If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8

Lecția 1: Sume Riemann
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Integrale
Sume Riemann
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Explorarea acumulării schimbării

Clasa Google
Integralele definite sunt interpretate ca o acumulare de cantități. Învață de ce este așa și cum le putem folosi pentru a analiza situații din viața reală.
Integrala definită poate fi folosită pentru a evidenția informații despre acumulare și schimbare netă în diverse situații din viața reală. Să vedem cum se face!

Despre acumulare în situații din viața reală

Să presupunem că un rezervor se umple cu apă la o rată constantă de start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litri pe minut) timp de start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Putem calcula volumul de apă (în start text, L, end text) înmulțind timpul cu rata:
Volumul=Timp×Rata=6 min⋅5 Lmin=30min⋅Lmin=30 L\begin{aligned} \text{Volumul}&=\maroonD{\text{Timp}}\times\blueD{\text{Rata}} \\ &=\maroonD{6\,\text{min}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{L}}{\text{min}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{min}}\cdot\text{L}}{\cancel{\text{min}}} \\ &=30\,\text{L} \end{aligned}
Acum să analizăm grafic această situație. Rata poate fi reprezentată ca funcția constantă r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Este reprezentată grafic funcția r sub 1. Timpul exprimat în minute este pe axa Ox, de la 0 la 10. Rata, în litri pe minut, este pe axa Oy. Graficul este o dreaptă. Pornește de la (0, 5) și se întinde orizontal spre dreapta până la (10, 5).
Fiecare unitate orizontală din grafic se măsoară în minute, iar fiecare unitate verticală se măsoară în litri pe minut, deci aria fiecărui pătrat unitate este măsurată în litri:
start underbrace, start text, m, i, n, end text, end underbrace, start subscript, start text, l, a, with, \u, on top, ț, i, m, e, a, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, L, end text, divided by, start text, m, i, n, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, ı, with, \^, on top, n, a, with, \u, on top, l, ț, i, m, e, a, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, L, end text, end underbrace, start subscript, start text, a, r, i, a, end text, end subscript
Un pătrat din grafic reprezintă o unitate. Lățimea reprezintă minute, iar înălțimea reprezintă litri pe minut Aria interioară reprezintă litri. Formula pentru calcularea ariei este lățimea ori înălțimea = aria sau minute ori litri pe minut = litri.
În continuare, aria dreptunghiului mărginit de graficul lui r, start subscript, 1, end subscript și axa orizontală, de la t, equals, 0 până la t, equals, 6, ne dă volumul apei după 6 minute:
Este reprezentată grafic funcția r sub 1. Este colorată o suprafață dreptunghiulară sub dreaptă. Aceasta se întinde de la 0 la 6 minute și de la 0 la 5 litri pe minut . Aria dreptunghiului se calculează ca fiind 6 minute ori 5 litri pe minut = 30 litri.
Acum, să zicem că se umple un alt rezervor, dar de data aceasta rata nu mai este constantă:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, comma, 3, t, right parenthesis
Este reprezentată grafic funcția r sub 2. Timpul în minute este pe axa Ox, de la 0 la 10. Rata, în litri pe minut, este pe axa Oy. Grafiul este o curbă, care începe de la (0, 0), urcă în formă concavă până la aproximativ (5,2; 6), apoi coboară tot în formă concavă și se termină la (10; 0,8).
Ce putem spune despre volumul de apă pentru acest rezervor după 6 minute? Pentru asta, să ne gândim la o aproximare cu sumă Riemann a ariei de sub curbă, de la t, equals, 0 până la t, equals, 6. Pentru a respecta convențiile, să folosim o aproximare pentru care fiecare dreptunghi are lățimea de 1 minut.
Este reprezentată grafic funcția anterioară, r sub 2. Șase bare dreptunghiulare, fiecare de câte o unitate sau 1 minut se înalță, între 0 și 6 minute, de la axa orizontală până la curbă. Colțul dreapta sus al fiecărei bare atinge curba. Pentru cinci dreptunghiuri de la 0 la 5, colțul stânga sus este deasupra curbei. Fiecare dreptunghi are în exterior mai puțin decât dreptunghiul anterior. Al șaselea dreptunghi este complet în interiorul curbei. De la stânga la dreapta, dreptunghiurile au următoarele înălțimi aproximative: 1.8, 3.4, 4.7, 5.6, 6, 5.9.
Am văzut că fiecare dreptunghi reprezintă un volum în litri. Mai exact, fiecare dreptunghi din această sumă Riemann este o aproximare a volumului de apă care a intrat în bazin în fiecare minut. Când adunăm toate aceste arii, adică atunci când se acumulează toate volumele, obținem o aproximare pentru volumul total de apă după 6 minute.
Pe măsură ce folosim mai multe dreptunghiuri de lățimi mai mici, vom obține o aproximare mai bună. Dacă mergem la infinit cu un număr infinit de dreptunghiuri, vom obține integrala definită integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Aceasta înseamnă că volumul exact de apă după 6 minute este egal cu aria mărginită de graficul lui r, start subscript, 2, end subscript și axa orizontală de la t, equals, 0 până la t, equals, 6.
Este reprezentat grafic funcția r sub 2. Aria dintre curbă și axa Ot, de la t = 1 până la t = 6, este colorată.
Astfel, calculul integral ne permite să calculăm volumul după 6 minute:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text

Integrala definită a ratei schimbării unei cantități dă schimbarea netă a acelei cantități.

