If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Definește integrale ca limite de sume Riemann

Sumele Riemann ne ajută să aproximăm integralele definite, dar și să definim formal integralele definite. Învățăm cum facem asta și cum putem să comutăm de la reprezentarea ariei ca integrală definită la o sumă Riemann.
Integralele definite reprezintă aria de sub graficul unei funcții, iar sumele Riemann ne ajută la aproximarea unei astfel de arii. Întrebarea este: există un mod de a găsi valoarea exactă a integralei definite?

Sume Riemann cu un număr "infinit" de dreptunghiuri

Să presupunem că vrem să găsim aria de sub graficul lui f(x)=15x2 între x=2 și x=6.
Folosind notația integralei definite, putem reprezenta aria exactă:
2615x2dx
Putem aproxima această arie folosind sume Riemann. Fie R(n) suma Riemann dreapta care aproximează aria folosind n subdiviziuni egale (adică n dreptunghiuri de lățimi egale).
Spre exemplu, aceasta este R(4). Se poate vedea că ea este o supraestimare a ariei actuale.
Aria de sub curba lui f între x=2 și x=6 este aproximată folosind 4 dreptunghiuri de lățimi egale.
Putem aproxima mai bine dacă împărțim aria în mai multe dreptunghiuri care au lățimile mai mici, adică folosim R(n) pentru valori mai mari ale lui n.
Putem observa cum aproximația se apropie de aria actuală când numărul dreptunghiurilor merge de la 1 la 100:
Creat cu Geogebra.
Desigur, folosind și mai multe dreptunghiuri ne apropiem și mai mult, dar o aproximație rămâne totdeauna aproximație.
Ce ar fi să luăm o sumă Riemann cu un număr infinit de subdiviziuni egale? Este asta posibil? Ei bine, nu putem pune n= deoarece infinit nu este un număr real, dar ne reamintim că avem o posibilitate să ducem ceva către infinit.
Limite!
Concret, această limită:
limnR(n)
Fapt uimitor #1: Această limită chiar dă valoarea exactă a integralei 2615x2dx.
Fapt uimitor #2: Nu contează dacă luăm limita unei sume Riemann dreapta, a unei sume Riemann stânga sau a oricărei aproximații obișnuite. La infinit, vom obține todeauna valoarea exactă a integralei definite.
(Demonstrația riguroasă a acestor fapte este prea elaborată pentru acest articol. Aceasta nu constituie o problemă, deoarece noi suntem interesați de înțelegerea legăturii dintre sumele Riemann și integralele definite.)
Până acum, am folosit R(n) ca notație pentru aproximarea cu sumă Riemann dreapta cu n subdiviziuni. Acum hai să găsim expresia reală.
Scurtă revizuire: Considerăm Δx, lățimea constantă a oricărui dreptunghi și xi, valoarea lui x în partea din dreapta a celui de al i-lea dreptunghi. Atunci f(xi) va da înălțimea fiecărui dreptunghi.
Δx=62n=4nxi=2+Δxi=2+4nif(xi)=15(xi)2=15(2+4ni)2
Deci, aria celui de al i-lea dreptunghi este 4n15(2+4ni)2 și adunăm pentru valorile lui i de la 1 la n:
R(n)=i=1n(2+4in)245n
Acum putem considera aria reală ca o limită:
=2615x2dx=limnR(n)=limni=1n(2+4in)245n

Prin definiție, integrala definită este limita sumei Riemann

Exemplul anterior este un caz particular al definiției generale pentru integralele definite:
Integrala definită a unei funcții continue f pe intervalul [a,b], notată prin abf(x)dx, este limita unei sume Riemann cu numărul de subdiviziuni tinzând către infinit. Adică,
abf(x)dx=limni=1nΔxf(xi)
unde Δx=ban și xi=a+Δxi.

Dacă se cere să scriem o sumă Riemann pentru o integrală definită...

Să presupunem că s-a cerut să scriem următoarea integrală definită ca limita unei sume Riemann.
π2πcos(x)dx
Mai întâi, să găsim Δx:
Δx=ban=2ππn=πn
Acum, că avem Δx, putem găsi xi:
xi=a+Δxi=π+πni=π+πin
Deci,
π2πcos(x)dx=limni=1nπncos(π+πin)

Antrenează-te cu scrierea sumelor Riemann pentru integrale definite

Problema 1
03exdx=?
Alege un răspuns:

Problema 2
1elnxdx=?
Alege un răspuns:

Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentruΔx

Spre exemplu, în Problema 2, ne putem imagina cum un elev ar putea defini Δx ca fiind en sau 1n în loc de e1n. Alt exemplu este folosirea lui dx pentru Δx. Reamintim că dx este folosit numai în notația integralei, nu în sumă. Asta ne spune doar că integrarea se face în raport de x.

Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentru xi

Cineva ar putea să uite să adune a la Δxi, rezultând o expresie greșită. Spre exemplu, în Problema 2, ar putea defini xi ca fiind e1ni în loc de 1+e1ni.

Dacă se cere să scriem o integrală definită pentru limita unei sume Riemann...

Să presupunem că se cere să găsim o integrală definită care este echivalentă acestei limite:
limni=1nln(2+5in)5n
Asta înseamnă că trebuie să găsim intervalul de integrare [a,b] și funcția de integrat f(x). Apoi, integrala definită corespunzătoare va fi abf(x)dx.
Noi știm că fiecare sumă Riemann are două părți: o lățime Δx și o înățime f(xi) pentru fiecare dreptunghi din sumă. Privind la această limită particulară, putem face alegerea potrivită pentru ambele părți.
limni=1nln(2+5in)5n
Dreptunghiuri de lățime uniformă: Expresia 5n este o alegere potrivită pentru lățimea dreptunghiurilor Δx, deoarece ea nu depinde de indexul i. Aceasta înseamnă că Δx va fi aceeași pentru fiecare termen din sumă, ceea ce așteptăm de la o sumă Riemann în care dreptunghiurile au aceeași lățime.
Dreptunghiuri de înălțime variabilă: Expresia ln(2+5in) depinde de i, care ar fi bine să reprezinte înălțimea, f(xi). Cea mai naturală alegere pentru xi este 2+5in. Deci, vom continua cu aceasta, ceea ce înseamnă că funcția de integrat este f(x)=ln(x).
Pentru a identifica limitele de integrare a și b, să ne întoarcem la definiția generală a lui Δx și xi în relația care definește integrala.
Cum definisem mai sus, xi=a+Δxi . În acest caz, xi=2+5in poate fi scris 2+5ni, așa că a trebuie să fie egal cu 2.
Așa cum am definit anterior, Δx=ban . În cazul nostru, Δx=5n. Ambii numitori sunt n, așa că numărătorii trebuie să fie egali cu: ba=5. Știind că a=2, putem concluziona că b=7.
Punând totul laolaltă, iată integrala definită care este egală cu limita sumei Riemann:
27ln(x)dx

Antrenament cu scrierea integralelor definite pentru sume Riemann

Problema 3.A
Problema 3 te va duce prin pașii găsirii integralei definite reprezentată prin această expresie:
limni=1n(3+4in)24n
Care este Δx în această expresie?
Alege un răspuns:

Dificultăți frecvente: Dificultatea găsirii lui Δx în expresia sumei Riemann

Când expresia de însumare este elaborată și include mai multe fracții, poate fi greu de identificat care parte este Δx.
Reamintim că Δx trebuie să fie un factor al expresiei de însumare sub forma kn, unde k nu trebuie să conțină indexul de însumare i.

Altă dificultate frecventă: Dificultatea găsirii limitelor de integrare

Observăm din Problema 3 faptul că Δx=4n ne spune că ba=4. Acest lucru este folositor, dar fără găsirea lui a, noi nu vom ști care sunt a și b. Putem găsi a folosind faptul că xi=3+4in.
O greșeală comună este să presupunem imediat că dacă, spre exemplu, Δx=4n, atunci limitele de integrare ar fi [0,4].

O ultimă dificultate frecventă: Dificultatea analizei generale a expresiei

Unii nu știu de unde să înceapă.
Începe cu expresa sumei. Ar trebui să identifici doi factori: unul de forma kn (unde k nu conține indicele de sumare i) și altul este o funcție de i. Primul ne va da Δx și altul ne va da f(xi).
Problema 4
limni=1n4+5in5n=?
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.