If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Calcul integral

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 1: Aproximarea cu sume Riemann
Matematică
Calcul integral
Integrale
Aproximarea cu sume Riemann
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Sume Riemann stânga & dreapta

Clasa Google
Ariile de sub curbe pot fi estimate cu ajutorul unor dreptunghiuri. Asemenea estimări se numesc sume Riemann.
Presupunem că vrem să determinăm aria subgraficului acestei curbe:
A function is graphed. The x-axis is unnumbered. The graph is a curve. The curve starts on the positive y-axis, moves upward concave up and ends in quadrant 1. An area between the curve and the axes is shaded.
Probabil ne este ceva mai greu să determinăm aria exactă, dar putem să o aproximăm folosind dreptunghiuri:
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
Iar aproximarea devine tot mai bună dacă folosim tot mai multe dreptunghiuri:
Aria hașurată de sub curbă este împărțita în 8 dreptunghiuri de lățimi egale.
Aria hașurată de sub curbă este împărțită în 16 dreptunghiuri de lățimi egale.
Acest gen de aproximări sunt numite sume Riemann și reprezintă noțiuni de bază pentru calculul integral. Deocamdată, scopul nostru este să înțelegem două tipuri de sume Riemann: sume Riemann stânga și sume Riemann dreapta.

Sume Riemann stânga și dreapta

Pentru a face o sumă Riemann, trebuie să alegem cum să construim dreptunghiurile. O posibilă alegere este ca dreptunghiurile să atingă curba în colțul stânga sus. Aceasta se numește o sumă Riemann stânga.
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner. Therefore, each rectangle is below the curve.
Altă alegere este ca dreptunghiurile să atingă curba în colțul dreapta sus. Aceasta este o sumă Riemann dreapta.
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top right corner. Therefore, each rectangle moves upward above the curve.
Nicio alegere nu este strict mai bună decât alta.
Problema 1
Ce fel de sumă Riemann este descrisă de diagramă?
Alege un răspuns:

Sume Riemann - subdiviziuni/partiții

Termenii comuni obișnuiți când lucrăm cu sume Riemann sunt "subdiviziuni" sau "partiții". Aceștia se referă la numărul de părți în care împărțim intervalul de pe Ox pentru a obține dreptunghiurile. Pe scurt, numărul de subdiviziuni (sau partiții) este numărul de dreptunghiuri pe care le folosim.
Subdiviziunile pot fi uniforme, ceea ce înseamnă că ele sunt de aceeași lungime, sau neuniforme.
Subdiviziuni uniformeSubdiviziuni neuniforme
The shaded area below the curve is divided into 3 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
The shaded area below the curve is divided into 3 rectangles of unequal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
Problema 2
Care este descrierea corectă a sudiviziunilor în suma Riemann.
Alege un răspuns:

Probleme de sume Riemann cu grafice

Să presupunem că se cere să aproximăm aria dintre y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis și axa Ox de la x, equals, 2 până la x, equals, 6.
Function g is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph consists of a smooth curve. The curve starts in quadrant 4, moves upward to a relative maximum at about (3, 7), moves downward to a relative minimum at about (4.4, 3.5), moves upward and ends in quadrant 1. A region between the curve and the x-axis is shaded between x = 2 and x = 6.
Să zicem că ne decidem să folosim o sumă Riemann stânga cu patru subdiviziuni uniforme.
The graph of function g has the shaded region divided into 4 rectangles, each with width of 1. Each rectangle touches the curve at the top left corner. The corners are at (2, 3), (3, 7), (4, 6), and (5, 4).
Observație: Fiecare dreptunghi atinge curba în colțul stânga sus, deoarece folosim o sumă Riemann stânga.
Adunând ariile dreptunghiurilor, obținem 20 unitățisquared, ceea ce reprezintă o aproximare pentru aria de sub curbă.
Problema 3
Aproximează aria dintre y, equals, h, left parenthesis, x, right parenthesis și axa Ox de la x, equals, minus, 2 până la x, equals, 4 folosind o sumă Riemann dreapta cu trei subdiviziuni egale.
Graficul funcției h trece prin punctul minus 2, 0, punctul 0, punctul 0, 4, punctul 2, 6 și punctul 4, 4.
Alege un răspuns:

