referire la lucruri putin mai bine Deci hai sa numim ca A B C D E F Si putem nota centrul de greutate chiar aici G Deci primul lucru hai sa ne uitam la tirunghiul AFG Si triunghiul acesta este E si triunghiul EFG Deci hai sa comparam triunghiul AFG Hai sa comparam ca triunghiul EFG , triunghiul EFG Deci cu siguranta au o latura Latura EF este congruenta cu latura AF ,acestea sunt amandoua la fel Si avem unghiul EFG e la fel ca unghiul AFG Amandoua sunt de 90 de grade Si apoi amandoua clar folosesc latura FG Amandoua impart aceasta latura de aici Deci au o latura congruenta si un unghi Un unghi correspondent este intre o alta latura congruenta Si sunt toate asa de congruente , latura congruenta unghi corespondent Si o alta latura corespondenta congruenta Deci cu latura unghi latura aceste doua caractere vor fi congruente cu congruenta latura unghi latura Acum putem face exact aceelasi argument Putem face exact aceelasi argument spunand Ca toate aceste perechi care au cam aceelasi tip de impartire este Ca amandoua au acestea, aceste unghiuri de 90 de grade unul langa altul Vor fi congruente Triunghiul , putem cu aceelasi argument Putem vedea triunghiul EDG triunghiul EDG Va fi congruent cu triunghiul CDG Triunghiul CDG exact la fel latura unghi Si apoi avem o latura chiar aici Si apoi putem folosi exact aceelasi argument Pentru acesta de aici triunghiul C arata ca un A Triunghiul CBG e congruent cu triunghiul ABG Deci de una singura este interesant Dar stim ca daca doua triunghiuri sunt congruente Toate laturile corespondente si unghiurile Vor fi congruente Deci de exemplu daca stim Ca masura acestui unghi este albastru Unghiul correspondent in acest triunghi Va avea de asemeni aceeasi masura Doar o voi face la fel ca unghiul albastru Si stim daca acest unghi de aici este roz Unghiul correspondent pe acest triunghi AFG Va avea de asemeni aceeasi masura Si il voi marca cu roz din nou Acum de asemeni stim din proprietatile unghiurilor drepte Ca oricat un unghi masoara , AFG este DGC va avea aceeasi masura Deoarece sunt unghiuri drepte Dar stim oricat un unghi masoara acesta este Acest triunghi, triunghiul CDG este congruent cu triunghiul EDG Deci unghiurile drepte trebuie sa fie congruente Deci acest unghi este de masura roz Apoi acest unghi de asemeni trebuie sa fie masura roz Si apoi din nou putem vedea unghiuri complementare Ca acesta este roz apoi acesta va avea de asemeni Aceeasi masura Si daca acesta are aceeasi masura apoi Acesta va avea aceeasi masura Deci folosind un pic congruenta triunghiurilor Unghiurile corespondente vor fi congruente Si unghiurile complementare , putem vedea ca toate aceste unghiuri interioare De aici vor avea aceeasi masura Toate si folosesc aceasta cu acest arc mic roz Chiar aici Acum toate aceste triunghiuri daca impartim acest triunghi in doua Toate au un unghi de 90 de grade , toate au un arc roz Deci ce a ramas va fi 180 minus 90 minus roz Sau este chiar 90 minus acest unghi roz de aici Si asta este ce acest unghi albastru trebuie sa fie Acest unghi albastru este de fapt 90 minus unghiul roz Unghiul albastru este 90 minus unghiul roz Si de asemeni ca unghiul albastru trebuie sa fie cel de-al trielea unghi pentru toate acestea Deci din nou acest unghi albastru va fi 90 minus unghiul roz Sau 180 minus roz minus 90 Deci va fi unghiul albatru Daca dumneavoastra, de fapt ce spunem este Daca stiti doua unghiuri ale unui triunghi care forteaza cu alt triunghi Ce celalalt triunghi va fi Deja stim ca toate 6 aceste triunghiuri Au doua unghiuri in comun Unghiul de 90 de grade si unghiul roz Deci toate , cel de-al treilea unghi trebuie sa fie la fel de asemeni Si specificam ca cu acest unghi albastru Acest unghi albastru de aici Si acum vedem daca ne uitam la unghiul Daca ne uitam la unghiuk EAC Deci unghiul EAC vedem ca sunt doar doua a acestor unghiuri albastre Ca este congruent cu unghiul ACE, ACE Care doar doua dintre aceste unghiuri albastre Care este congruent cu unghiurile CEA, unghiurile CEA Care este din nou doar doua dintre aceste unghiuri albastre Deci avem un triunghi aici unde cele trei unghiuri In acest triunghi toate sunt congruente Deci este un triunghi echilateral Este de 60 de grade , am dovedit inainte Daca toate cele trei unghiuri sunt la fel Lungimile tuturor celor trei laturi sunt la fel de asemeni