If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Sume Riemann stânga & dreapta

Ariile de sub curbe pot fi estimate cu ajutorul unor dreptunghiuri. Asemenea estimări se numesc sume Riemann.
Presupunem că vrem să determinăm aria subgraficului acestei curbe:
A function is graphed. The x-axis is unnumbered. The graph is a curve. The curve starts on the positive y-axis, moves upward concave up and ends in quadrant 1. An area between the curve and the axes is shaded.
Probabil ne este ceva mai greu să determinăm aria exactă, dar putem să o aproximăm folosind dreptunghiuri:
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
Iar aproximarea devine tot mai bună dacă folosim tot mai multe dreptunghiuri:
Aria hașurată de sub curbă este împărțita în 8 dreptunghiuri de lățimi egale.
Aria hașurată de sub curbă este împărțită în 16 dreptunghiuri de lățimi egale.
Acest gen de aproximări sunt numite sume Riemann și reprezintă noțiuni de bază pentru calculul integral. Deocamdată, scopul nostru este să înțelegem două tipuri de sume Riemann: sume Riemann stânga și sume Riemann dreapta.

Sume Riemann stânga și dreapta

Pentru a face o sumă Riemann, trebuie să alegem cum să construim dreptunghiurile. O posibilă alegere este ca dreptunghiurile să atingă curba în colțul stânga sus. Aceasta se numește o sumă Riemann stânga.
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner. Therefore, each rectangle is below the curve.
Altă alegere este ca dreptunghiurile să atingă curba în colțul dreapta sus. Aceasta este o sumă Riemann dreapta.
The shaded area below the curve is divided into 4 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top right corner. Therefore, each rectangle moves upward above the curve.
Nicio alegere nu este strict mai bună decât alta.
Problema 1
Ce fel de sumă Riemann este descrisă de diagramă?
Alege un răspuns:

Sume Riemann - subdiviziuni/partiții

Termenii comuni obișnuiți când lucrăm cu sume Riemann sunt "subdiviziuni" sau "partiții". Aceștia se referă la numărul de părți în care împărțim intervalul de pe Ox pentru a obține dreptunghiurile. Pe scurt, numărul de subdiviziuni (sau partiții) este numărul de dreptunghiuri pe care le folosim.
Subdiviziunile pot fi uniforme, ceea ce înseamnă că ele sunt de aceeași lungime, sau neuniforme.
Subdiviziuni uniformeSubdiviziuni neuniforme
The shaded area below the curve is divided into 3 rectangles of equal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
The shaded area below the curve is divided into 3 rectangles of unequal width. Each rectangle moves upward from the x-axis and touches the curve at the top left corner.
Problema 2
Care este descrierea corectă a sudiviziunilor în suma Riemann.
Alege un răspuns:

Probleme de sume Riemann cu grafice

Să presupunem că se cere să aproximăm aria dintre y=g(x) și axa Ox de la x=2 până la x=6.
Function g is graphed. The x-axis goes from 0 to 9. The graph consists of a smooth curve. The curve starts in quadrant 4, moves upward to a relative maximum at about (3, 7), moves downward to a relative minimum at about (4.4, 3.5), moves upward and ends in quadrant 1. A region between the curve and the x-axis is shaded between x = 2 and x = 6.
Să zicem că ne decidem să folosim o sumă Riemann stânga cu patru subdiviziuni uniforme.
The graph of function g has the shaded region divided into 4 rectangles, each with width of 1. Each rectangle touches the curve at the top left corner. The corners are at (2, 3), (3, 7), (4, 6), and (5, 4).
Observație: Fiecare dreptunghi atinge curba în colțul stânga sus, deoarece folosim o sumă Riemann stânga.
Adunând ariile dreptunghiurilor, obținem 20 unități2, ceea ce reprezintă o aproximare pentru aria de sub curbă.
Problema 3
Aproximează aria dintre y=h(x) și axa Ox de la x=2 până la x=4 folosind o sumă Riemann dreapta cu trei subdiviziuni egale.
Graficul funcției h trece prin punctul minus 2, 0, punctul 0, punctul 0, 4, punctul 2, 6 și punctul 4, 4.
Alege un răspuns:

Acum hai să facem niște aproximări fără ajutorul graficelor

Să presupunem că se cere să aproximăm aria cuprinsă între axa Ox și graficul lui f de la x=1 până la x=10 folosind o sumă Riemann dreapta cu trei subdiviziuni egale. Pentru aceasta dăm un tabel de valori ale lui f.
x14710
f(x)6835
Un prim pas este să determinăm lățimea fiecărei subdiviziuni. Lățimea pentru întreaga arie pe care o aproximăm este 101=9 unități. Dacă folosim trei subdiviziuni egale, atunci lățimea fiecărui dreptunghi este 9:3=3.
Apoi, trebuie să determinăm înălțimea fiecărui dreptunghi. Primul dreptunghi ocupă intervalul [1,4]. Deoarece folosim o sumă Riemann dreapta, vârful dreapta sus va fi pe curbă la x=4, așa că valoarea lui y este f(4)=8.
În mod similar, putem găsi al doilea dreptunghi, care ocupă intervalul [4,7], având vârful dreapta sus la x=7, deci f(7)=3.
Al treilea (ultimul) dreptunghi are vârful dreapta sus la x=10, deci f(10)=5.
Acum ne mai rămâne să punem numerele în tabel.
Primul dreptunghiAl doilea dreptunghiAl treilea dreptunghi
Lățime333
Înălțime835
Aria38=2433=935=15
Apoi, după găsirea ariilor individuale, le adunăm și obținem aproximația : 48 unități2.
Problema 4
Aproximează aria cuprinsă între axa Ox și y=g(x) de la x=10 până la x=16 folosind o sumă Riemann stânga cu trei subdiviziuni egale.
x10121416
g(x)5177
Aria aproximativă este
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi
unități2.

