Conţinutul principal

Curs: M1 - Clasa a X-a > Unitatea 2

Lecția 3: Operații cu logaritmi

Introducere în formula pentru schimbarea bazei logaritmului

Învață cum se poate rescrie orice logaritm într-o altă bază. Această metodă este foarte utilă în evaluarea unui logaritm cu ajutorul calculatorului!

Să presupunem că am vrea să aflăm valoarea expresiei

\log_{2} (50)

. Deoarece

50

nu este o putere rațională a lui

2

, ne va fi dificil să o evaluăm fără un calculator.

Totuși, majoritatea calculatoarelor dispun de posibilitatea de a calcula direct doar logaritmi în baza

10

și în baza

e

. Deci, pentru a afla valoarea lui

\log_{2} (50)

, trebuie să schimbăm baza logaritmului, mai întâi.

Formula pentru schimbarea bazei

Putem schimba baza oricărui logaritm, folosind formula pentru schimbarea bazei:

Note:

Când folosim această proprietate, putem alege să schimbăm logaritmul în orice bază $x$ ‍.
Ca întotdeauna, pentru ca această proprietate să funcționeze, argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive, iar bazele trebuie să fie pozitive și diferite de $1$ ‍!

Exemplu: Evaluarea lui $\log_{2} (50)$ ‍

Dacă scopul tău este să determini valoarea unui logaritm, schimbă baza la

10

e

, deoarece majoritatea calculatoarelor pot să calculeze logaritmi în aceste baze.

Deci, hai să schimbăm baza lui

\log_{2} (50)

10

Pentru a face acest lucru, aplicăm formula pentru schimbarea bazei cu

b = 2

a = 50

și

x = 10

\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Formula pentru schimbarea bazei \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Deoarece \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}

Acum putem găsi valoarea folosind calculatorul.

\frac{\log (50)}{\log (2)} \approx 5,644

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1

Evaluează $\log_{3} (20)$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

Problema 2

Evaluează $\log_{7} (400)$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

Problema 3

Evaluează $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
Rotunjește răspunsul la cea mai apropiată miime.

Justificarea formulei pentru schimbarea bazei

În acest moment, poate te gândesți: "Minunat, dar de ce funcționează această formulă?"

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

Hai să începem cu un exemplu concret. Folosind exemplul de mai sus, vrem să arătăm că

\log_{2} (50) = \frac{\log (50)}{\log (2)}

Hai să folosim

n

ca înlocuitor pentru

\log_{2} (50)

. Cu alte cuvinte, avem

\log_{2} (50) = n

. Din definiția logaritmilor, înseamnă că

2^{n} = 50

. Acum, putem executa o serie de operații, în ambele părți, astfel încât egalitatea să fie păstrată:

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log (2^{n}) & = \log (50) & Dacă A = B, atunci \log (A) = \log (B) \\ n \log (2) & = \log (50) & Logaritm din putere, în partea stângă \\ n & = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Împărțim ambele părți la \log (2) \end{aligned}

Deoarece

n

a fost definit ca

\log_{2} (50)

, avem

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

, așa cum se dorea!

Folosind același raționament, putem demonstra și formula pentru schimbarea bazei. Pur și simplu schimbăm

2

b

50

a

și alegem orice bază

x

ca noua bază... gata demonstrația!

Problemă provocare

Problemă provocare 1

Evaluează $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ fără a folosi un calculator.

Problemă provocare 2

Care expresie este echivalentă cu $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍?

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

M1 - Clasa a X-a