În exemplul pe care l-am văzut, avem o funcție care descria rata. În cazul nostru, era rata volumului în raport de timp. Integrala definită a acelei funcții ne-a dat acumularea de volum—acea cantitate a cărei rată s-a dat.
Un alt aspect important a fost intervalul de timp al integralei definite. În acest caz, intervalul de timp începea la left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesisși dura 6 minute, adică până la left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Deci integrala definită ne-a dat schimbarea netă a cantității de apă din rezervor în intervalul de timp t, equals, 0 până la t, equals, 6.
Există două feluri uzuale în care putem privi integralele definite: descriu o acumulare a unei cantități, deci întreaga integrală definită ne dă schimbarea netă a acelei cantități.

De ce spunem "schimbare netă" a cantității și nu pur și simplu cantitate?

Folosind exemplul de mai sus, să observăm că nu ni s-a spus dacă în rezervor era sau nu vreo cantitate de apă înainte de t, equals, 0. Dacă rezervorul ar fi fost gol, atunci integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, L, end text reprezenta chiar cantitatea de apă din rezervor după 6 minute. Dar dacă rezervorul ar mai fi avut dinainte apă, să zicem 7 litri de apă, atunci volumul real de apă din rezervor după 6 minute ar fi:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, v, o, l, u, m, space, l, a, space, end text, t, equals, 0, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, s, c, h, i, m, b, a, r, e, space, d, e, space, v, o, l, u, m, space, ı, with, \^, on top, n, t, r, e, space, end text, t, equals, 0, start text, space, ș, i, space, end text, t, equals, 6, end superscript
Aceasta înseamnă aproximativ 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Reține: Integrala definită întotdeauna ne dă schimbarea netă a unei cantități, nu valoarea actuală a acesteia. Pentru a determina valoarea actuală, trebuie să adăugăm o condiție inițială la integrala definită.
Problema 1.A
  • Actual
Setul de probleme 1 ne va conduce prin întregul proces de analiză a situației care conține schimbarea:
Pe perioada de timp t, o populație de bacterii crește cu rata de r, left parenthesis, t, right parenthesis grame pe zi, unde t se măsoară în zile.
Este reprezentată grafic funcția r. Timpul în zile este pe axa Ox, de la 0 până la 10. Rata de creștere, în grame pe zi, este pe axa Oy. Graficul este o curbă. Curba începe din punctul (0; 1), urcă sub formă convexă până la (8, 5) și se termină în aproximativ (10; 7,3). Suprafața cuprinsă între curbă și axa Ox, de la t = 0 până la t = 8, este colorată.
Care sunt unitățile de măsură pentru cantitate reprezentate de integrala definită integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Alege un răspuns:

Greșeală frecventă: Folosirea unităților nepotrivite

Ca în toate problemele aplicative, unitățile joacă un rol important și aici. Amintește-ți că dacă r este o funcție rată măsurată în start fraction, start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, t, a, t, e, a, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, C, a, n, t, i, t, a, t, e, a, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, atunci integrala sa definită se măsoară în start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, t, a, t, e, a, space, A, end text, end color #11accd.
De exemplu, în setul de probleme 1, r se măsura în start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, e, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, z, i, end text, end color #ca337c, end fraction, astfel că integrala definită a lui r se măsura în start color #11accd, start text, g, r, a, m, e, end text, end color #11accd.
Problema 2
Eden s-a plimbat la o rată de r, left parenthesis, t, right parenthesis kilometri pe oră (unde t este timpul exprimat în ore).
Ce înseamnă integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6?
Alege un răspuns:

Greșeală frecventă: Interpretarea greșită a intervalului de integrare

Pentru orice funcție rață r, integrala definită integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t descrie acumularea de valori între t, equals, a și t, equals, b.
Are loc o greșeală frecventă legată de limite (de obicei, cea inferioară), ceea ce conduce la o interpretare greșită.
De exemplu, în Problema 2, ar fi o greșeală să interpretăm integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t ca distanța parcursă de Eden în 3 ore. Limita inferioară este 2, deci integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t este distanța parcursă de Eden între a 2, start text, negative, a, end text oră și a 3, start text, negative, a, end text oră. Mai mult, în situațiile în care intervalul este de exact o unitate, obișnuim să spunem "pe parcursul celei de-a 3, start text, negative, a, end text ore."
Problema 3
Venitul Juliei este de r, left parenthesis, t, right parenthesis mii de dolari pe lună (unde t este luna din an). Julia a făcut 3 mii dolari în prima lună din an.
Ce înseamnă 3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19?
Alege un răspuns:

Greșeală frecventă: Ignorarea condițiilor inițiale

Pentru o funcție rată f și primitivă F, integrala definită integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t dă schimbarea netă a lui F de la t, equals, a până la t, equals, b. Da©a adăugăm și o condiție inițială, obținem valoarea actuală a lui F.
De exemplu, în Problema 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t reprezintă schimbarea sumei de bani a Juliei între luna 1, start text, end text și luna a 5, start text, negative, a, end text. Dar pentru că am adunat 3, ceea ce reprezintă suma pe care o avea Julia în luna 1, start text, end text, expresia reprezintă acum suma actuală în luna a 5, start text, negative, a, end text.

Legătura cu rate de schimbare aplicate

În calculul diferențial, am învățat că derivata f, prime a unei funcții f ne dă rata de schimbare instantanee a lui f pentru o anumită valoare. Acum mergem în sens invers! Pentru orice funcție rată f, primitiva sa F ne dă cantitatea acumulată a cărei rată este descrisă de f.
CantitateRată
Derivaref, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
IntegrareF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
Problema 4
Funcția k, left parenthesis, t, right parenthesis dă cantitatea de ketchup (în kilograme) produsă de o fabrică de sosuri în timpul t (exprimat în ore) într-o anumită zi.
Ce reprezintă integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.