If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8

Lecția 2: Definirea integralelor
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Integrale
Definirea integralelor
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Definește integrale ca limite de sume Riemann

Clasa Google
Sumele Riemann ne ajută să aproximăm integralele definite, dar și să definim formal integralele definite. Învățăm cum facem asta și cum putem să comutăm de la reprezentarea ariei ca integrală definită la o sumă Riemann.
Integralele definite reprezintă aria de sub graficul unei funcții, iar sumele Riemann ne ajută la aproximarea unei astfel de arii. Întrebarea este: există un mod de a găsi valoarea exactă a integralei definite?

Sume Riemann cu un număr "infinit" de dreptunghiuri

Să presupunem că vrem să găsim aria de sub graficul lui f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared între x, equals, 2 și x, equals, 6.
Avem graficul funcției f. Pe axa Ox mergem de la minus 1 la 8. Graficul este o curbă netedă. Curba începe în cadranul 2, merge în jos până la un minim relativ în (0, 0), merge apoi în sus și se termină în cadranul 1. Regiunea dintre curbă și axa Ox ,între x = 2 și x = 6, este hașurată.
Folosind notația integralei definite, putem reprezenta aria exactă:
integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x
Putem aproxima această arie folosind sume Riemann. Fie R, left parenthesis, n, right parenthesis suma Riemann dreapta care aproximează aria folosind n subdiviziuni egale (adică n dreptunghiuri de lățimi egale).
Spre exemplu, aceasta este R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Se poate vedea că ea este o supraestimare a ariei actuale.
Graficul funcției f are regiunea de sub curbă împărțită în 4 dreptunghiri de lățime 1. Fiecare dreptunghi atinge curba în colțul din dreapta sus.
Aria de sub curba lui f între x, equals, 2 și x, equals, 6 este aproximată folosind 4 dreptunghiuri de lățimi egale.
Putem aproxima mai bine dacă împărțim aria în mai multe dreptunghiuri care au lățimile mai mici, adică folosim R, left parenthesis, n, right parenthesis pentru valori mai mari ale lui n.
Putem observa cum aproximația se apropie de aria actuală când numărul dreptunghiurilor merge de la 1 la 100:
Graficul funcției f este animat. Regiunea hașurată în dreptunghiuri din ce în ce mai multe de lungimi egale, de la 1 la 100. Ariile devin din ce în ce mai mici, de la R de 1 = aproximativ 28.8 la R de100 = aproximativ 13.99.
Creat cu Geogebra.
Desigur, folosind și mai multe dreptunghiuri ne apropiem și mai mult, dar o aproximație rămâne totdeauna aproximație.
Ce ar fi să luăm o sumă Riemann cu un număr infinit de subdiviziuni egale? Este asta posibil? Ei bine, nu putem pune n, equals, infinity deoarece infinit nu este un număr real, dar ne reamintim că avem o posibilitate să ducem ceva către infinit.
Limite!
Concret, această limită:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, R, left parenthesis, n, right parenthesis
Fapt uimitor #1: Această limită chiar dă valoarea exactă a integralei integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x.
Fapt uimitor #2: Nu contează dacă luăm limita unei sume Riemann dreapta, a unei sume Riemann stânga sau a oricărei aproximații obișnuite. La infinit, vom obține todeauna valoarea exactă a integralei definite.
(Demonstrația riguroasă a acestor fapte este prea elaborată pentru acest articol. Aceasta nu constituie o problemă, deoarece noi suntem interesați de înțelegerea legăturii dintre sumele Riemann și integralele definite.)
Până acum, am folosit R, left parenthesis, n, right parenthesis ca notație pentru aproximarea cu sumă Riemann dreapta cu n subdiviziuni. Acum hai să găsim expresia reală.
Scurtă revizuire: Considerăm start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54,start color #1fab54, start text, space, l, a, with, \u, on top, ț, i, m, e, a, end text, end color #1fab54 constantă a oricărui dreptunghi și start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, valoarea lui x în partea din dreapta a celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi. Atunci start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 va da start color #e07d10, start text, ı, with, \^, on top, n, a, with, \u, on top, l, ț, i, m, e, a, end text, end color #e07d10 fiecărui dreptunghi.
Δx=6−2n=4nxi=2+Δx⋅i=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{6-2}{n}=\greenD{\dfrac4n} \\\\ \blueD{x_i}&=2+\Delta x\cdot i=\blueD{2+\dfrac4n i} \\\\ \goldD{f(\blueD{x_i})}&=\dfrac15(x_i)^2=\goldD{\dfrac15\left(\blueD{2+\dfrac4n i}\right)^2} \end{aligned}
Deci, aria celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi este start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10 și adunăm pentru valorile lui i de la 1 la n:
R, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, 5, n, end fraction
Acum putem considera aria reală ca o limită:
=∫2615x2 dx=lim⁡n→∞R(n)=lim⁡n→∞∑i=1n(2+4in)2⋅45n\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_2^6 {\dfrac15x^2\,}{dx} \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n) \\\\ &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(2+\dfrac{4i}{n}\right)^2\cdot\dfrac{4}{5n} \end{aligned}

Prin definiție, integrala definită este limita sumei Riemann

Exemplul anterior este un caz particular al definiției generale pentru integralele definite:
Integrala definită a unei funcții continue f pe intervalul open bracket, a, comma, b, close bracket, notată prin integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, este limita unei sume Riemann cu numărul de subdiviziuni tinzând către infinit. Adică,
integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10
unde start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction și start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.

Dacă se cere să scriem o sumă Riemann pentru o integrală definită...

