If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Înmulțirea matricelor

Când înmulțim o matrice cu un scalar (mai exact, cu un număr) pur și simplu înmulțim toate elementele matricei cu acel scalar. De asemenea, putem înmulți o matrice cu altă matrice, dar acesta este un procedeu puțin mai complicat. Chiar și așa, el este foarte interesant și captivant. Învață despre înmulțirea matricelor în acest articol.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor pe linii şi coloane. Fiecare număr dintr-o matrice este un element al matricei sau valoare.
De exemplu, matricea A are 2 linii și 3 colane. Elementul a2,1 este valoarea de pe linia 2 și coloana 1 din matricea A, adică 5.
Dacă acest lucru este nou pentru tine, îți recomandăm să vezi Introducere în matrice. De asemenea, trebuie să te asiguri că știi cum să înmulțești o matrice cu un scalar.

Ce vei învăța în această lecție?

Cum să calculezi produsul a două matrice. De exemplu, calculează
(1724)(3352)

Înmulțirea cu un scalar și înmulțirea matricelor

Când lucrăm cu matrice, ne referim la numere reale ca la scalari.
2(5231)=(25222321)=(10462)
Termenul înmulțire cu un scalar se referă la înmulțirea unui număr real cu o matrice. În cazul înmulțirii cu un scalar, fiecare valoare din matrice este înmulțită cu scalarul dat.
În schimb, înmulțirea matricelor se referă la produsul a două matrice. Aceasta este o operație complet diferită. Este mai complicată, dar și mai interesantă! Să vedem cum se face.
Înţelegerea calculării produsului scalar a două liste ordonate de numere ne poate ajuta extraordinar în această misiune, așa că hai să învățăm mai întâi despre asta!

n-tuple și produsul scalar

Suntem familiarizați cu perechi ordonate, de exemplu (2,5) și poate chiar triplete ordonate, de exemplu (3,1,8).
Un n-tuplu este o generalizare a acestora. Este o listă ordonată de n numere.
Putem calcula produsul scalar a două n-tuple de lungimi egale, prin adunarea produselor valorilor corespunzătoare.
De exemplu, pentru a găsi produsul scalar a două perechi ordonate, înmulțim primele coordonate între ele, apoi celelalte coordonate între ele și adunăm rezultatele.
(2,5)(3,1)=23+51=6+5=11
n-tuplele ordonate sunt indicate adesea de o variabilă cu o săgeată deasupra. De exemplu, fie a=(3,1,8) și b=(4,2,3). Expresia ab indică produsul scalar al acestor două triplete ordonate și poate fi calculat după cum urmează:
ab=(3,1,8)(4,2,3)=34+12+83=12+2+24=38
Observă că produsul scalar a două n-tuple de lungime egală este întotdeauna un număr real.

Verifică dacă ai înțeles

1) Fie c=(4,3) și d=(3,5).
cd=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

2) Fie m=(2,5,2) și n=(1,8,3).
mn=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Matrice și n-tuple

Când înmulțim matricele, este util să te gândești la fiecare linie și coloană din matrice ca la un n-tuplu.
c1c2l1l2(6423)
În această matrice, linia 1 este notată l1=(6,2) și linia 2 este notată l2=(4,3).
În mod similar, coloana 1 este notată c1=(6,4) și coloana 2 este notată c2=(2,3).

Verifică dacă ai înțeles

c1c2c3l1l2l3(162331574)
3) Care din următoarele triplete ordonate este c2?
Alege un răspuns:

Înmulțirea matricelor

Acum suntem pregătiţi să ne uităm la un exemplu de înmulțire a matricelor.
Fiind date A=(1724) și B=(3352), să calculăm matricea C=AB.
Pentru a ne ajuta să înțelegem, hai să etichetăm liniile din matricea A și coloanele din matricea B. Putem defini matricea produsului, matricea C, astfel:
b1b2a1a2(1274)(3532)=(a1b1a2b1a1b2a2b2)ABC
Observă că fiecare valoare din matricea C este produsul scalar al unei linii din matricea A cu o coloană din matricea B. Mai exact, valoarea ci,j este produsul scalar dintre ai și bj.
De exemplu, c1,2 este produsul scalar dintre a1 și b2.
(1274)(3532)=(a1b1a2b117a2b2)
Putem completa produsele scalare pentru a calcula matricea produs completă:
C=[38172614]

Verifică dacă ai înțeles

4) C=(2152) și D=(1436).
Fie F=CD.
a) Care dintre următoarele este f2,1?
Alege un răspuns:

b) Calculează pe F.
F=

5) X=(4123) și Y=(2854).
Calculează Z=XY.
Z=

6) M=(283541) și N=(416324).
Fie P=MN.
a) Care dintre următoarele este p1,2?
Alege un răspuns:

b) Calculează pe P.
P=

De ce este înmulțirea matricelor definită în acest fel?

Până acum, este posibil să fi găsit operațiile cu matrice destul de intuitive. De exemplu, când aduni două matrice, aduni valorile corespunzătoare.
Dar lucrurile nu funcționează așa cum te-ai aștepta cu înmulțirea. Pentru a înmulți două matrice, noi nu putem pur și simplu să înmulțim valorile corespunzătoare.
Dacă acest lucru te deranjează, îți recomandăm să arunci o privire la următoarele articole, unde vei vedea înmulțirea matricelor aplicată.