Conţinutul principal

Calcul integral

Curs: Calcul integral > Unitatea 1

Lecția 12: Integrarea prin metoda schimbării de variabilă

Schimbarea de variabilă

Schimbarea de variabilă, în esență, inversează derivarea funcției compuse. Cu alte cuvinte, ne ajută să integrăm funcții compuse.

Când determinăm primitive, în fapt parcurgem "în sens invers derivarea." Unele cazuri sunt chiar directe. De exemplu, știm că derivata lui start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54 este start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, deci integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, d, x, equals, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, plus, C. Putem folosi acest raționament simplu și pentru alte funcții elementare, precum sine, left parenthesis, x, right parenthesis, e, start superscript, x, end superscript, start fraction, 1, divided by, x, end fraction, etc.

Alte cazuri, totuși, nu sunt simple. De exemplu, cât este integral, cosine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, d, x? Indiciu: nu este sine, left parenthesis, 3, x, plus, 5, right parenthesis, plus, C. Încearcă să o derivezi și vei vedea de ce nu este.

[Arată-mi!]

O metodă foarte utilă ar fi schimbarea de variabilă, care în fapt inversează derivarea funcției compuse.

Schimbarea de variabilă pentru integrale nedefinite

Imaginează-ți că ni se cere să determinăm integral, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observăm că start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab este derivata lui start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, care este funcția "interioară" din funcția compusă start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10. Cu alte cuvinte, notând start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, end color #1fab54 și start color #e07d10, w, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, avem:

start color #7854ab, start overbrace, 2, x, end overbrace, start superscript, u, prime, end superscript, end color #7854ab, start color #e07d10, start underbrace, cosine, left parenthesis, start color #1fab54, start overbrace, x, squared, end overbrace, start superscript, u, end superscript, end color #1fab54, right parenthesis, end underbrace, start subscript, w, end subscript, end color #e07d10, equals, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab, start color #e07d10, w, left parenthesis, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, end color #e07d10

Aceasta ne sugerează că se cere schimbarea de variabilă u. Să vedem cum se face.

Mai întâi, derivăm ecuația start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 în raport de x, în timp ce îl considerăm pe u ca o funcție implicită de x.

\begin{aligned} u&=x^2 \\\\ \dfrac{d}{dx}[u]&=\dfrac{d}{dx}[x^2] \\\\ \dfrac{du}{dx}&=2x \\\\ \purpleD{du}&\purpleD{=2x\,dx} \end{aligned}

În ultima linie, am înmulțit egalitatea cu d, x, deci l-am izolat pe d, u. Nu este foarte frumos, dar e util pentru pasul următor. Deci, avem start color #1fab54, u, equals, x, squared, end color #1fab54 și start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Acum putem să facem o schimbare în integrală:

\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \purpleD{2x}\goldD{\cos(}\greenD{x^2}\goldD )\,\purpleD{dx} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(\greenD{\underbrace{x^2}_{u}})}\purpleD{\underbrace{2x\,dx}_{du}}&\gray{\text{Rearanjăm.}} \\\\ &=\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du}&\gray{\text{Înlocuim.}} \end{aligned}

După înlocuire, rămânem cu o expresie pentru primitiva lui start color #e07d10, cosine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 în funcție de u. Ce confortabil! cosine, left parenthesis, u, right parenthesis este o funcție elementară pentru care găsim primitiva foarte simplu. Singurul lucru care a mai rămas este să rescriem funcția înapoi în funcție de x:

\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int \goldD{\cos(}\greenD{u}\goldD )\,du \\\\ &=\sin(\greenD u)+C \\\\ &=\sin(\greenD{x^2})+C \end{aligned}

În concluzie, integral, 2, x, cosine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, d, x este sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C. Poți să derivezi sine, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, plus, C ca să verifici dacă este adevărat.

Cheie de reținut #1: Schimbarea de variabilă este chiar tot ce înseamnă inversarea procesului de derivare a funcției compuse:

Conform derivării funcției compuse, derivata lui start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10 este start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab.
La schimbarea de variabilă, luăm o expresie de forma start color #e07d10, w, prime, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab și îi determinăm primitiva start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10.

Cheie de reținut #2: Schimbarea de variabilă ne ajută să luăm o expresie dezordonată și să o simplificăm transformând funcția "interioară" în variabilă (argument).

Problema 1.A

Actual

Setul de probleme 1 ne va duce prin toți pașii determinării integralei următoare folosind schimbarea de variabilă.

integral, left parenthesis, 6, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, d, x, equals, question mark

Cum ar trebui definit u?