Să presupunem că s-a cerut să scriem următoarea integrală definită ca limita unei sume Riemann.
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
Mai întâi, să găsim start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Δx=b−an=2π−πn=πn\begin{aligned} \greenD{\Delta x}&=\dfrac{ b- a}{n} \\\\ &=\dfrac{{2\pi}- \pi}{n} \\\\ &=\greenD{\dfrac{\pi}{n}} \end{aligned}
Acum, că avem start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, putem găsi start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
xi=a+Δx⋅i=π+πn⋅i=π+πin\begin{aligned} \blueD{x_i}&= a+\greenD{\Delta x}\cdot i \\\\ &= \pi+\greenD{\dfrac{\pi}{n}}\cdot i \\\\ &=\blueD{\pi+\dfrac{\pi i}{n}} \end{aligned}
Deci,
integral, start subscript, pi, end subscript, start superscript, 2, pi, end superscript, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #1fab54, start fraction, pi, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #11accd, pi, plus, start fraction, pi, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10

Antrenează-te cu scrierea sumelor Riemann pentru integrale definite

Problema 1
integral, start subscript, 0, end subscript, cubed, e, start superscript, x, end superscript, d, x, equals, question mark
Alege un răspuns:

Problema 2
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, natural log, x, d, x, equals, question mark
Alege un răspuns:

Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentrudelta, x

Spre exemplu, în Problema 2, ne putem imagina cum un elev ar putea defini delta, x ca fiind start fraction, e, divided by, n, end fraction sau start fraction, 1, divided by, n, end fraction în loc de start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction. Alt exemplu este folosirea lui d, x pentru delta, x. Reamintim că d, x este folosit numai în notația integralei, nu în sumă. Asta ne spune doar că integrarea se face în raport de x.

Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentru x, start subscript, i, end subscript

Cineva ar putea să uite să adune a la delta, x, dot, i, rezultând o expresie greșită. Spre exemplu, în Problema 2, ar putea defini x, start subscript, i, end subscript ca fiind start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i în loc de 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i.

Dacă se cere să scriem o integrală definită pentru limita unei sume Riemann...

Să presupunem că se cere să găsim o integrală definită care este echivalentă acestei limite:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, natural log, left parenthesis, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction
Asta înseamnă că trebuie să găsim intervalul de integrare open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket și funcția de integrat start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10. Apoi, integrala definită corespunzătoare va fi integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
Noi știm că fiecare sumă Riemann are două părți: o lățime start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 și o înățime start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 pentru fiecare dreptunghi din sumă. Privind la această limită particulară, putem face alegerea potrivită pentru ambele părți.
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54
Dreptunghiuri de lățime uniformă: Expresia start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 este o alegere potrivită pentru lățimea dreptunghiurilor start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, deoarece ea nu depinde de indexul i. Aceasta înseamnă că start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 va fi aceeași pentru fiecare termen din sumă, ceea ce așteptăm de la o sumă Riemann în care dreptunghiurile au aceeași lățime.
Dreptunghiuri de înălțime variabilă: Expresia start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 depinde de i, care ar fi bine să reprezinte înălțimea, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. Cea mai naturală alegere pentru start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd este start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd. Deci, vom continua cu aceasta, ceea ce înseamnă că funcția de integrat este start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
Pentru a identifica limitele de integrare a și b, să ne întoarcem la definiția generală a lui start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 și start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd în relația care definește integrala.
Cum definisem mai sus, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. În acest caz, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd poate fi scris start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, așa că start color #aa87ff, a, end color #aa87ff trebuie să fie egal cu start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Așa cum am definit anterior, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. În cazul nostru, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. Ambii numitori sunt n, așa că numărătorii trebuie să fie egali cu: b, minus, a, equals, 5. Știind că start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, putem concluziona că start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
Punând totul laolaltă, iată integrala definită care este egală cu limita sumei Riemann:
integral, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, 7, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x

Antrenament cu scrierea integralelor definite pentru sume Riemann

Problema 3.A
  • Actual
Problema 3 te va duce prin pașii găsirii integralei definite reprezentată prin această expresie:
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction, right parenthesis, squared, dot, start fraction, 4, divided by, n, end fraction
Care este delta, x în această expresie?
Alege un răspuns:

Dificultăți frecvente: Dificultatea găsirii lui delta, x în expresia sumei Riemann

Când expresia de însumare este elaborată și include mai multe fracții, poate fi greu de identificat care parte este delta, x.
Reamintim că delta, x trebuie să fie un factor al expresiei de însumare sub forma start fraction, k, divided by, n, end fraction, unde k nu trebuie să conțină indexul de însumare i.

Altă dificultate frecventă: Dificultatea găsirii limitelor de integrare

Observăm din Problema 3 faptul că delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction ne spune că b, minus, a, equals, 4. Acest lucru este folositor, dar fără găsirea lui a, noi nu vom ști care sunt a și b. Putem găsi a folosind faptul că x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
O greșeală comună este să presupunem imediat că dacă, spre exemplu, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, atunci limitele de integrare ar fi open bracket, 0, comma, 4, close bracket.

O ultimă dificultate frecventă: Dificultatea analizei generale a expresiei

Unii nu știu de unde să înceapă.
Începe cu expresa sumei. Ar trebui să identifici doi factori: unul de forma start fraction, k, divided by, n, end fraction (unde k nu conține indicele de sumare i) și altul este o funcție de i. Primul ne va da start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 și altul ne va da start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd.
Problema 4
limit, start subscript, n, \to, infinity, end subscript, sum, start subscript, i, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, square root of, 4, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end square root, dot, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, equals, question mark
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.