If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 7

Lecția 2: Operații cu matrice
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Matrice
Operații cu matrice
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Înmulțirea matricelor

Clasa Google
Când înmulțim o matrice cu un scalar (mai exact, cu un număr) pur și simplu înmulțim toate elementele matricei cu acel scalar. De asemenea, putem înmulți o matrice cu altă matrice, dar acesta este un procedeu puțin mai complicat. Chiar și așa, el este foarte interesant și captivant. Învață despre înmulțirea matricelor în acest articol.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor pe linii şi coloane. Fiecare număr dintr-o matrice este un element al matricei sau valoare.
De exemplu, matricea A are 2 linii și 3 colane. Elementul a, start subscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, comma, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, end subscript este valoarea de pe start color #11accd, start text, l, i, n, i, a, space, 2, end text, end color #11accd și start color #e07d10, start text, c, o, l, o, a, n, a, space, 1, end text, end color #e07d10 din matricea A, adică 5.
Dacă acest lucru este nou pentru tine, îți recomandăm să vezi Introducere în matrice. De asemenea, trebuie să te asiguri că știi cum să înmulțești o matrice cu un scalar.

Ce vei învăța în această lecție?

Cum să calculezi produsul a două matrice. De exemplu, calculează
(1724)⋅(3352)\left(\begin{array}{rr}{1} &7 \\ 2& 4 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}{3} &3 \\ 5& 2 \end{array}\right)

Înmulțirea cu un scalar și înmulțirea matricelor

Când lucrăm cu matrice, ne referim la numere reale ca la scalari.
2⋅(5231)=(2⋅52⋅22⋅32⋅1)=(10462)\begin{aligned} \blueD 2\cdot\left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{cc} \blueD 2\cdot 5 & \blueD 2\cdot 2 \\ \blueD 2\cdot 3 & \blueD 2\cdot 1 \end{array} \right) \\\\ &=\left( \begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 6 & 2 \end{array} \right) \end{aligned}
Termenul înmulțire cu un scalar se referă la înmulțirea unui număr real cu o matrice. În cazul înmulțirii cu un scalar, fiecare valoare din matrice este înmulțită cu scalarul dat.
În schimb, înmulțirea matricelor se referă la produsul a două matrice. Aceasta este o operație complet diferită. Este mai complicată, dar și mai interesantă! Să vedem cum se face.
Înţelegerea calculării produsului scalar a două liste ordonate de numere ne poate ajuta extraordinar în această misiune, așa că hai să învățăm mai întâi despre asta!

n-tuple și produsul scalar

Suntem familiarizați cu perechi ordonate, de exemplu left parenthesis, 2, comma, 5, right parenthesis și poate chiar triplete ordonate, de exemplu left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis.
Un n-tuplu este o generalizare a acestora. Este o listă ordonată de n numere.
Putem calcula produsul scalar a două n-tuple de lungimi egale, prin adunarea produselor valorilor corespunzătoare.
De exemplu, pentru a găsi produsul scalar a două perechi ordonate, înmulțim primele coordonate între ele, apoi celelalte coordonate între ele și adunăm rezultatele.
(2,5)⋅(3,1)=2⋅3+5⋅1=6+5=11\begin{aligned}(\purpleC2,\greenD5)\cdot (\purpleC3,\greenC1)&=\purpleC2\cdot \purpleC3+\greenD5\cdot \greenD1\\ \\ &=6+5\\ \\&=11 \end{aligned}
n-tuplele ordonate sunt indicate adesea de o variabilă cu o săgeată deasupra. De exemplu, fie a, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 3, comma, 1, comma, 8, right parenthesis și b, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 4, comma, 2, comma, 3, right parenthesis. Expresia a, with, vector, on top, dot, b, with, vector, on top indică produsul scalar al acestor două triplete ordonate și poate fi calculat după cum urmează:
a⃗⋅b⃗=(3,1,8)⋅(4,2,3)=3⋅4+1⋅2+8⋅3=12+2+24=38\begin{aligned}\vec{a}\cdot \vec{b}&=(\purpleC 3,\greenD1,\maroonC8)\cdot (\purpleC4, \greenD2, \maroonC3 )\\\\&=\purpleC3\cdot \purpleC4+\greenD1\cdot \greenD2+\maroonC8\cdot \maroonC3\\ \\ &=12+2+24\\ \\&=38 \end{aligned}
Observă că produsul scalar a două n-tuple de lungime egală este întotdeauna un număr real.

