If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Puterile unității imaginare

Învață cum să simplifici orice putere a unității imaginare i. De exemplu, simplifică i²⁷ ca -i.
Știm că i=1 și i2=1.
Dar ce știm despre i3 și i4? Sau despre alte puteri ale lui i? Cum le putem calcula?

Determinarea lui i3 și i4

Aici ne putem folosi de puterile exponenților. De fapt, pentru a calcula puterile lui i, putem aplica proprietățile exponenților pe care le cunoaștem de la numerele reale, atât timp cât exponenții sunt numere întregi.
Având în vedere acest lucru, hai să găsim i3 și i4.
Știm că i3=i2i. Dar, pentru că i2=1, observăm că:
i3=i2i=(1)i=i
În mod similar, i4=i2i2. Din nou, folosind faptul că i2=1, avem următoarele:
i4=i2i2=(1)(1)=1

Mai multe puteri ale lui i

Să continuăm! Hai să găsim următoarele 4 puteri ale lui i folosind o metodă similară.
i5=i4iProprietăți ale exponenților=1iDeoarece i4=1=ii6=i4i2Proprietăți ale exponenților=1(1)Deoarece i4=1 and i2=1=1i7=i4i3Proprietăți ale exponenților=1(i)Deoarece i4=1 and i3=i=ii8=i4i4Proprietăți ale exponenților=11Deoarece i4=1=1
În tabel punem sinteza rezultatelor.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i1i1i1i1

Model repetitiv

Din tabel, observăm că puterile lui i formează secvența repetitivă i, 1, i și 1.
Folosind acest model, putem găsi i20? Hai să încercăm!
Următoarea listă afișează primele 20 numere din secvența repetitivă.
i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1
Conform acestui raționament, i20 ar trebui să fie egal cu 1. Să vedem dacă putem susține asta folosind exponenți. Amintește-ți că putem folosi proprietăţile exponenţilor aici, exact ca la numerele reale!
i20=(i4)5Proprietăți ale exponenților=(1)5i4=1=1Simplificăm
În orice caz, vedem că i20=1.

Puteri mai mari ale lui i

Acum să presupunem că vrem să determinăm i138. Am putea scrie secvența i, 1, i, 1,... până la al 138-lea termen, dar ne-ar lua prea mult timp!
Totuși, să observăm că i4=1, i8=1, i12=1, etc. sau, cu alte cuvinte, i ridicat la un multiplu de 4 este 1.
Putem folosi această observație împreună cu proprietățile exponenților pentru a-l simplifica pe i138.

Exemplu

Simplifică i138.

Soluție

Chiar dacă 138 nu este multiplu al lui 4, numărul 136 este. Așa că vom folosi asta pentru a-l simplifica pe i138.
i138=i136i2Proprietăți ale exponenților=(i434)i2136=434=(i4)34i2Proprietăți ale exponenților=(1)34i2i4=1=11i2=1=1
Deci i138=1.
Te-ai putea întreba de ce am ales să îl scriem pe i138 ca i136i2.
Ei bine, dacă puterea inițială nu este multiplu de 4, atunci găsim cel mai apropiat multiplu de 4 care este mai mic și care ne permite să coborâm cu puterea la i, i2 sau i3 doar folosind faptul că i4=1.
Este ușor de găsit acest număr dacă împărțim exponentul dat la 4. Este exact câtul împărțirii (fără rest) ori 4.

Să exersăm cu niște probleme!

Problema 1

Simplifică i227.

Problema 2

Simplifică i2016.

Problema 3

Simplifică i537.

Problemă provocare

Care dintre următoarele este echivalentă cu i1?
Alege un răspuns: