Recapitulare integrarea prin părți

Integrarea prin părți este o metodă de calculare a integralelor de produse:

sau, mai compact:

Putem folosi această metodă, considerată ca fiind "inversa regulii produsului," luând unul dintre factori ca derivată a celeilalte funcții.

Să calculăm, de exemplu, integrala nedefinită $\displaystyle\int x\cos x\,dx$integral, x, cosine, x, d, x. Pentru aceasta, notăm $u = x$u, equals, x și $dv=\cos(x) \,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:

$u=x$u, equals, x înseamnă că $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=\cos(x)\,dx$d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x înseamnă că $v = \sin(x)$v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.

Acum integrăm prin părți!

Amintește-ți că întotdeauna poți să îți verifici integrala derivând rezultatul obținut!

Să calculăm, de exemplu, integrala definită $\displaystyle\int^5_0 xe^{-x}dx$integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. Pentru aceasta, notăm $u = x$u, equals, x și $dv=e^{-x} \,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:

$u=x$u, equals, x înseamnă că $du = dx$d, u, equals, d, x.
$dv=e^{-x}\,dx$d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x înseamnă că $v = -e^{-x}$v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.

Acum integrăm prin părți: