If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Rezolvarea pătraticelor prin descompunera în factori

Învață cum să rezolvi ecuații pătratice precum (x-1)(x+3)=0 și cum să folosești descompunerea în factori pentru a rezolva ecuații de altă formă.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înaintea acestei lecții?

Ce vei învăța în această lecție?

Până acum ai rezolvat ecuații liniare, care includ termeni constanți - termeni liberi - și termeni cu necunoscuta ridicată la puterea întâi, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x.
Este posibil să fi rezolvat și unele ecuații pătratice, care includ necunoscuta ridicată la pătrat, prin preluarea rădăcinii pătrate din ambele părți.
În această lecție, vei învăța o nouă metodă de a rezolva ecuațiile pătratice. Mai exact, vei învăța:
  • cum să rezolvi ecuații descompuse ca left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 și
  • cum să folosești metode de descompunere în factori pentru a aduce alte ecuații left parenthesisprecum x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis în formă descompusă și cum să le rezolvi.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice descompuse

Presupunem că ni se cere să rezolvăm ecuația pătratică left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Acesta reprezintă un produs de două expresii care este egal cu zero. Ține cont că orice valoare a lui x care face ca left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis sau left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis să fie zero, va face produsul lor zero.
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Înlocuind x, equals, 1 sau x, equals, minus, 3 în ecuație ne va face ca propoziția 0, equals, 0 să fie adevărată, astfel încât ambele sunt soluții ale ecuației.
Acum rezolvă câteva ecuații similare pe cont propriu.
Rezolvă left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Rezolvă left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Întrebare reflectivă

Poate fi aplicată aceeași metodă de rezolvare pentru ecuația left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Despre proprietatea produsului zero

Cum ştim că nu există mai multe soluţii decât cele două pe care le găsim folosind metoda noastră?
Răspunsul este verificat de o proprietate simplă dar foarte utilă, numită proprietatea produsului zero:
În cazul în care produsul a două cantități este egal cu zero, atunci cel puțin una dintre cantități trebuie să fie egală cu zero.
Înlocuim oricare valoare pentru x cu excepția soluțiilor noastre în produsul celor două numere non-zero, ceea ce înseamnă că produsul nu este zero. Prin urmare, ştim că soluţiile noastre sunt singurele posibile.

Rezolvare prin descompunere

Presupunem că vrem să rezolvăm ecuația x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0. Atunci tot ce trebuie să facem este să descompunem x, squared, minus, 3, x, minus, 10 și să rezolvăm ca înainte!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 poate fi descompusă ca left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
Soluţia completă a ecuaţiei ar fi următoarea:
x23x10=0(x+2)(x5)=0Descompunem.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Descompunem.}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Acum este rândul tău să rezolvi câteva ecuații pe cont propriu. Ține minte că ecuațiile diferite necesită metode de descompunere diferite.

Rezolvă x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Pasul 1. Descompune x, squared, plus, 5, x ca produs a două expresii liniare.\quad

Pasul 2. Rezolvă ecuația.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Rezolvă x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Pasul 1. Descompune x, squared, minus, 11, x, plus, 28 ca produs a două expresii liniare.\quad

Pasul 2. Rezolvă ecuația.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Rezolvă 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Pasul 1. Descompune 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 ca produs a două expresii liniare.\quad

Pasul 2. Rezolvă ecuația.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Rezolvă 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Pasul 1. Descompune 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 ca produs a două expresii liniare.\quad

Pasul 2. Rezolvă ecuația.
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Aranjarea ecuației înainte de descompunere

Una dintre părți trebuie să fie zero.

Modul în care se calculează soluția ecuației x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x este următorul:
x2+2x=40xx2+2x40+x=0Sca˘dem 40 și aduna˘x.x2+3x40=0Grupa˘m termenii asemenea.(x+8)(x5)=0Descompunem.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Scădem 40 și adunăm }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Grupăm termenii asemenea.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Descompunem.}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Înainte să descompunem, am rescris ecuaţia ca toţi termenii asemenea să fie în aceeaşi parte, iar cealaltă parte să fie zero. Numai atunci am putut să descompunem şi să folosim metoda de rezolvare.

Eliminarea factorilor comuni

Modul în care se rezolvă ecuația 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 este următorul:
2x212x+18=0x26x+9=0Iˆmpa˘rțim la 2.(x3)2=0Descompunem.x3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Împărțim la 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Descompunem.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Toți termenii inițiali au avut un factor comun pe 2, așa că am împărțit în toate părțile la 2- partea cu zero a rămas zero - ceea ce a făcut mai ușoară descompunerea.
Acum rezolvă câteva ecuații similare pe cont propriu.
Determină soluțiile ecuației.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte:

Determină soluțiile ecuației.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte:

Determină soluțiile ecuației.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte: