Conţinutul principal
Recapitulare pentru BAC
Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8
Lecția 2: Definirea integralelor- Definește integrale ca limite de sume Riemann
- Definește integrale ca limite de sume Riemann
- Determinarea derivatei cu teorema fundamentală a analizei
- Determinarea derivatei cu teorema fundamentală a analizei: derivarea funcțiilor compuse
- Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale
- Interpretarea comportamentului funcțiilor definite prin integrale
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie
Definește integrale ca limite de sume Riemann
Sumele Riemann ne ajută să aproximăm integralele definite, dar și să definim formal integralele definite. Învățăm cum facem asta și cum putem să comutăm de la reprezentarea ariei ca integrală definită la o sumă Riemann.
Integralele definite reprezintă aria de sub graficul unei funcții, iar sumele Riemann ne ajută la aproximarea unei astfel de arii. Întrebarea este: există un mod de a găsi valoarea exactă a integralei definite?
Sume Riemann cu un număr "infinit" de dreptunghiuri
Să presupunem că vrem să găsim aria de sub graficul lui f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared între x, equals, 2 și x, equals, 6.
Folosind notația integralei definite, putem reprezenta aria exactă:
Putem aproxima această arie folosind sume Riemann. Fie R, left parenthesis, n, right parenthesis suma Riemann dreapta care aproximează aria folosind n subdiviziuni egale (adică n dreptunghiuri de lățimi egale).
Spre exemplu, aceasta este R, left parenthesis, 4, right parenthesis. Se poate vedea că ea este o supraestimare a ariei actuale.
Putem aproxima mai bine dacă împărțim aria în mai multe dreptunghiuri care au lățimile mai mici, adică folosim R, left parenthesis, n, right parenthesis pentru valori mai mari ale lui n.
Putem observa cum aproximația se apropie de aria actuală când numărul dreptunghiurilor merge de la 1 la 100:
Desigur, folosind și mai multe dreptunghiuri ne apropiem și mai mult, dar o aproximație rămâne totdeauna aproximație.
Ce ar fi să luăm o sumă Riemann cu un număr infinit de subdiviziuni egale? Este asta posibil? Ei bine, nu putem pune n, equals, infinity deoarece infinit nu este un număr real, dar ne reamintim că avem o posibilitate să ducem ceva către infinit.
Limite!
Concret, această limită:
Fapt uimitor #1: Această limită chiar dă valoarea exactă a integralei integral, start subscript, 2, end subscript, start superscript, 6, end superscript, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, x, squared, d, x.
Fapt uimitor #2: Nu contează dacă luăm limita unei sume Riemann dreapta, a unei sume Riemann stânga sau a oricărei aproximații obișnuite. La infinit, vom obține todeauna valoarea exactă a integralei definite.
(Demonstrația riguroasă a acestor fapte este prea elaborată pentru acest articol. Aceasta nu constituie o problemă, deoarece noi suntem interesați de înțelegerea legăturii dintre sumele Riemann și integralele definite.)
Până acum, am folosit R, left parenthesis, n, right parenthesis ca notație pentru aproximarea cu sumă Riemann dreapta cu n subdiviziuni. Acum hai să găsim expresia reală.
Scurtă revizuire: Considerăm start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54,start color #1fab54, start text, space, l, a, with, \u, on top, ț, i, m, e, a, end text, end color #1fab54 constantă a oricărui dreptunghi și start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, valoarea lui x în partea din dreapta a celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi. Atunci start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 va da start color #e07d10, start text, ı, with, \^, on top, n, a, with, \u, on top, l, ț, i, m, e, a, end text, end color #e07d10 fiecărui dreptunghi.
Deci, aria celui de al i, start text, negative, l, e, a, end text dreptunghi este start color #1fab54, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, dot, start color #e07d10, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, i, end color #11accd, right parenthesis, squared, end color #e07d10 și adunăm pentru valorile lui i de la 1 la n:
Acum putem considera aria reală ca o limită:
Prin definiție, integrala definită este limita sumei Riemann
Exemplul anterior este un caz particular al definiției generale pentru integralele definite:
Integrala definită a unei funcții continue f pe intervalul open bracket, a, comma, b, close bracket, notată prin integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, este limita unei sume Riemann cu numărul de subdiviziuni tinzând către infinit. Adică,
unde start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction și start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, equals, a, plus, delta, x, dot, i, end color #11accd.
Dacă se cere să scriem o sumă Riemann pentru o integrală definită...
Să presupunem că s-a cerut să scriem următoarea integrală definită ca limita unei sume Riemann.
Mai întâi, să găsim start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54:
Acum, că avem start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, putem găsi start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd:
Deci,
Antrenează-te cu scrierea sumelor Riemann pentru integrale definite
Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentrudelta, x
Spre exemplu, în Problema 2, ne putem imagina cum un elev ar putea defini delta, x ca fiind start fraction, e, divided by, n, end fraction sau start fraction, 1, divided by, n, end fraction în loc de start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction. Alt exemplu este folosirea lui d, x pentru delta, x. Reamintim că d, x este folosit numai în notația integralei, nu în sumă. Asta ne spune doar că integrarea se face în raport de x.
