Introducere în terorema bisectoarei

Ce vreau sa fac mai intai este doar sa va arat care este teormea bisectoarei si apoi de fapt o vom demonstra pentru noi deci am un triunghi oarecare aici triunghiul ABC si ce voi face voi desena o bisectoare pentru acest unghi de aici as fi putut s-o fac cu oricare dintre cele trei unghiuri dar o fac pe aceasta o sa faca demonstatia un pic mai usoara deci voi duce bisectoarea acestui unghi, unghiul ABC deci hai sa spunem ca aceasta este bisectoarea unghiului ABC Si deci unghiul de aici e egal cu acest unghi de aici Si hai sa numesc acest punct de aici hai sa-l numesc punctul D Teorema bisectoarei ne spune ca raportul dintre marimea care nu sunt aceasta bisectoare deci cand pun aceasta bisectoare aici a creat doua triunghiuri mai mici din acest triunghi mare Teorema bisectoarei ne spune ca raportul dintre celelalte laturi ale acestor doua triunghiuri pe care le-am creat acum vor fi la fel deci ne spune ca raportul lui AB la AD va fi egal cu raportul lui BC la - puteti spune la CD, deci raportul - il colorez- raportul acestuia, care este acesta, la acesta, la acesta va fi egal cu raportul acestuia- care e asta- la asta de aici la CD- care e asta de aici deci - o data ce vedeti raportul astuia la asta va fi la fel precum raportul acestuia la acesta deci e un rezultat interesant dar nu-l doar puteti accepta de buna credinta deoarece este un rezultat interesant! vreti sa vi-l dovediti si deci va puteti imagina chiar aici avem un raport aranjat deci il vom demonstra folosind triunghiuri asemenea si din nefericire pentru noi aceste doua triunghiuri de aici-- nu sunt necesar asemenea ! nu putem de fapt stim ca aceste doua unghiuri sunt congruente unul cu altul dar nu stim daca acest unghi e egal cu acel unghi sau acel nu stim nu putem face nici o afirmatie ca asta deci ca sa putem stabili o astfel de afirmatie va trebui sa construim poate un alt triunghi care va fi similar cu unul dintre acestea de aici si o cale de a o face- va fi- sa desenam o alta linie si asta e un pic din aceasta demonstratie nu a fost evidenta pentru mine la prima vedere ca m-am gandit despre ea deci nu va ingrijorati daca nu e evidenta pentru voi este ce se intampla daca putem continua aceasta bisectoare - acesta bisectoare de aici deci doar hai sa o continuam doar continua sa mearga si tot merge si de asemeni poate putem construi un triunghi similar cu acest triunghi de aici daca desenam o linie paralela cu AB jos aici deci hai sa incercam sa facem asta Deci voi spune ei bine stiti- mereu puteti gasi daca C nu este pe AB mereu puteti gasi un punct care merge prin sau o linie care merge prin C care e paralela cu AB deci hai doar-- prin definitie-- hai doar sa cream o alta linie chiar aici si sa spunem sa numim acest punct de aici F si hai sa alegem aceasta linie in asa fel incat FC e paralela cu AB deci aceasta e paralela cu asta -- chiar acolo deci FC e paralela cu AB si putem doar sa o construim in acel mod si acum avem ceva lucruri interesante si am facut-o in acel fel deci putem face aceste doua triunghiuri vor fi similar unul cu altul deci hai sa vedem asta- hai sa vedem ce se intampla deci inainte ne-am gandit chiar la asemanare hai sa ne gandim despre niste unghiuri sau ce stim despre unele unghiuri de aici stim ca avem unghiuri alterne interne deci doar ganditi-va la aceste doua linii paralele deci pot sa-mi imaginez ca AB continua sa mearga asa FC merge asa si linia BD de aici este o transversala apoi oricat este acest unghi acest unghi va fi de asemeni pentru unghiuri alterne interne care am vorbit mult despre ele cand am vorbit prima data despre unghiuri cu transversale si toata aceasta deci aceste doua unghiuri vor fi la fel dar acest unghi si acest unghi vor fi la fel deoarece acest unghi si acest unghi sunt la fel aceasta este o bisectoare si deoarece aceasta este o bisectoare stim ca unghiul ABD e la fel ca