Conţinutul principal

Curs: Geometrie pentru EN > Unitatea 4

Lecția 4: Teoreme cu proprietăți ale triunghiului

Proprietăți de congruență și egalitate

Învață când să aplici proprietățile de reflexivitate, tranzitivitate și simetrie în demonstrațiile geometrice. Învață despre legătura dintre măsuri egale și figuri congruente.

Există o mulțime de moduri de a scrie demonstrațiile și unele sunt mai formale decât altele. În demonstrațiile foarte formale, noi justificăm afirmațiile care pot fi evidente. Argumentul justificării lor este că acele cerințe funcționează numai cu unele tipuri de relații. Ceea ce este adevărat cu relația de egalitate nu este neapărat adevărat cu relația de inegalitate, spre exemplu.

Să privim unele dintre aceste propietăți. Vom folosi simbolul

★

pentru a reprezenta o relație necunoscută.

Proprietarea de reflexivitate

Când o relație

★

are o proprietate de reflexivitate, aceasta înseamnă că relația este totdeauna adevărată între un lucru și el însuși. Deci

A ★ A

Care sunt câteva relații care o folosesc?

Relație	Simbol	Exemple
Egalitate	$=$ ‍	$- 5 \frac{3}{8} = - 5 \frac{3}{8}$ ‍
Congruență	$≅$ ‍	$∠ M N P ≅ ∠ M N P$ ‍
Asemănare	$\sim$ ‍	$△ M N P \sim △ M N P$ ‍

Folosim mult proprietatea de reflexivitate când studiem figuri care au laturi ori unghiuri comune.

Dacă vorbim despre relația dintre

△ M N Q

și

△ P N Q

trebuie să precizăm că

\overset{―}{N Q} ≅ \overset{―}{N Q}

pe baza proprietății de reflexivitate.

Care sunt câteva relații care nu o folosesc?

Inegalitățile stricte nu au proprietatea de reflexivitate. Spre exemplu,

3 ≮ 3

A fi mama cuiva nu este o relație reflexivă. Eu nu sunt propria mea mamă.

Proprietatea de simetrie

Când o relație

★

are proprietatea de simetrie, aceasta înseamnă că dacă relația este adevărată între două lucruri, ea este adevărată în orice ordine. Dacă

A ★ B

, atunci

B ★ A

Care sunt câteva relații care o folosesc?

Relație	Simbol	Exemplu
Egalitate	$=$ ‍	Dacă $8 = 11 - 3$ ‍, atunci $11 - 3 = 8$ ‍.
Congruență	$≅$ ‍	Dacă $\overset{―}{V W} ≅ \overset{―}{X Y}$ ‍, atunci $\overset{―}{X Y} ≅ \overset{―}{V W}$ ‍.
Asemănare	$\sim$ ‍	Dacă $A B C D \sim L M N P$ ‍, atunci $L M N P \sim A B C D$ ‍.
Paralelism	$∥$ ‍	Dacă dreapta $m ∥$ ‍ dreapta $n$ ‍, atunci dreapta $n ∥$ ‍ dreapta $m$ ‍.
Perpendicularitate	$⊥$ ‍	Dacă $\vec{S T} ⊥ \overset{\leftrightarrow}{U V}$ ‍, atunci $\overset{\leftrightarrow}{U V} ⊥ \vec{S T}$ ‍.

După părerea celor mai mulți oameni, prietenia este o relație de simetrie. Dacă Alaia este prietenă cu Kolton, atunci Kolton este prieten cu Alaia.

Care sunt câteva relații care nu o folosesc?

Inegalitățile stricte nu au proprietaea de simetrie. Spre exemplu,

10 < 100

, dar

100 ≮ 10

A fi mama cuiva nu este o relație de simetrie. În cazul în care Karin este mama lui Santino, atunci Santino nu poate fi mama lui Karin.

Proprietatea de tranzitivitate

Când o relație

★

are proprietatea de tranzitivitate, atunci două lucruri care sunt legate la mijloc de un lucru comun, sunt de asemenea legate unul cu celălalt. Dacă

A ★ B

și

B ★ C

, atunci

A ★ C

Care sunt câteva relații care o folosesc?

Relația	Simbol	Exemplu
Egalitate	$=$ ‍	Dacă $m ∠ F = m ∠ G$ ‍ și $m ∠ G = m ∠ H$ ‍, atunci $m ∠ F = m ∠ H$ ‍.
Congruență	$≅$ ‍	Dacă $△ R S T ≅ △ W X Y$ ‍ și $△ W X Y ≅ △ F G H$ ‍, atunci $△ R S T ≅ △ F G H$ ‍.
Asemănare	$\sim$ ‍	Dacă cercul $A \sim$ ‍ cercul $B$ ‍ și cercul $B \sim$ ‍ cercul $D$ ‍, atunci cercul $A \sim$ ‍ cercul $D$ ‍.
Paralelism	$∥$ ‍	Dacă $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{L M}$ ‍ și $\overset{―}{L M} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍, atunci $\overset{―}{J K} ∥ \overset{―}{N O}$ ‍.

Care sunt câteva relații care nu o folosesc?

Perpendicularitatea nu este tranzitivă.

În figură,

\overset{―}{A B} ⊥ \overset{―}{A C}

și

\overset{―}{A C} ⊥ \overset{―}{C D}

, dar

\overset{―}{A B}

este paralelă la, dar nu perpendiculară pe

\overset{―}{C D}

Prietenia nu este tranzitivă. Dacă Ezekiel este prieten cu Romina și Romina este prietenă cu Nash, nu știm dacă Ezekiel este prieten sau nu cu Nash.

Egalitate versus congruență

Egalitatea și congruența sunt strâns legate, dar diferite. Folosim egalitatea pentru orice lucruri care pot fi exprimate cu numere, incluzând măsurători, factori de scară și proporții.

Valuare	Exemple
Măsuri de unghiuri	$m ∠ A + m ∠ B = 90 °$ ‍
Lungimi de segmente	$M N = P Q = 5$ ‍
Arii	Aria $D E F G = 81 {cm}^{2}$ ‍
Rapoarte	$\frac{3}{4} = \frac{J K}{K L}$ ‍

Folosim relațiile de congruență și asemănare pentru figuri geometrice. Nu putem efectua operații aritmetice ca adunarea și înmulțirea pe figuri geometrice.

Figură	Exemplu
Unghi	$∠ A ≅ ∠ C$ ‍
Segment de dreaptă	$\overset{―}{M N} ≅ \overset{―}{P Q}$ ‍
Poligon	$△ D E F \sim △ G H I$ ‍
Cerc	Toate cercurile sunt asemenea cu toate celelalte cercuri.

Există trei teoreme foarte folositoare care leagă egalitatea și congruența.

Două unghiuri sunt congruente dacă și numai dacă ele au măsuri egale.
Două segmente sunt congruente dacă și numai dacă ele au măsuri egale.
Două triunghiuri sunt congruente dacă și numai dacă toate unghiurile și laturile corespondente sunt congruente.

În următorea figură se dă că

A B = C D = 3, 2

Într-o demonstrație foarte formală, ne-ar trebui o justificare separată că

\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{C D}

. Demonstrațiile obișnuite folosesc măsurile și părțile congruente care se pot schimba între ele. Verifică de care ai tu nevoie!

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.