Recapitulare integrarea prin părți

Recapitulează deprinderile de integrare prin părți.

Ce este integrarea prin părți?

Integrarea prin părți este o metodă de calculare a integralelor de produse:

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

sau, mai compact:

\int u d v = u v - \int v d u

Putem folosi această metodă, considerată ca fiind "inversa regulii produsului," luând unul dintre factori ca derivată a celeilalte funcții.

Vrei să înveți mai multe despre integrarea prin părți? Urmărește acest video.

Să calculăm, de exemplu, integrala nedefinită

\int x \cos x d x

. Pentru aceasta, notăm

u = x

și

d v = \cos (x) d x

\int x \cos (x) d x = \int u d v

u = x

înseamnă că

d u = d x

d v = \cos (x) d x

înseamnă că

v = \sin (x)

Acum integrăm prin părți!

\begin{aligned} \int x \cos (x) d x & = \int u d v \\ = u v - \int v d u \\ = x \sin (x) - \int \sin (x) d x \\ = x \sin (x) + \cos (x) + C \end{aligned}

Amintește-ți că întotdeauna poți să îți verifici integrala derivând rezultatul obținut!

Problema 1.1

\int x e^{5 x} d x = ?

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Verifică acest exercițiu.

Să calculăm, de exemplu, integrala definită

\int_{0}^{5} x e^{- x} d x

. Pentru aceasta, notăm

u = x

și

d v = e^{- x} d x

u = x

înseamnă că

d u = d x

d v = e^{- x} d x

înseamnă că

v = - e^{- x}

Acum integrăm prin părți:

\begin{aligned} \int_{0}^{5} x e^{- x} d x \\ = \int_{0}^{5} u d v \\ = [u v]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} v d u \\ = [- x e^{- x}]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} - e^{- x} d x \\ = [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{5} \\ = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{5} \\ = - e^{- 5} (6) + e^{0} (1) \\ = - 6 e^{- 5} + 1 \end{aligned}

Problema 2.1

\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = ?

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Verifică acest exercițiu.

Ordonare după:

Nici o postare încă.