Conţinutul principal
Recapitulare pentru BAC
Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8
Lecția 1: Sume Riemann- Explorarea acumulării schimbării
- Sume Riemann stânga & dreapta
- Sume Riemann stânga & dreapta
- Supra și sub estimare a sumelor Riemann
- Înțelegerea regulii trapezului
- Sume medii & trapezoidale
- Recapitulare sume Riemann
- Notația cu sigma
- Notația cu sigma
- Notația sumelor Riemann
- Notația sumelor Riemann
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie
Explorarea acumulării schimbării
Integralele definite sunt interpretate ca o acumulare de cantități. Învață de ce este așa și cum le putem folosi pentru a analiza situații din viața reală.
Integrala definită poate fi folosită pentru a evidenția informații despre acumulare și schimbare netă în diverse situații din viața reală. Să vedem cum se face!
Despre acumulare în situații din viața reală
Să presupunem că un rezervor se umple cu apă la o rată constantă de (litri pe minut) timp de . Putem calcula volumul de apă (în ) înmulțind timpul cu rata:
Acum să analizăm grafic această situație. Rata poate fi reprezentată ca funcția constantă :
Fiecare unitate orizontală din grafic se măsoară în minute, iar fiecare unitate verticală se măsoară în litri pe minut, deci aria fiecărui pătrat unitate este măsurată în litri:
În continuare, aria dreptunghiului mărginit de graficul lui și axa orizontală, de la până la , ne dă volumul apei după minute:
Acum, să zicem că se umple un alt rezervor, dar de data aceasta rata nu mai este constantă:
Ce putem spune despre volumul de apă pentru acest rezervor după minute? Pentru asta, să ne gândim la o aproximare cu sumă Riemann a ariei de sub curbă, de la până la . Pentru a respecta convențiile, să folosim o aproximare pentru care fiecare dreptunghi are lățimea de minut.
Am văzut că fiecare dreptunghi reprezintă un volum în litri. Mai exact, fiecare dreptunghi din această sumă Riemann este o aproximare a volumului de apă care a intrat în bazin în fiecare minut. Când adunăm toate aceste arii, adică atunci când se acumulează toate volumele, obținem o aproximare pentru volumul total de apă după minute.
Pe măsură ce folosim mai multe dreptunghiuri de lățimi mai mici, vom obține o aproximare mai bună. Dacă mergem la infinit cu un număr infinit de dreptunghiuri, vom obține integrala definită . Aceasta înseamnă că volumul exact de apă după minute este egal cu aria mărginită de graficul lui și axa orizontală de la până la .
Astfel, calculul integral ne permite să calculăm volumul după minute:
Integrala definită a ratei schimbării unei cantități dă schimbarea netă a acelei cantități.
În exemplul pe care l-am văzut, avem o funcție care descria rata. În cazul nostru, era rata volumului în raport de timp. Integrala definită a acelei funcții ne-a dat acumularea de volum—acea cantitate a cărei rată s-a dat.
Un alt aspect important a fost intervalul de timp al integralei definite. În acest caz, intervalul de timp începea la și dura minute, adică până la . Deci integrala definită ne-a dat schimbarea netă a cantității de apă din rezervor în intervalul de timp până la .
Există două feluri uzuale în care putem privi integralele definite: descriu o acumulare a unei cantități, deci întreaga integrală definită ne dă schimbarea netă a acelei cantități.
De ce spunem "schimbare netă" a cantității și nu pur și simplu cantitate?
Folosind exemplul de mai sus, să observăm că nu ni s-a spus dacă în rezervor era sau nu vreo cantitate de apă înainte de . Dacă rezervorul ar fi fost gol, atunci reprezenta chiar cantitatea de apă din rezervor după minute. Dar dacă rezervorul ar mai fi avut dinainte apă, să zicem litri de apă, atunci volumul real de apă din rezervor după minute ar fi:
Aceasta înseamnă aproximativ .
Reține: Integrala definită întotdeauna ne dă schimbarea netă a unei cantități, nu valoarea actuală a acesteia. Pentru a determina valoarea actuală, trebuie să adăugăm o condiție inițială la integrala definită.
Greșeală frecventă: Folosirea unităților nepotrivite
Ca în toate problemele aplicative, unitățile joacă un rol important și aici. Amintește-ți că dacă este o funcție rată măsurată în , atunci integrala sa definită se măsoară în .
De exemplu, în setul de probleme 1, se măsura în , astfel că integrala definită a lui se măsura în .
Greșeală frecventă: Interpretarea greșită a intervalului de integrare
Pentru orice funcție rață , integrala definită descrie acumularea de valori între și .
Are loc o greșeală frecventă legată de limite (de obicei, cea inferioară), ceea ce conduce la o interpretare greșită.
De exemplu, în Problema 2, ar fi o greșeală să interpretăm ca distanța parcursă de Eden în ore. Limita inferioară este , deci este distanța parcursă de Eden între a oră și a oră. Mai mult, în situațiile în care intervalul este de exact o unitate, obișnuim să spunem "pe parcursul celei de-a ore."
Greșeală frecventă: Ignorarea condițiilor inițiale
Pentru o funcție rată și primitivă , integrala definită dă schimbarea netă a lui de la până la . Da©a adăugăm și o condiție inițială, obținem valoarea actuală a lui .
De exemplu, în Problema 3, reprezintă schimbarea sumei de bani a Juliei între luna și luna a . Dar pentru că am adunat , ceea ce reprezintă suma pe care o avea Julia în luna , expresia reprezintă acum suma actuală în luna a .
Legătura cu rate de schimbare aplicate
În calculul diferențial, am învățat că derivata a unei funcții ne dă rata de schimbare instantanee a lui pentru o anumită valoare. Acum mergem în sens invers! Pentru orice funcție rată , primitiva sa ne dă cantitatea acumulată a cărei rată este descrisă de .
Cantitate | Rată | |
---|---|---|
Derivare | ||
Integrare |
Vrei mai mult antrenament? Vezi acest exercițiu.
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.