Conţinutul principal

Curs: Geometrie pentru EN > Unitatea 6

Lecția 9: Rezolvarea triunghiurilor oarecare

Recapitulare teoremele sinusului și cosinusului

Recapitulare teoremele sinusului și cosinusului

Recapitulăm teoremele sinusului și cosinusului și le folosim pentru a rezolva probleme cu orice fel de triunghi.

Teorema sinusului

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Teorema cosinusului

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (γ)

Vrei să înveți mai multe despre teorema sinusului? Vezi acest video.
Vrei să înveți mai multe despre teorema cosinusului? Vezi acest video.

Set de antrenament 1: Rezolvarea triunghiurilor folosind teorema sinusului

Această teoremă este folositoare la aflarea unui unghi neștiut când se dă un unghi și două laturi, sau pentru aflarea unei laturi neștiute când se dau două unghiuri și o latură.

Exemplul 1: Aflarea unei laturi necunoscute

Să aflăm

A C

în următorul triunghi:

Conform teoremei sinusului,

\frac{A B}{\sin (∠ C)} = \frac{A C}{\sin (∠ B)}

. Acum putem înlocui valorile și rezolva:

\begin{aligned} \frac{A B}{\sin (∠ C)} & = \frac{A C}{\sin (∠ B)} \\ \frac{5}{\sin (33^{\circ})} & = \frac{A C}{\sin (67^{\circ})} \\ \frac{5 \sin (67^{\circ})}{\sin (33^{\circ})} & = A C \\ 8, 45 & \approx A C \end{aligned}

Exemplul 2: Aflarea unui unghi necunoscut

Să aflăm

m ∠ A

în următorul triunghi:

Conform teoremei sinusului,

\frac{B C}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ C)}

. Acum putem înlocui valorile și rezolva:

\begin{aligned} \frac{B C}{\sin (∠ A)} & = \frac{A B}{\sin (∠ C)} \\ \frac{11}{\sin (∠ A)} & = \frac{5}{\sin (25^{\circ})} \\ 11 \sin (25^{\circ}) & = 5 \sin (∠ A) \\ \frac{11 \sin (25^{\circ})}{5} & = \sin (∠ A) \end{aligned}

Evaluăm folosind calculatorul și rotunjim:

m ∠ A = \sin^{- 1} (\frac{11 \sin (25^{\circ})}{5}) \approx 68, 4^{\circ}

Reamintim că dacă unghiul necunoscut este obtuz, trebuie să luăm

180^{\circ}

și să scădem ceea ce am obținut pe calculator.

Problema 1.1

B C =

Rotunjește la cea mai apropiată zecime.

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Vezi acest exercițiu.

Set de antrenament 2: Rezolvarea triunghiurilor folosind teorema cosinusului

Această teoremă este cel mai mult folosită la aflarea măsurii unui unghi când se dau toate lungimile laturilor. Este de asemenea folositoare la aflarea unei laturi necunoscute când se dau celelalte laturi și măsura unui unghi.

Exemplul 1: Aflarea unui unghi

Să aflăm

m ∠ B

în următorul triunghi:

Conform teoremei cosinusului,

(A C)^{2} = (A B)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A B) (B C) \cos (∠ B)

Acum putem înlocui valorile și rezolva:

\begin{aligned} (5)^{2} & = (10)^{2} + (6)^{2} - 2 (10) (6) \cos (∠ B) \\ 25 & = 100 + 36 - 120 \cos (∠ B) \\ 120 \cos (∠ B) & = 111 \\ \cos (∠ B) & = \frac{111}{120} \end{aligned}

Evaluăm folosind calculatorul și rotunjim:

m ∠ B = \cos^{- 1} (\frac{111}{120}) \approx 22, 33^{\circ}

Exemplul 2: Aflarea unei laturi necunoscute

Să aflăm

A B

în următorul triunghi:

Conform teoremei cosinusului,

(A B)^{2} = (A C)^{2} + (B C)^{2} - 2 (A C) (B C) \cos (∠ C)

Acum putem înlocui valorile și rezolva:

\begin{aligned} (A B)^{2} & = (5)^{2} + (16)^{2} - 2 (5) (16) \cos (61^{\circ}) \\ (A B)^{2} & = 25 + 256 - 160 \cos (61^{\circ}) \\ A B & = \sqrt{281 - 160 \cos (61^{\circ})} \\ A B & \approx 14, 3 \end{aligned}

Problema 2.1

m ∠ A =

^{\circ}

Rotunjește la cel mai apropiat grad.

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Vezi acest exercițiu.

Set de antrenament 3: Probleme generale cu triunghiuri

Problema 3.1

"Doar unul rămâne". Ryan îi semnalizează fratelui său din locul în care se ascunde.

Matt înclină capul în semn de recunoștință, detectând ultimul robot rău.

34

grade." Matt semnalează înapoi, înformând pe Ryan de unghiul pe care l-a observat între Ryan și robot.

Ryan înregistrează această valoare în figura sa (arătată mai jos) și face un calcul. Calibrând tunul său cu laser la distanța corectă, el se ridică, ochește și trage.

La ce distanță a calibrat Ryan tunul său cu laser?
Nu rotunji în timpul calculului. Rotunjește numai răspunsul final la cel mai apropiat metru.

m

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.