Observăm că $2x$‍ este derivata lui $x^2$‍. Dacă notăm $u=x^2$‍, atunci $du=2xdx$‍ și putem înlocui pentru a obține o integrală mai simplă.

Acum putem determina primitiva:

Deci ${\displaystyle \int \cos \left(x^2\right)2xdx=\sin (x^2)+C}$‍

Putem deriva $\sin (x^2)+C$‍ pentru a ne verifica.

Observăm că $3x^2$‍ este derivata lui $x^3+3$‍. Dacă notăm $u=x^3+3$‍, atunci $du=3x^{2}dx$‍ și putem înlocui pentru a obține o integrală mai simplă.

Acum putem determina primitiva:

Deci ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{3x^2}{(x^3+3{)}^2}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{x^3+3}}+C}$‍

Putem deriva $-{\displaystyle \frac{1}{x^3+3}}+C$‍ pentru a ne verifica.

Dacă notăm $u=4x$‍, atunci $du=4dx$‍ și $dx={\displaystyle \frac{du}{4}}$‍.

Schimbând variabila, integrala devine:

Acum putem determina primitiva:

Deci ${\displaystyle \int e^{4x}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{4x}+C}$‍ .

Dacă notăm $u={\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+1$‍, atunci $du={\displaystyle \frac{1}{3}}xdx$‍ și $xdx=3du$‍.

Schimbând variabila, integrala devine:

Acum putem determina primitiva:

Deci ${\displaystyle \int x\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+1}dx=2{({\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^2+1)}^{\frac{3}{2}}+C}$‍ .