Acum hai să facem niște aproximări fără ajutorul graficelor

Să presupunem că se cere să aproximăm aria cuprinsă între axa Ox și graficul lui f de la x, equals, 1 până la x, equals, 10 folosind o sumă Riemann dreapta cu trei subdiviziuni egale. Pentru aceasta dăm un tabel de valori ale lui f.
x14710
f, left parenthesis, x, right parenthesis6835
Un prim pas este să determinăm lățimea fiecărei subdiviziuni. Lățimea pentru întreaga arie pe care o aproximăm este 10, minus, 1, equals, 9 unități. Dacă folosim trei subdiviziuni egale, atunci lățimea fiecărui dreptunghi este 9, colon, 3, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd.
Apoi, trebuie să determinăm înălțimea fiecărui dreptunghi. Primul dreptunghi ocupă intervalul open bracket, 1, comma, 4, close bracket. Deoarece folosim o sumă Riemann dreapta, vârful dreapta sus va fi pe curbă la x, equals, 4, așa că valoarea lui y este f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
În mod similar, putem găsi al doilea dreptunghi, care ocupă intervalul open bracket, 4, comma, 7, close bracket, având vârful dreapta sus la x=7, deci f, left parenthesis, 7, right parenthesis, equals, start color #7854ab, 3, end color #7854ab.
Al treilea (ultimul) dreptunghi are vârful dreapta sus la x=10, deci f, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c.
Acum ne mai rămâne să punem numerele în tabel.
Primul dreptunghiAl doilea dreptunghiAl treilea dreptunghi
Lățimestart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accdstart color #11accd, 3, end color #11accd
Înălțimestart color #e07d10, 8, end color #e07d10start color #7854ab, 3, end color #7854abstart color #ca337c, 5, end color #ca337c
Ariastart color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, equals, 24start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 3, end color #7854ab, equals, 9start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, 15
Apoi, după găsirea ariilor individuale, le adunăm și obținem aproximația : 48 unitățisquared.
Problema 4
Aproximează aria cuprinsă între axa Ox și y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis de la x, equals, 10 până la x, equals, 16 folosind o sumă Riemann stânga cu trei subdiviziuni egale.
x10121416
g, left parenthesis, x, right parenthesis5177
Aria aproximativă este
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unitățisquared.

Acum presupunem că se cere să aproximăm aria cuprinsă între axa Ox și graficul lui f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, start superscript, x, end superscript de la x, equals, minus, 3 până la x, equals, 3 folosind o sumă Riemann dreapta cu trei subdiviziuni egale.
Întregul interval open bracket, minus, 3, comma, 3, close bracket are lățimea de 6 unități, așa că fiecare dreptunghi va avea lățimea de 6, colon, 3, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd unități.
Primul dreptunghi este situat pe open bracket, minus, 3, comma, minus, 1, close bracket, așa că înălțimea lui este f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10. Similar, înălțimea celui de al doilea dreptunghi este f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 2, start superscript, 1, end superscript, equals, start color #7854ab, 2, end color #7854ab și înălțimea celui de al treilea dreptunghi este f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 2, cubed, equals, start color #ca337c, 8, end color #ca337c.
Primul dreptunghiAl doilea dreptunghiAl treilea dreptunghi
Lățimeastart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accdstart color #11accd, 2, end color #11accd
Înălțimeastart color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10start color #7854ab, 2, end color #7854abstart color #ca337c, 8, end color #ca337c
Ariastart color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 0, comma, 5, end color #e07d10, equals, 1start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, equals, 4start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #ca337c, 8, end color #ca337c, equals, 16
Deci aproximarea noastră este de 21 unitățisquared.
Problema 5
Aproximează aria dintre axa Ox și h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, x, end fraction de la x, equals, 0 până la x, equals, 1, comma, 5 folosind o sumă Riemann dreaptă cu 3 subdiviziuni egale.
Aria aproximativă este
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unitățisquared.

