Conţinutul principal

Introducere în matricele unitate

Învață ce este matricea unitate și care este rolul ei în înmulțirea matricelor.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor pe linii şi coloane.

Dimensiunile unei matrice indică numărul de linii și de coloane ale matricei în această ordine. Deoarece matricea

A

are

2

linii și

3

coloane, spunem că este matrice de tip

2 \times 3

Dacă aceste noțiuni sunt noi pentru tine, îți recomandăm să te uiți peste Introducere în matrice.

La înmulțirea matricelor, fiecare valoare din matricea produs este produsul scalar dintre o linie din prima matrice şi o coloană din matricea a doua.

Dacă aceste noțiuni sunt noi pentru tine, îți recomandăm să te uiți peste Articol despre înmulțirea matricelor.

Definiția matricei unitate

Matricea unitate

n \times n

, notată

I_{n}

, este o matrice cu

n

linii și

n

coloane. Valorile de pe diagonală din stânga sus spre dreapta jos sunt toate

1

, iar toate celelalte valori sunt

0

De exemplu:

I_{2} = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) I_{3} = (\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) I_{4} = (\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

Matricea unitate joacă în operațiile cu matrice un rol similar cu numărul

1

în operațiile cu numere reale. Să aruncăm o privire.

Investigație: Înmulțirea cu matricea unitate

Încearcă câteva probleme de înmulțire care implică matricea unitate corespunzătoare.

I_{2} = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

și

A = (\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array})

I_{2} \cdot A =

I_{3} = (\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

și

A = (\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array})

A \cdot I_{3} =

Hai să etichetăm liniile matricei

A

și coloanele matricei

I_{3}

astfel încât să fie mai ușor să exprimăm

A \cdot I_{3}

Putem calcula

A \cdot I_{3}

după cum urmează:

$\begin{aligned} A \cdot I_{3} & = (\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{i_{3}} \\ \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{1}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{2}} & \vec{a_{3}} \cdot \vec{i_{3}} \end{array}) \\ = (\begin{array}{rr} 1 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \end{array}) \\ = (\begin{array}{rr} 1 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \end{array}) \end{aligned}$ ‍

Concluzie

Produsul oricărei matrice pătratice cu orice matrice unitate corespunzătoare este întotdeauna matricea inițială, indiferent de ordinea în care a fost efectuată înmulțirea! Cu alte cuvinte,

A \cdot I = I \cdot A = A

Conexiuni cu numerele reale

Elemente neutre față de înmulțire

Matricea unitate

I

joacă un rol similar cu cel al numărului

1

în mulțimea de numere reale.

Numărul $1$ ‍	Matricea unitate $I$ ‍
Produsul dintre $1$ ‍ și orice alt număr $a$ ‍ este $a$ ‍. $(a \cdot 1 = 1 \cdot a = a)$ ‍	Produsul dintre o matrice pătratică $A$ ‍ și matricea unitate corespunzătoare $I$ ‍ este $A$ ‍. $(A \cdot I = I \cdot A = A)$ ‍

Inverse în raport cu înmulțirea

Două numere reale al căror produs este elementul neutru se numesc inverse în raport cu înmulțirea. De exemplu, numerele

\frac{1}{3}

și

3

sunt inverse unul altuia în raport cu înmulțirea, deoarece

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

și

3 \cdot \frac{1}{3} = 1

De fapt, toate numerele reale non-zero au inverse în raport cu înmulțirea. Dar se păstrează această conexiune și în operaţiile cu matrice?

Considerăm matricele

A

și

B

$A = (\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{array})$ ‍ ‍ $B = (\begin{array}{rr} - 4 & 3 \\ 3 & - 2 \end{array})$ ‍

Putem înmulți pentru a vedea dacă

A B = I_{2}

și

B A = I_{2}

Hai să etichetăm liniile matricei

A

și coloanele matricei

B

astfel încât să fie mai ușor să exprimăm

A B

Putem calcula

A B

după cum urmează:

$\begin{aligned} A B & = (\begin{array}{rr} \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{1}} \cdot \vec{b_{2}} \\ \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{1}} & \vec{a_{2}} \cdot \vec{b_{2}} \end{array}) \\ = (\begin{array}{rr} 2 \cdot (- 4) + 3 \cdot 3 & 2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) \\ 3 \cdot (- 4) + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 3 + 4 \cdot (- 2) \end{array}) \\ = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{aligned}$ ‍

Pentru a găsi

B A

, ne asigurăm că schimbăm ordinea matricelor. De aceea, trebuie să re-etichetăm liniile şi coloanele matricelor.

Putem calcula

B A

după cum urmează:

$\begin{aligned} B A & = (\begin{array}{rr} \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{1}} \cdot \vec{a_{2}} \\ \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{1}} & \vec{b_{2}} \cdot \vec{a_{2}} \end{array}) \\ = (\begin{array}{rr} (- 4) \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 + (- 2) \cdot 3 & 3 \cdot 3 + (- 2) \cdot 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) \end{aligned}$ ‍

Asta înseamnă că

A

și

B

sunt inverse una alteia în raport cu înmulțirea.

Cu toate acestea, după cum vom vedea, nu toate matricele au inverse în raport cu înmulțirea. Acesta este o situație în care proprietățile numerelor reale diferă de proprietățile matricelor!

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 7

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

Definiția matricei unitate

Investigație: Înmulțirea cu matricea unitate

Concluzie

Conexiuni cu numerele reale

Elemente neutre față de înmulțire

Inverse în raport cu înmulțirea

Vrei să te alături conversației?