Conţinutul principal

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8

Lecția 6: Metode de calcul

Schimbarea de variabilă la integrale definite

Schimbarea de variabilă pentru integralele definite este foarte asemănătoare cu cea pentru integralele nedefinite, dar se adaugă un pas suplimentar: adaptarea limitelor de integrare. Să vedem ce înseamnă asta calculând

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x

Observăm că

2 x

este derivata lui

x^{2} + 1

, deci aplicăm schimbarea de variabilă. Dacă notăm

u = x^{2} + 1

, atunci

d u = 2 x d x

. Acum înlocuim:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{1}^{2} (u)^{3} d u

Stai puțin! Limitele de integrare erau pentru

x

, nu pentru

u

. Să identificăm grafic. Ne interesa aria suprafeței cuprinse între curba

y = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

de la

x = 1

până la

x = 2

Deoarece curba a devenit

y = u^{3}

, nu mai putem păstra aceleași limite.

Într-adevăr, limitele nu ar trebui să rămână la fel. Pentru a determina noile limite, trebuie să calculăm valorile lui

u

care corespund lui

x^{2} + 1

pentru

x = 1

și

x = 2

Limita inferioară: $(1)^{2} + 1 = 2$ ‍
Limita superioară: $(2)^{2} + 1 = 5$ ‍

Acum putem efectua corect schimbarea de variabilă:

\int_{1}^{2} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \int_{2}^{5} (u)^{3} d u

y = u^{3}

este reprezentat între

u = 2

și

u = 5

. Acum putem vedea că suprafețele colorate au cam aceeași dimensiune (de fapt, sunt exact egale, dar e greu de spus doar din priviri).

De aici încolo, putem rezolva orice în raport de

u

\begin{aligned} \int_{2}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{2}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4} \\ = 152, 25 \end{aligned}

Amintește-ți: Când folosim schimbarea de variabilă pe integrale definite, trebuie întotdeauna să adaptăm limitele de integrare.

Problema 1

Elei i s-a cerut să determine

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x

. Iată cum a lucrat ea:

Pasul 1: A notat

u = x^{2} + x

Pasul 2:

d u = (2 x + 1) d x

Pasul 3:

\int_{1}^{5} (2 x + 1) (x^{2} + x)^{3} d x = \int_{1}^{5} u^{3} d u

Pasul 4:

\begin{aligned} \int_{1}^{5} u^{3} d u & = {[\frac{u^{4}}{4}]}_{1}^{5} \\ = \frac{5^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4} \\ = 156 \end{aligned}

A lucrat corect? Dacă nu, care este greșeala ei?

Problema 2

\int_{1}^{2} 15 x^{2} (x^{3} - 7)^{4} d x = ?

Vrei mai mult antrenament? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.