If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 8

Lecția 1: Sume Riemann
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Integrale
Sume Riemann
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Notația cu sigma

Clasa Google
Putem descrie sume cu mulți termeni folosind operatorul sigma, Σ. Învață cum să calculezi sume scrise în acest fel.
Notația cu sumă (sau notația cu sigma) ne permite să scriem o sumă lungă într-o singură expresie.

Explicarea semnificației notației cu sigma

Simbolul sigma este acesta: sum. El ne spune că însumăm ceva.
Să începem cu un exemplu elementar:
Se oprește la n=3(inclusiv)↘∑n=132n−1↖↗Expresia pentru fiecareIˆncepe la n=1termen al sumei\begin{aligned} \scriptsize\text{Se oprește la }n=3& \\ \scriptsize\text{(inclusiv)} \\ \searrow\qquad& \\\\ \LARGE\displaystyle\sum_{n=1}^3&\LARGE 2n-1 \\ &\qquad\quad\nwarrow \\ \nearrow\qquad&\qquad\scriptsize\text{Expresia pentru fiecare} \\ \scriptsize\text{Începe la }n=1&\qquad\scriptsize\text{termen al sumei} \end{aligned}
Notația cu sigma a expresiei 2, n, minus, 1 pentru toate valorile întregi ale lui n de la 1 la 3:
=∑n=132n−1=[2(1)−1]⏟n=1+[2(2)−1]⏟n=2+[2(3)−1]⏟n=3=1+3+5=9\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 2\goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{[2(\goldD 1)-1]}_{\goldD{n=1}}+\underbrace{[2(\goldD 2)-1]}_{\goldD{n=2}}+\underbrace{[2(\goldD 3)-1]}_{\goldD{n=3}} \\\\ &=1+3+5 \\\\ &=9 \end{aligned}
Observă cum am înlocuit pe start color #e07d10, n, equals, 1, end color #e07d10, start color #e07d10, n, equals, 2, end color #e07d10 și start color #e07d10, n, equals, 3, end color #e07d10 în 2, start color #e07d10, n, end color #e07d10, minus, 1 și am însumat termenii rezultați.
n este indexul sumei. Când evaluăm o expresie cu notația sigma, dăm diverse valori indexului pentru a forma valorile termenilor.
Problema 1
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, n, squared, equals, question mark
Alege un răspuns:

Putem începe și opri suma la orice valori ale lui n. De exemplu, pentru suma de mai jos n ia valori de la 4 până la 6:
=∑n=46n−1=(4−1)⏟n=4+(5−1)⏟n=5+(6−1)⏟n=6=3+4+5=12\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=4}^6 \goldD n-1 \\\\ &=\underbrace{(\goldD 4-1)}_{\goldD{n=4}}+\underbrace{(\goldD 5-1)}_{\goldD{n=5}}+\underbrace{(\goldD 6-1)}_{\goldD{n=6}} \\\\ &=3+4+5 \\\\ &=12 \end{aligned}
Putem folosi orice literă dorim pentru index. De exemplu, expresia următoare are ca index pe i:
=∑i=023i−5=[3(0) ⁣− ⁣5]⏟i=0+[3(1) ⁣− ⁣5]⏟i=1+[3(2) ⁣− ⁣5]⏟i=2=−5+(−2)+1=−6\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD i=0}^2 3\goldD i-5 \\\\ &=\underbrace{[3(\goldD 0)\!-\!5]}_{\goldD{i=0}}+\underbrace{[3(\goldD 1)\!-\!5]}_{\goldD{i=1}}+\underbrace{[3(\goldD 2)\!-\!5]}_{\goldD{i=2}} \\\\ &=-5+(-2)+1 \\\\ &=-6 \end{aligned}
Problema 2
sum, start subscript, k, equals, 3, end subscript, start superscript, 5, end superscript, k, left parenthesis, k, plus, 1, right parenthesis, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Se consideră suma 4, plus, 25, plus, 64, plus, 121.
Care expresie este egală cu suma de mai sus?
Selectează toate variantele corecte:

Unele expresii sumă au și alte variabile în afară de index. Să considerăm suma:
sum, start subscript, n, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, start fraction, k, divided by, n, plus, 1, end fraction.
Observă că indexul este n, nu k. Aceasta înseamnă că înlocuim valorile lui n, iar k rămâne neschimbat:
=∑n=13kn+1=k(1)+1+k(2)+1+k(3)+1=k2+k3+k4\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\sum_{\goldD n=1}^3 \dfrac{k}{\goldD n+1} \\\\ &= \dfrac{k}{(\goldD 1)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 2)+1} + \dfrac{k}{(\goldD 3)+1} \\\\ &= \dfrac{k}{2} + \dfrac{k}{3} + \dfrac{k}{4} \end{aligned}
De reținut: Înainte de evaluarea unei sume scrise cu notația sigma, întotdeauna să te asiguri că identifici indexul și că înlocuiești numai valorile lui. Celelalte necunoscute ar trebui să rămână nemodificate.
Problema 4
sum, start subscript, m, equals, 1, end subscript, start superscript, 4, end superscript, 8, k, minus, 6, m, equals, question mark
Alege un răspuns:

Vrei mai mult antrenament? Încearcă acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.