If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Calcul integral

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 6: Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale
Matematică
Calcul integral
Integrale
Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale

Clasa Google
Putem aplica "motivarea din punct de vedere analitic" pentru a justifica proprietăți ale primitivei unei funcții, folosind ceea ce știm despre funcția inițială.
În calculul diferențial am studiat proprietățile unei funcții f pe baza informației date de derivata ei f, prime. În calculul integral, în loc să vorbim despre funcții și derivatele lor, vom vorbi despre funcții și primitivele lor.

Analizarea lui g după graficul lui g, prime, equals, f

Se dă graficul funcției f.
Aici avem graficul funcției f.Axa Ox merge de la minus 2 la 14. Graficul este o curbă în formă de U cu deschiderea în jos. Curba pornește din cadranul 3, urcă prin (0, 0) până la un maxim relativ în (5, 5), coboară până la (10, 0) și se termină în cadranul 4.
Fie g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Definită în acest mod, g este o primitivă a lui f. În calculul diferențial am scrie asta ca g, prime, equals, f. Deoarece f este derivata lui g, ne putem gândi la propietățile lui g în mod similar cu ceea ce am făcut în calculul diferențial.
Spre exemplu, f este pozitivă pe intervalul open bracket, 0, comma, 10, close bracket, deci g trebuie să fie crescătoare pe acest interval.
Graficul funcției f are regiunea de curbă deasupra axei Ox, între x= 0 și x=10, f fiind pozitivă și g fiind crescătoare.
În plus, f își schimbă semnul în x, equals, 10, astfel că g trebuie să aibă un extremum aici. Deoarece f trece de la plus la minus, acest punct trebuie să fie unul de maxim.
Graficul funcției f intersectează axa Ox în x=10 și "g are un maxim relativ". În cele două regiuni ale curbei de sub axa Ox, la stânga intersecției în x=0 și la dreapta intersecției x=10, "f este negativ, g este descrescătoare".
Exemplele anterioare arată cum putem găsi intervalele pe care g este crescătoare sau descrescătoare și care sunt extremele ei relative. Ne putem pronunța și despre concavitataea lui g. Deoarece f este crescătoare pe intervalul open bracket, minus, 2, comma, 5, close bracket, știm că g este convexă pe acest interval. Și deoarece f este descrescătoare pe intervalul open bracket, 5, comma, 13, close bracket, știm că g este concavă pe acest interval. g își schimbă convexitatea în x, equals, 5, deci acesta este un punct de inflexiune.
Graficul funcției f are maximum relativ iar g are un punct de inflexiune. În regiunea curbei de la stânga acestui maxim f este crescătoare, iar g este convexă .În regiunea curbei de la dreapta maximului f este descrescătoare, iar g este concavă.
Problema 1
Se dă graficul lui f.
Fie g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Care este o justificare bazată pe analiză potrivită pentru faptul că g este convexă pe intervalul left parenthesis, 5, comma, 10, right parenthesis?
Alege un răspuns:

Problema 2
Se dă graficul lui f.
Fie g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Care este o justificare potrivită bazată pe analiză pentru faptul că g are un minim relativ în x, equals, 8?
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.
Este important să știm clar care proprietăți ale funcției sunt legate de care propietăți ale primitivei sale. Mulți le confundă și fac presupuneri greșite, cum ar fi că primitiva este pozitivă deoarece funcția este crescătoare (de fapt, este invers).
Acest tabel rezumă toate relațiile dintre proprietățile unei funcții și ale primitivei sale.
Când funcția f este...Primitiva g, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t is...
Pozitivă plusCrescătoare \nearrow
Negativă minusDescrescătoare \searrow
Crescătoare \nearrowConvexă \cup
Descrescătoare \searrowConcavă \cap
Schimbare de semn / taie axa OxPunct de extrem
Punct de extremPunct de inflexiune
Problemă provocare
Se dă graficul lui f.
Fie g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
Care este o justificare potrivită bazată pe analiză pentru faptul că g este pozitivă pe intervalul open bracket, 7, comma, 12, close bracket?
Alege un răspuns:

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.