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Unele sume Riemann supraestimează și altele subestimează

Sumele Riemann sunt apoximări ale ariei de sub o curbă, așa că ele vor arăta o valoare ceva mai mare decât aria reală (o supraevaluare) sau puțin mai mică decât aria reală (o subevaluare).
Problema 6
Este această sumă Riemann o supraevaluare sau o subevaluare a ariei reale?
Alege un răspuns:

Problema 7
Fie sumele Riemann stânga și dreapta care aproximează aria de sub y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis de la x, equals, 2 până la x, equals, 8.
Sunt aproximările supraestimări sau subestimări? Completează spațiile libere.
Suma Riemann stânga este
curbei, deci ea va fi o supraestimare
.
Suma Riemann dreapta este complet
curbei, așa că ea va fi o
.

Problema 8
Se dă graficul funcției continue g.
Ne interesează aria de sub curbă de la x, equals, minus, 7 până la x, equals, 7, folosind sume Riemann pentru aproximare.
Ordonează ariile de la cea mai mică (sus) la cea mai mare (jos).
1

Problema 9
Acest tabel conține valori ale funcției continue și crescătoare g.
xminus, 2381318
g, left parenthesis, x, right parenthesis1319283141
Noi suntem interesați de aria de sub curbă de la x, equals, minus, 2 până la x, equals, 18. Pentru a o aproxima, luăm în calcul sume Riemann stânga și dreapta, fiecare cu câte patru subdiviziuni egale.
Ordonează ariile de la cea mai mică (sus) la cea mai mare (jos).
1

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.
Observație:Faptul că o sumă Riemann este o supraestimare sau o subestimare depinde dacă funcția este crescătoare sau descrescatoare și dacă avem o sumă Riemann stânga sau dreapta.

Puncte cheie de reținut

Aproximarea ariei de sub o curbă cu dreptunghiuri

Primul lucru la care te gândești când auzi cuvintele "sumă Riemann" este să folosești dreptunghiuri pentru estimarea ariei de sub curbă. În minte, ar trebui să vezi ceva de genul ăsta:
Avem graficul funcției. Axa Ox nu este numerotată. Graficul este o curbă. Curba pornește de pe axa pozitivă a y-cilor, merge cu concavitatea în sus și se termină în cadranul 1.O arie între curbă și axe în cadranul 1 este hașurată. Aria hașurată este împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime egală care ating curba în colțurile din stânga sus .

Aproximarea este cu atât mai bună cu cât avem mai multe subdiviziuni.

În general, pentru aproximarea ariei, cu cât folosim mai multe subdiviziuni (adică dreptunghiuri) cu atât această aproximare va fi mai bună.
Graficul funcției are regiunea de sub curbă împărțită în 6 dreptunghiuri de lățime egală , atingând curba la colțurile din stânga sus.

Sume Riemann stânga versus dreapta

Încearcă să nu le amesteci. O sumă Riemann stânga folosește dreptunghiuri ale căror vârfuri stânga sus sunt pe curbă. O sumă Riemann dreapta folosește dreptunghiuri ale căror vârfuri dreapta sus sunt pe curbă.
Sumă Riemann stângaSumă Riemann dreapta
Graficul funcției are regiunea de sub curbă împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime egală, atingând curba în colțurile din stânga sus.
Graficul funcției are regiunea de sub curbă împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime egală, atingând curba în colțurile din dreapta sus.

Supraestimare și subestimare

Când folosim sume Riemann, uneori obținem o supraestimare și alteori o subestimare. E bine să putem decide dacă o anumită sumă Riemann este o supraestimare sau o subestimare.
În general, dacă funcția este peste tot crescătoare sau peste tot descrescătoare pe un interval, putem spune dacă suma Riemann aproximantă va fi o supraestimare sau o subestimare, depinzând de faptul dacă este o sumă Riemann stânga sau dreapta.
DirecțieSumă Riemann stângaSumă Riemann dreapta
CrescătoareSubestimareSupraestimare
DescrescătoareSupraestimareSubestimare

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.