Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 7

Lecția 1: Noțiuni introductive

Operații cu liniile unei matrice

Învață cum să faci operații elementare cu liniile matricei. Aceste operații îți vor permite să rezolvi sisteme liniare complicate cu (relativ) mici bătăi de cap!

Operații cu liniile matricei

Următorul tabel rezumă cele trei operaţii elementare cu liniile unei matrice.

Operații cu liniile matricei	Exemplu
Schimbarea a oricăror două linii	$\left(\begin{array}{rr}{\blueD2} & {\blueD5} &{ \blueD{3}} \\ \greenD{3} &\greenD {4} &\greenD {6} \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{rr} \greenD{3} & \greenD{4} &\greenD {6}\\\blueD{2} &\blueD {5} &\blueD{ 3} \end{array}\right)\\\\~~\\ \\ {\text{(Interschimbarea liniei 1 cu linia 2.)}}$
Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă	$\left(\begin{array}{rr}{\maroonD2} & {\maroonD5} &{ \maroonD3} \\ {3} & {4} & {6} \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{rrr}{\goldD3 \cdot \maroonD2} & {\goldD3 \cdot \maroonD5} &{ \goldD3 \cdot \maroonD3} \\ { 3} & { 4} & { 6} \end{array}\right) \\~\\ {\text{(Linia 1 devine de trei ori mai mare.)}}$
Adunarea unei linii la o alta	$\left(\begin{array}{rr}{\tealD2} &\tealD5 &{ \tealD{3}} \\ \purpleC{3} &\purpleC {4} &\purpleC {6} \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{rrr} {\tealD2} &\tealD5&{\tealD3}\\\purpleC{3}+\tealD2 & \purpleC{4}+\tealD5 &\purpleC{6} +\tealD3\end{array}\right)\\~~\\ {\text{(Linia 2 devine suma liniilor 2 și 1.)}}$

Operațiile cu liniile unei matrice pot fi folosite pentru a rezolva sisteme de ecuații, dar înainte să înțelegem de ce, hai să exersăm aceste abilități.

Interschimbarea oricăror două linii

Exemplu

Efectuează operația R, start subscript, 1, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, 2, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right)

Soluție

R, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end subscript înseamnă interschimbarea liniei start color #11accd, 1, end color #11accd și liniei start color #1fab54, 2, end color #1fab54.

Deci matricea

\left(\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right)

devine

\left(\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right)

Uneori vei vedea următoarea notație folosită pentru a indica această schimbare:

\left(\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right) \xrightarrow{{R_1\leftrightarrow R_2}}\left(\begin{array} {rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 &8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right)

Observă cum linia 1 înlocuiește linia 2 și linia 2 înlocuiește linia 1. Cea de-a treia linie nu se schimbă.

Problema 1

Actual

Efectuează operația R, start subscript, 2, end subscript, \leftrightarrow, R, start subscript, 3, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {rrr} 7 & 2 & 9 \\ 6 & 4 & 1 \\ 1 & 3 & 12 \end{array} \right)

Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă

Exemplu

Efectuează operația 3, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right)

Soluție

start color #ca337c, 3, end color #ca337c, R, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript, right arrow, R, start subscript, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, end subscript înseamnă să înlocuim linia a start color #e07d10, 2, start text, negative, a, end text, end color #e07d10 cu de start color #ca337c, 3, end color #ca337c ori ea însăși.

\left(\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right)

devine

\left(\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\cdot \goldD{2} &\maroonD{3}\cdot \goldD{3} &\maroonD{3}\cdot \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right)

Pentru a indica această operație cu linia matricei, vedem adeseori următoarele:

\left(\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right) \xrightarrow{3R_2\rightarrow R_2}\left(\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right)

Observăm aici că de trei ori a doua linie înlocuiește a doua linie. Celelalte linii rămân la fel.

Problema 3

Actual

Efectuează operația 2, R, start subscript, 1, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {ccc} 2 & 6 & 5 & 1 \\ 7 & 4 & 8 & 0 \end{array} \right)

Adună o linie la altă linie

Exemplu

Efectuează operația R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 2, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right)

Soluție

R, start subscript, start color #01a995, 1, end color #01a995, end subscript, plus, R, start subscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end subscript, right arrow, R, start subscript, 2, end subscript înseamnă înlocuirea liniei a 2, start text, negative, a, end text cu suma liniilor start color #01a995, 1, start text, end text, end color #01a995 și start color #aa87ff, 2, start text, end text, end color #aa87ff .

\left(\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right)

devine

\left(\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right)

Pentru a indica această operație cu linia matricei, vedem adeseori următoarele:

\left(\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right) \xrightarrow{R_1+R_2\rightarrow R_2} \left(\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right)

Observă cum suma liniilor 1 şi 2 înlocuieşte linia 2. Cealaltă linie rămâne la fel.