Greșeli frecvente: Alegerea greșită a expresiei pentru x, start subscript, i, end subscript
Cineva ar putea să uite să adune a la delta, x, dot, i, rezultând o expresie greșită. Spre exemplu, în Problema 2, ar putea defini x, start subscript, i, end subscript ca fiind start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i în loc de 1, plus, start fraction, e, minus, 1, divided by, n, end fraction, dot, i.
Dacă se cere să scriem o integrală definită pentru limita unei sume Riemann...
Să presupunem că se cere să găsim o integrală definită care este echivalentă acestei limite:
Asta înseamnă că trebuie să găsim intervalul de integrare open bracket, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, comma, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, close bracket și funcția de integrat start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10. Apoi, integrala definită corespunzătoare va fi integral, start subscript, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, end subscript, start superscript, start color #aa87ff, b, end color #aa87ff, end superscript, start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, d, x.
Noi știm că fiecare sumă Riemann are două părți: o lățime start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 și o înățime start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 pentru fiecare dreptunghi din sumă. Privind la această limită particulară, putem face alegerea potrivită pentru ambele părți.
Dreptunghiuri de lățime uniformă: Expresia start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54 este o alegere potrivită pentru lățimea dreptunghiurilor start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, deoarece ea nu depinde de indexul i. Aceasta înseamnă că start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 va fi aceeași pentru fiecare termen din sumă, ceea ce așteptăm de la o sumă Riemann în care dreptunghiurile au aceeași lățime.
Dreptunghiuri de înălțime variabilă: Expresia start color #e07d10, natural log, left parenthesis, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10 depinde de i, care ar fi bine să reprezinte înălțimea, start color #e07d10, f, left parenthesis, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, right parenthesis, end color #e07d10. Cea mai naturală alegere pentru start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd este start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd. Deci, vom continua cu aceasta, ceea ce înseamnă că funcția de integrat este start color #e07d10, f, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10.
Pentru a identifica limitele de integrare a și b, să ne întoarcem la definiția generală a lui start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 și start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd în relația care definește integrala.
Cum definisem mai sus, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, dot, i, space. În acest caz, start color #11accd, x, start subscript, i, end subscript, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, plus, start fraction, 5, i, divided by, n, end fraction, end color #11accd poate fi scris start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, plus, start color #1fab54, start fraction, 5, divided by, n, end fraction, end color #1fab54, i, așa că start color #aa87ff, a, end color #aa87ff trebuie să fie egal cu start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Așa cum am definit anterior, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, b, minus, a, divided by, n, end fraction, space. În cazul nostru, start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54, equals, start fraction, 5, divided by, n, end fraction. Ambii numitori sunt n, așa că numărătorii trebuie să fie egali cu: b, minus, a, equals, 5. Știind că start color #aa87ff, a, equals, 2, end color #aa87ff, putem concluziona că start color #aa87ff, b, equals, 7, end color #aa87ff.
Punând totul laolaltă, iată integrala definită care este egală cu limita sumei Riemann:
Antrenament cu scrierea integralelor definite pentru sume Riemann
Dificultăți frecvente: Dificultatea găsirii lui delta, x în expresia sumei Riemann
Când expresia de însumare este elaborată și include mai multe fracții, poate fi greu de identificat care parte este delta, x.
Reamintim că delta, x trebuie să fie un factor al expresiei de însumare sub forma start fraction, k, divided by, n, end fraction, unde k nu trebuie să conțină indexul de însumare i.
Altă dificultate frecventă: Dificultatea găsirii limitelor de integrare
Observăm din Problema 3 faptul că delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction ne spune că b, minus, a, equals, 4. Acest lucru este folositor, dar fără găsirea lui a, noi nu vom ști care sunt a și b. Putem găsi a folosind faptul că x, start subscript, i, end subscript, equals, 3, plus, start fraction, 4, i, divided by, n, end fraction.
O greșeală comună este să presupunem imediat că dacă, spre exemplu, delta, x, equals, start fraction, 4, divided by, n, end fraction, atunci limitele de integrare ar fi open bracket, 0, comma, 4, close bracket.
O ultimă dificultate frecventă: Dificultatea analizei generale a expresiei
Unii nu știu de unde să înceapă.
Începe cu expresa sumei. Ar trebui să identifici doi factori: unul de forma start fraction, k, divided by, n, end fraction (unde k nu conține indicele de sumare i) și altul este o funcție de i. Primul ne va da start color #1fab54, delta, x, end color #1fab54 și altul ne va da start color #11accd, f, left parenthesis, start color #e07d10, x, start subscript, i, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd.
Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.