Conţinutul principal
Recapitulare pentru BAC
Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8
Lecția 1: Sume Riemann- Explorarea acumulării schimbării
- Sume Riemann stânga & dreapta
- Sume Riemann stânga & dreapta
- Supra și sub estimare a sumelor Riemann
- Înțelegerea regulii trapezului
- Sume medii & trapezoidale
- Recapitulare sume Riemann
- Notația cu sigma
- Notația cu sigma
- Notația sumelor Riemann
- Notația sumelor Riemann
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie
Explorarea acumulării schimbării
Integralele definite sunt interpretate ca o acumulare de cantități. Învață de ce este așa și cum le putem folosi pentru a analiza situații din viața reală.
Integrala definită poate fi folosită pentru a evidenția informații despre acumulare și schimbare netă în diverse situații din viața reală. Să vedem cum se face!
Despre acumulare în situații din viața reală
Să presupunem că un rezervor se umple cu apă la o rată constantă de start color #11accd, 5, start text, space, L, slash, m, i, n, end text, end color #11accd (litri pe minut) timp de start color #ca337c, 6, start text, space, m, i, n, end text, end color #ca337c. Putem calcula volumul de apă (în start text, L, end text) înmulțind timpul cu rata:
Acum să analizăm grafic această situație. Rata poate fi reprezentată ca funcția constantă r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5:
Fiecare unitate orizontală din grafic se măsoară în minute, iar fiecare unitate verticală se măsoară în litri pe minut, deci aria fiecărui pătrat unitate este măsurată în litri:
În continuare, aria dreptunghiului mărginit de graficul lui r, start subscript, 1, end subscript și axa orizontală, de la t, equals, 0 până la t, equals, 6, ne dă volumul apei după 6 minute:
Acum, să zicem că se umple un alt rezervor, dar de data aceasta rata nu mai este constantă:
Ce putem spune despre volumul de apă pentru acest rezervor după 6 minute? Pentru asta, să ne gândim la o aproximare cu sumă Riemann a ariei de sub curbă, de la t, equals, 0 până la t, equals, 6. Pentru a respecta convențiile, să folosim o aproximare pentru care fiecare dreptunghi are lățimea de 1 minut.
Am văzut că fiecare dreptunghi reprezintă un volum în litri. Mai exact, fiecare dreptunghi din această sumă Riemann este o aproximare a volumului de apă care a intrat în bazin în fiecare minut. Când adunăm toate aceste arii, adică atunci când se acumulează toate volumele, obținem o aproximare pentru volumul total de apă după 6 minute.
Pe măsură ce folosim mai multe dreptunghiuri de lățimi mai mici, vom obține o aproximare mai bună. Dacă mergem la infinit cu un număr infinit de dreptunghiuri, vom obține integrala definită integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. Aceasta înseamnă că volumul exact de apă după 6 minute este egal cu aria mărginită de graficul lui r, start subscript, 2, end subscript și axa orizontală de la t, equals, 0 până la t, equals, 6.
Astfel, calculul integral ne permite să calculăm volumul după 6 minute:
Integrala definită a ratei schimbării unei cantități dă schimbarea netă a acelei cantități.
În exemplul pe care l-am văzut, avem o funcție care descria rata. În cazul nostru, era rata volumului în raport de timp. Integrala definită a acelei funcții ne-a dat acumularea de volum—acea cantitate a cărei rată s-a dat.
Un alt aspect important a fost intervalul de timp al integralei definite. În acest caz, intervalul de timp începea la left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesisși dura 6 minute, adică până la left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. Deci integrala definită ne-a dat schimbarea netă a cantității de apă din rezervor în intervalul de timp t, equals, 0 până la t, equals, 6.
Există două feluri uzuale în care putem privi integralele definite: descriu o acumulare a unei cantități, deci întreaga integrală definită ne dă schimbarea netă a acelei cantități.
De ce spunem "schimbare netă" a cantității și nu pur și simplu cantitate?
Folosind exemplul de mai sus, să observăm că nu ni s-a spus dacă în rezervor era sau nu vreo cantitate de apă înainte de t, equals, 0. Dacă rezervorul ar fi fost gol, atunci integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, point, 5, start text, L, end text reprezenta chiar cantitatea de apă din rezervor după 6 minute. Dar dacă rezervorul ar mai fi avut dinainte apă, să zicem 7 litri de apă, atunci volumul real de apă din rezervor după 6 minute ar fi:
Aceasta înseamnă aproximativ 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, L, end text.
Reține: Integrala definită întotdeauna ne dă schimbarea netă a unei cantități, nu valoarea actuală a acesteia. Pentru a determina valoarea actuală, trebuie să adăugăm o condiție inițială la integrala definită.
Greșeală frecventă: Folosirea unităților nepotrivite
Ca în toate problemele aplicative, unitățile joacă un rol important și aici. Amintește-ți că dacă r este o funcție rată măsurată în start fraction, start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, t, a, t, e, a, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, C, a, n, t, i, t, a, t, e, a, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction, atunci integrala sa definită se măsoară în start color #11accd, start text, C, a, n, t, i, t, a, t, e, a, space, A, end text, end color #11accd.
De exemplu, în setul de probleme 1, r se măsura în start fraction, start color #11accd, start text, g, r, a, m, e, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, z, i, end text, end color #ca337c, end fraction, astfel că integrala definită a lui r se măsura în start color #11accd, start text, g, r, a, m, e, end text, end color #11accd.
Greșeală frecventă: Interpretarea greșită a intervalului de integrare
Pentru orice funcție rață r, integrala definită integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t descrie acumularea de valori între t, equals, a și t, equals, b.
Are loc o greșeală frecventă legată de limite (de obicei, cea inferioară), ceea ce conduce la o interpretare greșită.
De exemplu, în Problema 2, ar fi o greșeală să interpretăm integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t ca distanța parcursă de Eden în 3 ore. Limita inferioară este 2, deci integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t este distanța parcursă de Eden între a 2, start text, negative, a, end text oră și a 3, start text, negative, a, end text oră. Mai mult, în situațiile în care intervalul este de exact o unitate, obișnuim să spunem "pe parcursul celei de-a 3, start text, negative, a, end text ore."
Greșeală frecventă: Ignorarea condițiilor inițiale
Pentru o funcție rată f și primitivă F, integrala definită integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t dă schimbarea netă a lui F de la t, equals, a până la t, equals, b. Da©a adăugăm și o condiție inițială, obținem valoarea actuală a lui F.
De exemplu, în Problema 3, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t reprezintă schimbarea sumei de bani a Juliei între luna 1, start text, end text și luna a 5, start text, negative, a, end text. Dar pentru că am adunat 3, ceea ce reprezintă suma pe care o avea Julia în luna 1, start text, end text, expresia reprezintă acum suma actuală în luna a 5, start text, negative, a, end text.
Legătura cu rate de schimbare aplicate
În calculul diferențial, am învățat că derivata f, prime a unei funcții f ne dă rata de schimbare instantanee a lui f pentru o anumită valoare. Acum mergem în sens invers! Pentru orice funcție rată f, primitiva sa F ne dă cantitatea acumulată a cărei rată este descrisă de f.
Cantitate | Rată | |
---|---|---|
Derivare | f, left parenthesis, x, right parenthesis | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis |
Integrare | F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t | f, left parenthesis, x, right parenthesis |
Vrei mai mult antrenament? Vezi acest exercițiu.
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.