Conţinutul principal
Recapitulare pentru BAC
Operații cu liniile unei matrice
Învață cum să faci operații elementare cu liniile matricei. Aceste operații îți vor permite să rezolvi sisteme liniare complicate cu (relativ) mici bătăi de cap!
Operații cu liniile matricei
Următorul tabel rezumă cele trei operaţii elementare cu liniile unei matrice.
Operații cu liniile matricei | Exemplu |
---|---|
Schimbarea a oricăror două linii | |
Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă | |
Adunarea unei linii la o alta |
Operațiile cu liniile unei matrice pot fi folosite pentru a rezolva sisteme de ecuații, dar înainte să înțelegem de ce, hai să exersăm aceste abilități.
Interschimbarea oricăror două linii
Exemplu
Efectuează operația R, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, 2, end subscript cu liniile următoarei matrice.
Soluție
R, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript înseamnă interschimbarea liniei start color #11accd, 1, end color #11accd și liniei start color #1fab54, 2, end color #1fab54.
Deci matricea devine .
Uneori vei vedea următoarea notație folosită pentru a indica această schimbare:
Observă cum linia 1 înlocuiește linia 2 și linia 2 înlocuiește linia 1. Cea de-a treia linie nu se schimbă.
Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă
Exemplu
Efectuează operația 3, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript cu liniile următoarei matrice.
Soluție
start color #ca337c, 3, end color #ca337c, R, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, R, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript înseamnă să înlocuim linia a start color #e07d10, 2, start text, negative, a, end text, end color #e07d10 cu de start color #ca337c, 3, end color #ca337c ori ea însăși.
devine
Pentru a indica această operație cu linia matricei, vedem adeseori următoarele:
Observăm aici că de trei ori a doua linie înlocuiește a doua linie. Celelalte linii rămân la fel.
Adună o linie la altă linie
Exemplu
Efectuează operația R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript cu liniile următoarei matrice.
Soluție
R, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, R, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript înseamnă înlocuirea liniei a 2, start text, negative, a, end text cu suma liniilor start color #01a995, 1, start text, end text, end color #01a995 și start color #aa87ff, 2, start text, end text, end color #aa87ff .
devine
Pentru a indica această operație cu linia matricei, vedem adeseori următoarele:
Observă cum suma liniilor 1 şi 2 înlocuieşte linia 2. Cealaltă linie rămâne la fel.
Sisteme de ecuații și operații cu liniile unei matrice
Reamintește-ți că într-o matrice extinsă, fiecare linie reprezintă o ecuație a sistemului și fiecare coloană reprezintă o variabilă sau termeni liberi.
De exemplu, sistemul din stânga corespunde cu matricea extinstă din dreapta.
Sistem | Matrice |
---|---|
Când lucrezi cu matrice extinse, poți efectua oricare dintre operațiile cu liniile unei matrice pentru a crea o nouă matriceextinsă care produce un sistem de ecuații echivalent. Să vedem de ce!
Interschimbarea a două linii
Sisteme echivalente | Matrice extinse |
---|---|
\downarrow | |
Cele două sisteme din tabelul de mai sus sunt echivalente, pentru că ordinea ecuaţiilor nu contează. Asta înseamnă că atunci când folosim o matrice extinsă pentru a rezolva un sistem, putem interschimba oricare două linii.
Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă
Putem înmulți ambele părți ale unei ecuaţii cu aceeaşi constantă nenulă pentru a obţine o ecuaţie echivalentă.
În rezolvarea sistemelor de ecuaţii, facem adesea acest lucru pentru a elimina o variabilă. Pentru că cele două ecuaţii sunt echivalente, vedem că şi cele două sisteme sunt echivalente.
Sisteme echivalente | Matrice extinse |
---|---|
\downarrow | |
Asta înseamnă că atunci când folosim o matricea extinsă pentru a rezolva un sistem, putem înmulți orice linie cu o constantă nenulă.
Adunarea unei linii la altă linie
Ştim că putem aduna două cantităţi egale în ambele părți ale unei ecuaţii pentru a obţine o ecuaţie echivalentă.
Așa că, dacă A, equals, B și C, equals, D, atunci A, plus, C, equals, B, plus, D.
Facem adesea acest lucru când rezolvăm sisteme de ecuaţii. De exemplu, în acest sistem ,
putem aduna ecuațiile pentru a obține minus, y, equals, minus, 4.
Asocierea acestei ecuaţii noi cu ecuaţia originală creează un sistem echivalent de ecuaţii.
Sisteme echivalente | Matrice extinse |
---|---|
\downarrow | |
Deci atunci când folosim o matrice extinsă pentru a rezolva un sistem, putem aduna o linie la alta.
Observă că matricea inițială corespunde lui , în timp ce matricea finală corespunde lui care pur și simplu ne dă soluția.
Sistemul a fost rezolvat în întregime folosind matricie extinse şi operaţii cu linii!
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.