unghiul DBC deci orcat este acest unghi-- acel unghi este si deci este acest unghi si asta ne da un fel de raspuns interesant deoarece aici avem o situatie unde daca ne uitam la acest triunghi mai mare BFC- avem doua unghuri la baza care sunt la fel care inseamna acesta trebuie sa fie triunghi isoscel deci BC- va trebui sa fie precum FC deci asta e destul de interesant doar am folosit transversala si unghuri alterne interne sa aratam ca acestea sunt isoscele si ca BC si FC sunt aceelasi lucru si asta poate sa fie folositor deoarece stim ca vrem- avem o presimtire ca acest triunghi si acest triunghi vor fi asemenea nu am dovedit-o inca dar cum asta ne va ajuta sa obtinem ceva despre BC aici sus ? dar doar am aratat ca BC si FC sunt acelasi lucru deci acesta va fi acelasi lucru asa cum vrem sa aratam si daca putem dovedi ca FC-- raportul dintre AB si AD este la fel precum raportul dintre FC si CD vom fi acolo deoarece BC- tocmai am aratat- e egal cu FC dar hai sa nu incepem cu teorema haideti de fapt sa ajungem la teorema deci FC e paralela cu AB capabil sa aranjam asta- acesta- triunghuri isoscele aratam aceste laturi congruente acum hai sa ne uitam la alte unghuri de aici- si apoi ne vom face noua sa ne simtim bine despre el dar avem asta- daca ne uitam la acest triunghi ABD deci acest triunghi de aici si triunghiul FDC am stability deja ca ele au un set de unghuri care sunt la fel si apoi ele de asemeni amandoua ABD are acest unghi de aici care va fi care este unghi opus la varf cu acesta de aici deci ele sunt congruente si stim daca doua triunghiuri au doua unghiuri care sunt la fel de fapt cel de-al treilea va fi la fel de asemeni sau puteti spune cu unghi-unghi postulatul asemanarii aceste doua triunghuri sunt asemenea deci hai sa scriu asta vreti sa fiti siguri ca obtineti laturile corespondente corecte stim acum cu unghi-unghi si voi incepe cu unghiul verde ca acel triunghi B- si apoi unghiul albastru BDA este asemenea cu triunghiul deci din nou hai sa incepem cu unghiul verde -F apoi sa mergem la unghiul albastru FDC si aici vrem eventual sa ajungem la teorema bisectoarei deci ne vom uita la acest raport dintre AB si AD- triunghiuri asemenea- ori puteti afla raportul dintre laturile corespondente vor fi la fel pe triunghuri asemenea sau puteti afla raportul dintre doua laturi ale unui triunghi asemenea si sa le comparam cu raportul celor doua laturi corespunzatoare ale celuilalt triunghi asemenea si ele trebuie sa fie la fel deci cu triunghiuri asemenea stim ca raportul dintre AB si acesta de fapt- a fost cu unghi-unghi asemanare o voi scrie deci acum ca stim ca ele sunt asemenea stim ca raportul dintre AB si AD va fi egal cu si chiar ne putem uita aici pentru laturile corespunzatoare raportul dintre AB latura corespunzatoare este va fi CF va fi egal cu CF pe AD- AD este la fel precum CD - pe CD si stim ca raportul dintre AB pe AD e egal cu CF pe CD dar doar ne-am aratat deoarece acesta este un triunghi isoscel ca CF e la fel precum BC de aici deci CF este acelasi lucru precum BC si apoi am terminat! Tocmai am aratat AB pe AD e egal cu BC pe CD deci este cam doua lucruri ce facem aici -unu- construim acest alt triunghi care ne permite asumand ca aceasta e paralela ca ne da doua lucruri care ne da un alt unghi sa aratam ca ele sunt asemenea si de asemeni ne permite sa stabilim -imi cer scuze- ceva s-a oprit in gat- deci putem sa folosim- construim acest triunghi aici putem amandoua sa aratam ca sunt asemenea si sa contruim acest mai mare triunghi isoscel ca sa aratam uite daca putem sa gasim raportul dintre doua laturi ale acestui triunghi si acest triunghi apoi acesta va fi raportul acestuia- daca putem sa gasim raportul acestei laturi la aceasta latura este la fel ca raportul acestei laturi la aceasta latura asta este analog cu a arata ca raportul acestei laturi la aceasta latura este la fel precum BC la CD si suntem gata.