If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 3: Notația sumelor Riemann
Matematică
Calcul integral
Integrale
Notația sumelor Riemann
© 2024 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Notația sumelor Riemann

Clasa Google
Simbolul pentru sumă poate fi folosit pentru a scrie sume Riemann într-o formă compactă. Aceasta este o provocare, încă un pas important către definiția formală a integralei definite.
Notația de sumare (sau sigma notația) ne permite scrierea unei sume lungi într-o singură expresie. Notația de sumare are multe utilizări în matematică (și în special în calcul), Noi vrem să ne concentrăm pe folosirea ei în scrierea sumelor Riemann.

Exemplu de scriere a unei sume Riemann în notația de sumare

Să ne imaginăm că aproximăm aria de sub graficul lui f(x)=x între x=0,5 și x=3,5.
Avem graficul funcției y = rădăcina pătrată din x. Axa x-ilor merge de la 0 la 4. Graficul este o curbă. Curba pornește de la (0, 0), se mișcă în sus cu concavitatea în jos și ajunge în punctul (4, 2). Regiunea dintre curbă și axa x-ilor între x = 0.5 și x = 3.5, este colorată.
Să zicem că ne decidem să facem aceasta scriind expresia pentru o sumă Riemann dreapta cu patru subdiviziuni, folosind notația de sumare.
Graficul funcției y are regiunea colorată împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime 0.75. Fiecare dreptunghi atinge curba în colțul din dreapta.
Fie A(i) notația pentru aria celui de al i-lea dreptunghi din aproximația nostră.
Ariile dreptunghiurilor sunt A de 1, A de 2, A de 3 și A de 4.
Întreaga sumă Riemann poate fi scrisă astfel:
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)
Acum trebuie să găsim expresia pentru A(i).
Lățimea întregului interval [0,5;3,5] este 3 unități și noi vrem 4 subdiviziuni egale, așa că lățimea fiecărui dreptunghi este 3:4=0,75 unități.
Înălțimea fiecărui dreptunghi este valoarea lui f în punctul din dreapta al dreptunghiului (deoarece aceasta este o sumă Riemann dreapta).
Fie xi notația punctului din partea dreaptă a celui de al i-lea dreptunghi. Pentru a găsi xi pentru orice valoare a lui i, începem cu x=0,5 ( punctul din stânga al intervalului) și adunăm lățimea de 0,75 în mod repetat.
Partea stângă a primului dreptunghi este x = 0,5. Adunăm 0,75 de 4 ori pentru a ajunge la părțile dreptunghiilor de la primul x până la al 4-lea x.
Prin urmare, formula pentru xi este 0,5+0,75i. Acum, înălțimea fiecărui dreptunghi este valoarea lui f la capătul din dreapta al acestuia:
f(xi)=xi=0,5+0,75i
Așa că am ajuns la o expresie generală pentru aria celui de-al i-lea dreptunghi:
A(i)=lățimea⋅ înălțimea=0,75⋅0,5+0,75i
Acum ne mai rămâne să adunăm aceste expresii pentru valorile lui i de la 1 la 4:
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75⋅0,5+0,75i
Și suntem gata!

Rezumarea procesului de scriere a unei sume Riemann în notația de sumare

Să ne imaginăm că vrem să aproximăm aria de sub graficul lui f pe intervalul [a,b] cu n subdiviziuni egale.
Definim Δx: Fie Δx notația pentru lățimea fiecărui dreptunghi Δx=b−an.
Definim xi: Fie xi notația punctului din dreapta fiecărui dreptunghi, deci xi=a+Δx⋅i.
Definim aria celui de al i-lea dreptunghi: Înălțimea fiecărui dreptunghi este f(xi) și aria fiecărui dreptunghi este Δx⋅f(xi).
Suma dreptunghiulor: Acum noi folosim notația de sumare pentru a aduna toate ariile. Valorile pe care le folosim pentru i în sumele Riemann stânga și dreapta sunt diferite:
  • Când scriem o sumă Riemann dreapta, luăm valorile lui i de la 1 la n.
  • Când scriem o sumă Riemann stânga luăm valorile lui i de la 0 la n−1 (acestea vor da valorile lui f în punctul din stânga fiecărui dreptunghi).
Suma Riemann stângaSuma Riemann dreapta
∑i=0n−1Δx⋅f(xi)∑i=1nΔx⋅f(xi)
Problema 1.A
Problema 1 te va duce prin procesul de aproximare a ariei între f(x)=0,1x2+1 și axa x pe intervalul [2,7] folosind suma Riemann stânga cu 10 subdiviziuni egale.
Avem graficul funcției. Axa x-ilor merge de la minus 1 la 9. Graficul este o curbă. Curba începe din cadranul 2, merge în jos până la minimul relativ (0, 1), apoi merge în sus și se termină în cadranul 1.Regiunea dintre curbă si axa x-ilor, între x = 2 și x = 7, este colorată.
Care este lungimea fiecărui dreptunghi, Δx?
Δx=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Problema 2
Vrem să aproximăm aria dintre g(x)=5x+2 și axa x pe intervalul [1,7] folosind o sumă Riemann dreapta cu 9 subdiviziuni egale:
Avem graficul funcției g. Axa x-ilor merge de la minus 1 la 7. Graficul este o curbă. Curba pornește din cadranul 1, se mișcă în jos cu concavitatea în sus și se termină în cadranul1. Regiunea dintre curbă și axa x-lor, între x = 1 și x = 7, este hașurată. Regiunea hașurată este împărțită în 9 dreptunghiuri de lățime egală. Fiecare dreptunghi atinge curba la colțul din dreapta sus.
Care expresie reprezintă aproximația noastră?
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.