Acum presupunem că se cere să aproximăm aria cuprinsă între axa Ox și graficul lui f(x)=2x de la x=3 până la x=3 folosind o sumă Riemann dreapta cu trei subdiviziuni egale.
Întregul interval [3,3] are lățimea de 6 unități, așa că fiecare dreptunghi va avea lățimea de 6:3=2 unități.
Primul dreptunghi este situat pe [3,1], așa că înălțimea lui este f(1)=21=0,5. Similar, înălțimea celui de al doilea dreptunghi este f(1)=21=2 și înălțimea celui de al treilea dreptunghi este f(3)=23=8.
Primul dreptunghiAl doilea dreptunghiAl treilea dreptunghi
Lățimea222
Înălțimea0,528
Aria20,5=122=428=16
Deci aproximarea noastră este de 21 unități2.
Problema 5
Aproximează aria dintre axa Ox și h(x)=3x de la x=0 până la x=1,5 folosind o sumă Riemann dreaptă cu 3 subdiviziuni egale.
Aria aproximativă este
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi
unități2.

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Unele sume Riemann supraestimează și altele subestimează

Sumele Riemann sunt apoximări ale ariei de sub o curbă, așa că ele vor arăta o valoare ceva mai mare decât aria reală (o supraevaluare) sau puțin mai mică decât aria reală (o subevaluare).
Problema 6
Este această sumă Riemann o supraevaluare sau o subevaluare a ariei reale?
Alege un răspuns:

Problema 7
Fie sumele Riemann stânga și dreapta care aproximează aria de sub y=g(x) de la x=2 până la x=8.
Sunt aproximările supraestimări sau subestimări? Completează spațiile libere.
Suma Riemann stânga este
curbei, deci ea va fi o supraestimare
.
Suma Riemann dreapta este complet
curbei, așa că ea va fi o
.

Problema 8
Se dă graficul funcției continue g.
Ne interesează aria de sub curbă de la x=7 până la x=7, folosind sume Riemann pentru aproximare.
Ordonează ariile de la cea mai mică (sus) la cea mai mare (jos).
1

Problema 9
Acest tabel conține valori ale funcției continue și crescătoare g.
x2381318
g(x)1319283141
Noi suntem interesați de aria de sub curbă de la x=2 până la x=18. Pentru a o aproxima, luăm în calcul sume Riemann stânga și dreapta, fiecare cu câte patru subdiviziuni egale.
Ordonează ariile de la cea mai mică (sus) la cea mai mare (jos).
1

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.
Observație:Faptul că o sumă Riemann este o supraestimare sau o subestimare depinde dacă funcția este crescătoare sau descrescatoare și dacă avem o sumă Riemann stânga sau dreapta.

Puncte cheie de reținut

Aproximarea ariei de sub o curbă cu dreptunghiuri

Primul lucru la care te gândești când auzi cuvintele "sumă Riemann" este să folosești dreptunghiuri pentru estimarea ariei de sub curbă. În minte, ar trebui să vezi ceva de genul ăsta:
Avem graficul funcției. Axa Ox nu este numerotată. Graficul este o curbă. Curba pornește de pe axa pozitivă a y-cilor, merge cu concavitatea în sus și se termină în cadranul 1.O arie între curbă și axe în cadranul 1 este hașurată. Aria hașurată este împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime egală care ating curba în colțurile din stânga sus .

Aproximarea este cu atât mai bună cu cât avem mai multe subdiviziuni.

În general, pentru aproximarea ariei, cu cât folosim mai multe subdiviziuni (adică dreptunghiuri) cu atât această aproximare va fi mai bună.
Graficul funcției are regiunea de sub curbă împărțită în 6 dreptunghiuri de lățime egală , atingând curba la colțurile din stânga sus.

Sume Riemann stânga versus dreapta

Încearcă să nu le amesteci. O sumă Riemann stânga folosește dreptunghiuri ale căror vârfuri stânga sus sunt pe curbă. O sumă Riemann dreapta folosește dreptunghiuri ale căror vârfuri dreapta sus sunt pe curbă.
Sumă Riemann stângaSumă Riemann dreapta
Graficul funcției are regiunea de sub curbă împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime egală, atingând curba în colțurile din stânga sus.
Graficul funcției are regiunea de sub curbă împărțită în 4 dreptunghiuri de lățime egală, atingând curba în colțurile din dreapta sus.

Supraestimare și subestimare

Când folosim sume Riemann, uneori obținem o supraestimare și alteori o subestimare. E bine să putem decide dacă o anumită sumă Riemann este o supraestimare sau o subestimare.
În general, dacă funcția este peste tot crescătoare sau peste tot descrescătoare pe un interval, putem spune dacă suma Riemann aproximantă va fi o supraestimare sau o subestimare, depinzând de faptul dacă este o sumă Riemann stânga sau dreapta.
DirecțieSumă Riemann stângaSumă Riemann dreapta
CrescătoareSubestimareSupraestimare
DescrescătoareSupraestimareSubestimare

Vrei să te alături conversației?

  • eggleston blue style avatar pentru utilizatorul kirugoro
    Ca sa reducem ertoarea de aproximare data de cele doua sume Riemann stanga/dreapta, am puitea folosi oricare dintre ele si apoi sa le translatam in sens invers cu jumatate din latimea lor.
    Exemplu: daca folosim sume dreapta, dupa ce le stabilim le translatam spre stanga cu jumatate de latime de interval si restabilim inaltimea lor in punctul in care intersecteaza graficul
    (1 vot)
    Default Khan Academy avatar avatar pentru utilizatorul
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.