Rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind logaritmi (articol)

Cheia rezolvării ecuaţiilor exponenţiale este în logaritmi! Hai să ne uităm mai îndeaproape lucrând prin câteva exemple.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Hai să rezolvăm ecuația

5 \cdot 2^{x} = 240

Pentru a rezolva în necunoscuta

x

, mai întâi trebuie să separăm componenta exponențială. Pentru aceasta, împărțim ambele părți la

5

, după cum se vede mai jos. Nu înmulțim pe

5

2

, căci nu am respecta ordinea operațiilor!

\begin{aligned} 5 \cdot 2^{x} & = 240 \\ 2^{x} & = 48 \end{aligned}

Acum putem rezolva în necuoscuta

x

, prin transformarea ecuației în forma logaritmică.

2^{x} = 48

este echivalentă cu

\log_{2} (48) = x

Și gata, am rezolvat ecuația! Soluția exactă este

x = \log_{2} (48)

Deoarece

48

nu este putere rațională a lui

2

, trebuie să folosim formula pentru schimbarea bazei și un calculator pentru a evalua logaritmul. Mai jos poti vedea cum facem asta.

\begin{aligned} x & = \log_{2} (48) \\ = \frac{\log (48)}{\log (2)} & Formula pentru schimbarea bazei \\ \approx 5,585 & Evaluăm cu ajutorul unui calculator \end{aligned}

Soluția aproximativă, rotunjită la ordinul miimilor, este

x \approx 5,585

Verifică dacă ai înțeles

1) Care este soluția ecuației $2 \cdot 6^{x} = 236$ ‍?

2) Rezolvă ecuația $5 \cdot 3^{t} = 20$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

t =

3) Rezolvă ecuația $6 \cdot e^{y} = 300$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

y =

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

Să aruncăm o privire la un alt exemplu. Hai să rezolvăm 6

\cdot 10^{2 x} = 48

Începem din nou cu separarea comonentei exponențiale, prin împărțirea ambelor părți ale egalității la

6

\begin{aligned} 6 \cdot 10^{2 x} & = 48 \\ 10^{2 x} & = 8 \end{aligned}

Apoi, coborâm exponentul aducând la forma logaritmică.

\begin{aligned} \log_{10} (8) & = 2 x \end{aligned}

În cele din urmă, putem împărți ambele părți la

2

pentru a rezolva în necunoscuta

x

x = \frac{\log_{10} (8)}{2}

Acesta este răspunsul exact. Pentru a aproxima răspunsul la cea mai apropiată miime, tastăm direct pe calculator. Observăm că aici nu este necesară schimbarea bazei, deoarece avem deja baza

10

\begin{aligned} x & = \frac{\log_{10} (8)}{2} \\ = \frac{\log (8)}{2} & \log_{10} (x) = \log (x) \\ \approx 0,452 & Evaluăm folosind un calculator \end{aligned}

Verifică dacă ai înțeles

4) Care dintre următoarele este soluția ecuației $3 \cdot 10^{4 t} = 522$ ‍?

5) Rezolvă ecuația $4 \cdot 5^{2 x} = 300$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

x =

6) Rezolvă ecuația $- 2 \cdot 3^{0, 2 z} = - 400$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

z =

Problemă provocare

7) Care dintre următoarele sunt soluţii pentru ecuația $(2^{x} - 3) (2^{x} - 4) = 0$ ‍?

Curs: M1 - Clasa a X-a > Unitatea 5

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale folosind logaritmi

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Verifică dacă ai înțeles

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma $a \cdot b^{c x} = d$ ‍

Verifică dacă ai înțeles

Problemă provocare

Vrei să te alături conversației?

M1 - Clasa a X-a

Curs: M1 - Clasa a X-a > Unitatea 5

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma a⋅bx=d‍

Verifică dacă ai înțeles

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma a⋅bcx=d‍

Verifică dacă ai înțeles

Problemă provocare

Vrei să te alături conversației?

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma $a \cdot b^{x} = d$ ‍

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale de forma $a \cdot b^{c x} = d$ ‍