If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Calcul integral

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 3: Notația sumelor Riemann
Matematică
Calcul integral
Integrale
Notația sumelor Riemann
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Notația sumelor Riemann

Clasa Google
Simbolul pentru sumă poate fi folosit pentru a scrie sume Riemann într-o formă compactă. Aceasta este o provocare, încă un pas important către definiția formală a integralei definite.
Notația de sumare (sau sigma notația) ne permite scrierea unei sume lungi într-o singură expresie. Notația de sumare are multe utilizări în matematică (și în special în calcul), Noi vrem să ne concentrăm pe folosirea ei în scrierea sumelor Riemann.

Exemplu de scriere a unei sume Riemann în notația de sumare

Să ne imaginăm că aproximăm aria de sub graficul lui f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, square root of, x, end square root între x, equals, 0, comma, 5 și x, equals, 3, comma, 5.
Avem graficul funcției y = rădăcina pătrată din x. Axa x-ilor merge de la 0 la 4. Graficul este o curbă. Curba pornește de la (0, 0), se mișcă în sus cu concavitatea în jos și ajunge în punctul (4, 2). Regiunea dintre curbă și axa x-ilor între x = 0.5 și x = 3.5, este colorată.
Să zicem că ne decidem să facem aceasta scriind expresia pentru o sumă Riemann dreapta cu patru subdiviziuni, folosind notația de sumare.
Graficul funcției y are regiunea colorată împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime 0.75. Fiecare dreptunghi atinge curba în colțul din dreapta.
Fie A, left parenthesis, i, right parenthesis notația pentru aria celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi din aproximația nostră.
Ariile dreptunghiurilor sunt A de 1, A de 2, A de 3 și A de 4.
Întreaga sumă Riemann poate fi scrisă astfel:
A, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, A, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, A, left parenthesis, i, right parenthesis
Acum trebuie să găsim expresia pentru A, left parenthesis, i, right parenthesis.
Lățimea întregului interval open bracket, 0, comma, 5, ;, 3, comma, 5, close bracket este 3 unități și noi vrem 4 subdiviziuni egale, așa că start color #1fab54, start text, l, a, with, \u, on top, ț, i, m, e, a, end text, end color #1fab54 fiecărui dreptunghi este 3, colon, 4, equals, start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 unități.
start color #e07d10, start text, I, with, \^, on top, n, a, with, \u, on top, l, ț, i, m, e, a, end text, end color #e07d10 fiecărui dreptunghi este valoarea lui f în punctul din dreapta al dreptunghiului (deoarece aceasta este o sumă Riemann dreapta).
Fie start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd notația punctului din partea dreaptă a celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi. Pentru a găsi x, start subscript, i, end subscript pentru orice valoare a lui i, începem cu x, equals, 0, comma, 5 ( punctul din stânga al intervalului) și adunăm lățimea de start color #1fab54, 0, comma, 75, end color #1fab54 în mod repetat.
Partea stângă a primului dreptunghi este x = 0,5. Adunăm 0,75 de 4 ori pentru a ajunge la părțile dreptunghiilor de la primul x până la al 4-lea x.
Prin urmare, formula pentru start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd este start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd. Acum, start color #e07d10, start text, ı, with, \^, on top, n, a, with, \u, on top, l, ț, i, m, e, a, end text, end color #e07d10 fiecărui dreptunghi este valoarea lui f la capătul din dreapta al acestuia:
start color #e07d10, f, left parenthesis, end color #e07d10, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, end square root, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, square root of, start color #11accd, 0, comma, 5, plus, 0, comma, 75, i, end color #11accd, end square root, end color #e07d10
Așa că am ajuns la o expresie generală pentru aria celui de-al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi:
A(i)=la˘țimea⋅ ıˆna˘lțimea=0,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} A(i)&=\greenD{\text{lățimea}}\cdot\goldD{\text{ înălțimea}} \\\\ &=\greenD{0{,}75}\cdot\goldD{\sqrt{\blueD{0{,}5+0{,}75i}}} \end{aligned}
Acum ne mai rămâne să adunăm aceste expresii pentru valorile lui i de la 1 la 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i\begin{aligned} &\phantom{=}A(1)+A(2)+A(3)+A(4) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 A(i) \\\\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^4 0{,}75\cdot\sqrt{0{,}5+0{,}75i} \end{aligned}
Și suntem gata!

Rezumarea procesului de scriere a unei sume Riemann în notația de sumare

Să ne imaginăm că vrem să aproximăm aria de sub graficul lui f pe intervalul open bracket, a, comma, b, close bracket cu n subdiviziuni egale.
Definim delta, x: Fie start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 notația pentru start color #1fab54, start text, l, a, with, \u, on top, ț, i, m, e, a, end text, end color #1fab54 fiecărui dreptunghi start color #1fab54, delta, x, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, end color #1fab54.
Definim x, start subscript, i, end subscript: Fie start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd notația punctului din dreapta fiecărui dreptunghi, deci start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Definim aria celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi: start color #e07d10, start text, I, with, \^, on top, n, a, with, \u, on top, l, ț, i, m, e, a, end text, end color #e07d10 fiecărui dreptunghi este start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 și aria fiecărui dreptunghi este start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10.
Suma dreptunghiulor: Acum noi folosim notația de sumare pentru a aduna toate ariile. Valorile pe care le folosim pentru i în sumele Riemann stânga și dreapta sunt diferite:
  • Când scriem o sumă Riemann dreapta, luăm valorile lui i de la 1 la n.
  • Când scriem o sumă Riemann stânga luăm valorile lui i de la 0 la n, minus, 1 (acestea vor da valorile lui f în punctul din stânga fiecărui dreptunghi).
Suma Riemann stângaSuma Riemann dreapta
sum, start subscript, i, equals, 0, end subscript, start superscript, n, minus, 1, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
Problema 1.A
  • Actual
Problema 1 te va duce prin procesul de aproximare a ariei între f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, x, squared, plus, 1 și axa x pe intervalul open bracket, 2, comma, 7, close bracket folosind suma Riemann stânga cu 10 subdiviziuni egale.
Avem graficul funcției. Axa x-ilor merge de la minus 1 la 9. Graficul este o curbă. Curba începe din cadranul 2, merge în jos până la minimul relativ (0, 1), apoi merge în sus și se termină în cadranul 1.Regiunea dintre curbă si axa x-ilor, între x = 2 și x = 7, este colorată.
Care este lungimea fiecărui dreptunghi, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54?
start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Vrem să aproximăm aria dintre g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 5, divided by, x, end fraction, plus, 2 și axa x pe intervalul open bracket, 1, comma, 7, close bracket folosind o sumă Riemann dreapta cu 9 subdiviziuni egale:
Avem graficul funcției g. Axa x-ilor merge de la minus 1 la 7. Graficul este o curbă. Curba pornește din cadranul 1, se mișcă în jos cu concavitatea în sus și se termină în cadranul1. Regiunea dintre curbă și axa x-lor, între x = 1 și x = 7, este hașurată. Regiunea hașurată este împărțită în 9 dreptunghiuri de lățime egală. Fiecare dreptunghi atinge curba la colțul din dreapta sus.
Care expresie reprezintă aproximația noastră?
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.