Conţinutul principal
Calcul integral
Curs: Calcul integral > Unitatea 1
Lecția 12: Integrarea prin metoda schimbării de variabilă- Schimbarea de variabilă
- Schimbarea de variabilă: definirea lui 𝘶
- Încălzire schimbare de variabilă
- Schimbare de variabilă: integrale nedefinite
- Schimbarea de variabilă la integrale definite
- Schimbarea de variabilă: integrale definite
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie
Schimbarea de variabilă la integrale definite
Schimbarea de variabilă pentru integralele definite este foarte asemănătoare cu cea pentru integralele nedefinite, dar se adaugă un pas suplimentar: adaptarea limitelor de integrare. Să vedem ce înseamnă asta calculând integral, start subscript, 1, end subscript, squared, start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab, start color #e07d10, left parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, start color #e07d10, right parenthesis, cubed, end color #e07d10, start color #7854ab, d, x, end color #7854ab.
Observăm că start color #7854ab, 2, x, end color #7854ab este derivata lui start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, deci aplicăm schimbarea de variabilă. Dacă notăm start color #1fab54, u, equals, x, squared, plus, 1, end color #1fab54, atunci start color #7854ab, d, u, equals, 2, x, d, x, end color #7854ab. Acum înlocuim:
Stai puțin! Limitele de integrare erau pentru x, nu pentru u. Să identificăm grafic. Ne interesa aria suprafeței cuprinse între curba start color #11accd, y, equals, 2, x, left parenthesis, x, squared, plus, 1, right parenthesis, cubed, end color #11accd de la x, equals, 1 până la x, equals, 2.
Deoarece curba a devenit start color #aa87ff, y, equals, u, cubed, end color #aa87ff, nu mai putem păstra aceleași limite.
Într-adevăr, limitele nu ar trebui să rămână la fel. Pentru a determina noile limite, trebuie să calculăm valorile lui start color #1fab54, u, end color #1fab54 care corespund lui start color #1fab54, x, squared, plus, 1, end color #1fab54 pentru x, equals, start color #ca337c, 1, end color #ca337c și x, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c:
- Limita inferioară: left parenthesis, start color #ca337c, 1, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 2, end color #ca337c
- Limita superioară: left parenthesis, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, plus, 1, equals, start color #ca337c, 5, end color #ca337c
Acum putem efectua corect schimbarea de variabilă:
De aici încolo, putem rezolva orice în raport de u:
Amintește-ți: Când folosim schimbarea de variabilă pe integrale definite, trebuie întotdeauna să adaptăm limitele de integrare.
Vrei mai mult antrenament? Vezi acest exercițiu.
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.