Problema 5

Actual

Efectuează operația R, start subscript, 1, end subscript, plus, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 3, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {rrr} -1 & 6 & -2 \\ -3 & 5 & 0 \\ 7 & 2 & 1 \end{array} \right)

Problemă provocare

Efectuează operația R, start subscript, 1, end subscript, plus, 2, R, start subscript, 3, end subscript, right arrow, R, start subscript, 1, end subscript cu liniile următoarei matrice.

\left(\begin{array} {rrr} -5 & 7 & 3 \\ -2 & -1 & 4 \\ 8 & 8 & -6 \end{array} \right)

Sisteme de ecuații și operații cu liniile unei matrice

Reamintește-ți că într-o matrice extinsă, fiecare linie reprezintă o ecuație a sistemului și fiecare coloană reprezintă o variabilă sau termeni liberi.

De exemplu, sistemul din stânga corespunde cu matricea extinstă din dreapta.

Sistem	Matrice
$\begin{aligned} 1x+3y &=5\\2x+5y &=6\end{aligned}$	$\left(\begin{array}{cc:c}1&3&5\\\\2&5&6\end{array}\right)$

Când lucrezi cu matrice extinse, poți efectua oricare dintre operațiile cu liniile unei matrice pentru a crea o nouă matriceextinsă care produce un sistem de ecuații echivalent. Să vedem de ce!

Interschimbarea a două linii

Sisteme echivalente	Matrice extinse
$\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned}$	$\left(\begin{array}{cc:c}\blueD1&\blueD3&\blueD5\\\\\greenD2&\greenD5&\greenD6\end{array}\right)$
	\downarrow
$\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}$	$\left(\begin{array}{cc:c}\greenD2&\greenD5&\greenD6\\\\\blueD1&\blueD3&\blueD5\end{array}\right)$

Cele două sisteme din tabelul de mai sus sunt echivalente, pentru că ordinea ecuaţiilor nu contează. Asta înseamnă că atunci când folosim o matrice extinsă pentru a rezolva un sistem, putem interschimba oricare două linii.

Înmulțirea unei linii cu o constantă nenulă

Putem înmulți ambele părți ale unei ecuaţii cu aceeaşi constantă nenulă pentru a obţine o ecuaţie echivalentă.

În rezolvarea sistemelor de ecuaţii, facem adesea acest lucru pentru a elimina o variabilă. Pentru că cele două ecuaţii sunt echivalente, vedem că şi cele două sisteme sunt echivalente.

Sisteme echivalente	Matrice extinse
$\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\2x+5y &=6\end{aligned}$	$\left(\begin{array}{cc:c}\maroonD1 & \maroonD3 &\maroonD5 \\2&5&6\end{array}\right)$
	\downarrow
$\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\2x+\phantom{(-)}5y &=6\end{aligned}$	$\left(\begin{array}{rr:r}\goldD{-2}&\goldD{-6}& \goldD{-10}\\2&5&6\end{array}\right)$

Asta înseamnă că atunci când folosim o matricea extinsă pentru a rezolva un sistem, putem înmulți orice linie cu o constantă nenulă.

Adunarea unei linii la altă linie

Ştim că putem aduna două cantităţi egale în ambele părți ale unei ecuaţii pentru a obţine o ecuaţie echivalentă.

Așa că, dacă A, equals, B și C, equals, D, atunci A, plus, C, equals, B, plus, D.

Facem adesea acest lucru când rezolvăm sisteme de ecuaţii. De exemplu, în acest sistem

\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}

, putem aduna ecuațiile pentru a obține minus, y, equals, minus, 4.

Asocierea acestei ecuaţii noi cu ecuaţia originală creează un sistem echivalent de ecuaţii.

[De ce păstrăm una dintre ecuaţiile originale?]

Sisteme echivalente	Matrice extinse
$\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\2x+5y &=6\end{aligned}$	$\left(\begin{array}{rr:r}-2&-6&-10\\2&5&6\end{array}\right)$
	\downarrow
$\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}$	$\left(\begin{array}{rr:r}-2&-6&-10\\\purpleC0&\purpleC{-1}&\purpleC{-4}\end{array}\right)$

Deci atunci când folosim o matrice extinsă pentru a rezolva un sistem, putem aduna o linie la alta.

Problemă provocare de final

O secvență de operații cu linii se efectuează pe matricea

\left(\begin{array}{rrr}{2} & {2} &{ 10} \\ {-2} & {-3} & {3} \end{array}\right)

. Tabelul de mai jos descrie rezultatul fiecărei etape din secvență.

Aranjează operațiile cu linii corespunzătoare fiecărui pas.

Matricea inițială:

\left(\begin{array}{rr:r}2&2&10\\-2 & -3 & 3\end{array}\right)

Observă că matricea inițială corespunde lui

\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned}

, în timp ce matricea finală corespunde lui

\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned}

care pur și simplu ne dă soluția.

Sistemul a fost rezolvat în întregime folosind matricie extinse şi operaţii cu linii!

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.