If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Calcul integral

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 16: Integrarea prin părți
Matematică
Calcul integral
Integrale
Integrarea prin părți
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Recapitulare integrarea prin părți

Clasa Google
Recapitulează deprinderile de integrare prin părți.

Ce este integrarea prin părți?

Integrarea prin părți este o metodă de calculare a integralelor de produse:
integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
sau, mai compact:
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
Putem folosi această metodă, considerată ca fiind "inversa regulii produsului," luând unul dintre factori ca derivată a celeilalte funcții.
Vrei să înveți mai multe despre integrarea prin părți? Urmărește acest video.

Set de antrenament 1: Integrare prin părți de integrale nedefinite

Să calculăm, de exemplu, integrala nedefinită integral, x, cosine, x, d, x. Pentru aceasta, notăm u, equals, x și d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v
u, equals, x înseamnă că d, u, equals, d, x.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x înseamnă că v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
Acum integrăm prin părți!
∫xcos⁡(x) dx=∫u dv=uv−∫v du=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x) dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
Amintește-ți că întotdeauna poți să îți verifici integrala derivând rezultatul obținut!
Problema 1.1
  • Actual
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Alege un răspuns:

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Verifică acest exercițiu.

Set de antrenament 2: Integrare prin părți de integrale definite

Să calculăm, de exemplu, integrala definită integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x. Pentru aceasta, notăm u, equals, x și d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:
u, equals, x înseamnă că d, u, equals, d, x.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x înseamnă că v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.
Acum integrăm prin părți:
=∫05xe−x dx=∫05u dv=[uv]05−∫05v du=[−xe−x]05−∫05−e−x dx=[−xe−x−e−x]05=[−e−x(x+1)]05=−e−5(6)+e0(1)=−6e−5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
Problema 2.1
  • Actual
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, cubed, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
Alege un răspuns:

Vrei să încerci mai multe probleme cum este aceasta? Verifică acest exercițiu.