(Varianta A)
u, equals, 2, x, cubed, plus, 5
(Varianta B)
u, equals, left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript
(Varianta C)
u, equals, 6, x, squared
(Varianta D)
u, equals, x, start superscript, 6, end superscript

Greșeală frecventă: alegerea incorectă a expresiilor pentru u sau d, u

Alegerea greșită a expresiei pentru u va conduce la un rezultat greșit. De exemplu, în setul de probleme 1, u trebuie definit ca 2, x, cubed, plus, 5. Nu va funcționa niciodată dacă îl vom nota pe u cu 6, x, squared sau left parenthesis, 2, x, cubed, plus, 5, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript.

Amintește-ți: Pentru schimbarea de variabilă, trebuie să putem scrie funcția de integrat ca start color #e07d10, w, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, u, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #7854ab. Apoi, u trebuie definit ca funcția interioară a funcției compuse.

Un alt pas esențial în acest proces este determinarea lui d, u. Asigură-te că derivezi corect pe u, deoarece o expresie greșită pentru d, u va conduce la un rezultat greșit.

Problema 2

Lui Tim i s-a cerut să determine integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x. Iată ce a făcut el:

integral, cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, d, x, equals, sine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis, plus, C

Este corect ce a făcut Tim? Dacă nu, care este greșeala pe care a făcut-o?

(Varianta A)
Tim a lucrat corect.
(Varianta B)
Tim nu a lucrat corect. Primitiva lui cosine, left parenthesis, x, right parenthesis nu este sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
(Varianta C)
Tim nu a lucrat corect. El a ignorat faptul că cosine, left parenthesis, 5, x, minus, 7, right parenthesis este o funcție compusă.
(Varianta D)
Tim nu a lucrat corect. Nu ar fi trebuit să adune o constantă C la determinarea integralei nedefinite.

Greșeală frecventă: nu se înțelege când este folosită schimbarea de variabilă

Amintește-ți: Când integrăm o funcție compusă, nu putem luar pur și simplu primitiva funcției exterioare. Trebuie să folosim schimbarea de variabilă.

Notând cu W primitiva lui w, exprimăm acest aspect astfel:

integral, w, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, d, x, does not equal, W, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, plus, C

Altă greșeală frecventă: confundarea funcției interioare cu derivata sa

Imaginează-ți că încerci să determini integral, x, squared, cosine, left parenthesis, 2, x, right parenthesis, d, x. Ai putea spune că "deoarece 2, x este derivata lui x, squared, putem folosi schimbarea de variabilă." De fapt, deoarece schimbarea de variabilă necesită derivarea funcției interioare, x, squared trebuie să fie derivata lui 2, x pentru ca schimbarea de variabilă să funcționeze. Dar, cum nu este cazul, schimbarea de variabilă nu se aplică în această situație.

Uneori trebuie să înmulțim/împărțim integrala cu o constantă.

Imaginează-ți că ni se cere să determinăm integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab. Observăm că avem o funcție compusă start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10,care nu este înmulțită cu nimic. Poate părea frustrant la început, dar hai să vedem ce se întâmplă.

Notăm start color #1fab54, u, equals, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, apoi start color #7854ab, d, u, equals, 3, d, x, end color #7854ab. Acum facem schimbarea de variabilă în integrală, nu înainte de a face următoarea prelucrare isteață:

integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, integral, start color #e07d10, sine, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, 3, x, plus, 5, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, end color #e07d10, start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab

Vezi ce am făcut aici? Ca să avem start color #7854ab, 3, d, x, end color #7854ab în funcția de integrat, am înmulțit toată integrala cu start fraction, 1, divided by, 3, end fraction. Asta ne permite să schimbăm variabila dar și să păstrăm valoarea integralei.

Să continuăm cu schimbarea de variabilă:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(\greenD{\underbrace{3x+5}_u})}\purpleD{\underbrace{3\,dx}_{du}} \\\\ &=\dfrac13\displaystyle\int\goldD{\sin(}\greenD{u}\goldD )\purpleD{\,du} \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{u})+C \\\\ &=-\dfrac13\cos(\greenD{3x+5})+C \end{aligned}

Cheie de reținut: Uneori trebuie să înmulțim sau să împărțim toată integrala cu o constantă, astfel încât să obținem forma potrivită pentru schimbarea de variabilă fără a schimba forma integralei.

Problema 3

integral, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, cubed, d, x, equals, question mark

(Varianta A)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 2, end fraction, plus, C
(Varianta B)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, plus, C
(Varianta C)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, end fraction, plus, C
(Varianta D)
start fraction, left parenthesis, 2, x, plus, 7, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript, divided by, 16, end fraction, plus, C

Vrei să te antrenezi mai mult? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.