If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare integrale improprii

Recapitulăm cunoștințele despre integrale improprii.

Ce sunt integralele improprii?

Integralele improprii sunt integrale definite care acoperă o suprafață nemărginită.
Un tip de integrale improprii este format din integralele pentru care cel puțin una dintre limite este infinit. De exemplu, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x este o integrală improprie. Poate fi privită ca limita limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x.
Alt tip de integrale improprii este format din integralele cu limite finite, dar pentru care funcția este nemărginită în unul (sau două) din capete. De exemplu, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x este o integrală improprie. Poate fi privită ca limita limit, start subscript, a, \to, 0, start superscript, plus, end superscript, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x.
O suprafață nemărginită nu este infinită? Se poate așa ceva? Ei bine, da! Nu toate integralele improprii au valoare finită, dar unele dintre ele chiar sunt finite. Când există limită, spunem că intergrala este convergentă și când nu, spunem că este divergentă.
Vrei să înveți mai mult despre itnegralele improprii? Urmărește acest video.

Set de antrenament 1: Calcularea integralelor improprii cu limite nemărginite

Să calculăm, de exemplu, integrala improprie integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. După cum am menționat mai sus, este util să vedem această integrală ca limita limit, start subscript, b, \to, infinity, end subscript, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, b, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, squared, end fraction, d, x. Putem folosi teorema fundamentală a analizei ca să determinăm o expresie pentru integrala:
1b1x2dx=1bx2dx=[x11]1b=[1x]1b=1b(11)=11b\begin{aligned} \displaystyle\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\int_1^b x^{-2}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{-1}}{-1}\right]_1^b \\\\ &=\left[-\dfrac{1}{x}\right]_1^b \\\\ &=-\dfrac{1}{b}-\left(-\dfrac{1}{1}\right) \\\\ &=1-\dfrac{1}{b} \end{aligned}
Acum am scăpat de integrală și trebuie să găsim o limită:
limb1b1x2dx=limb(11b)=10=1\begin{aligned} \displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b\dfrac{1}{x^2}\,dx&=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{b}\right) \\\\ &=1-0 \\\\ &=1 \end{aligned}
Problema 1.1
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, infinity, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, cubed, end fraction, d, x, equals, question mark
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Vezi acest exercițiu.

Set de antrenament 2: Calcularea integralelor improprii cu funcție nemărginită

Să calculăm, de exemplu, integrala improprie integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. După cum am menționat mai sus, este util să vedem integrala ca limita limit, start subscript, a, \to, 0, end subscript, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, 1, end superscript, start fraction, 1, divided by, square root of, x, end square root, end fraction, d, x. Din nou, folosim teorema fundamentală a analizei ca să calculăm o expresie pentru integrala:
a11xdx=a1x12dx=[x1212]a1=[2x]a1=212a=22a\begin{aligned} \displaystyle\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\int_a^1 x^{^{\large -\frac{1}{2}}}\,dx \\\\ &=\left[\dfrac{x^{^{\large\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}}\right]_a^1 \\\\ &=\Bigl[2\sqrt x\Bigr]_a^1 \\\\ &=2\sqrt 1-2\sqrt a \\\\ &=2-2\sqrt a \end{aligned}
Acum am scăpat de integrală și trebuie să găsim o limită:
lima0a11xdx=lima0(22a)=220=2\begin{aligned} \displaystyle\lim_{a\to 0}\int_a^1\dfrac{1}{\sqrt x}\,dx&=\displaystyle\lim_{a\to 0}(2-2\sqrt a) \\\\ &=2-2\cdot 0 \\\\ &=2 \end{aligned}
Problema 2.1
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, start fraction, 1, divided by, cube root of, x, end cube root, end fraction, d, x, equals, question mark
Alege un răspuns:
Alege un răspuns:

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Vezi acest exercițiu.