Verifică dacă ai înțeles

1) Fie c, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 4, comma, 3, right parenthesis și d, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 3, comma, 5, right parenthesis.
c, with, vector, on top, dot, d, with, vector, on top, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

2) Fie m, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 2, comma, 5, comma, minus, 2, right parenthesis și n, with, vector, on top, equals, left parenthesis, 1, comma, 8, comma, minus, 3, right parenthesis.
m, with, vector, on top, dot, n, with, vector, on top, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Matrice și n-tuple

Când înmulțim matricele, este util să te gândești la fiecare linie și coloană din matrice ca la un n-tuplu.
c1⃗c2⃗↓↓l1⃗→l2⃗→(6423)\begin{array}{rccc} &\goldD{\vec{c_1}}&\goldD{\vec{c_2}} \\ &\goldD\downarrow&\goldD\downarrow \\\\ \begin{array}{c}\blueD{\vec{l_1}\rightarrow} \\\blueD{\vec{l_2}\rightarrow}\end{array} &\left(\begin{array}{c}6\\4\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right) \end{array}
În această matrice, linia 1 este notată start color #11accd, l, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd, equals, left parenthesis, 6, comma, 2, right parenthesis și linia 2 este notată start color #11accd, l, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd, equals, left parenthesis, 4, comma, 3, right parenthesis.
În mod similar, coloana 1 este notată start color #e07d10, c, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10, equals, left parenthesis, 6, comma, 4, right parenthesis și coloana 2 este notată start color #e07d10, c, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10, equals, left parenthesis, 2, comma, 3, right parenthesis.

Verifică dacă ai înțeles

c1⃗c2⃗c3⃗↓↓↓l1⃗→l2⃗→l3⃗→(162331574)\begin{array}{rccc} &\goldD{\vec{c_1}}&\goldD{\vec{c_2}}&\goldD{\vec{c_3}} \\ &\goldD\downarrow&\goldD\downarrow&\goldD\downarrow \\\\ \begin{array}{c}\blueD{\vec{l_1}\rightarrow} \\\blueD{\vec{l_2}\rightarrow} \\\blueD{\vec{l_3}\rightarrow}\end{array} &\left(\begin{array}{c}1\\6\\2\end{array}\right. &\begin{array}{c}3\\3\\1\end{array} &\left.\begin{array}{c}5\\7\\4\end{array}\right) \end{array}
3) Care din următoarele triplete ordonate este c, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top?
Alege un răspuns:

Înmulțirea matricelor

Acum suntem pregătiţi să ne uităm la un exemplu de înmulțire a matricelor.
Fiind date A=(1724)A=\left(\begin{array}{rr}{1} &7 \\ 2& 4 \end{array}\right) și B=(3352)B=\left(\begin{array}{rr}{3} &3 \\ 5& 2 \end{array}\right), să calculăm matricea C, equals, A, B.
Pentru a ne ajuta să înțelegem, hai să etichetăm liniile din matricea A și coloanele din matricea B. Putem defini matricea produsului, matricea C, astfel:
b1⃗b2⃗↓↓a1⃗→a2⃗→(1274)⋅(3532)=(a1⃗⋅b1⃗a2⃗⋅b1⃗a1⃗⋅b2⃗a2⃗⋅b2⃗)ABC\begin{array}{ccccccccc} &&&&\goldD{\vec{b_1}}&\goldD{\vec{b_2}} \\ &&&&\goldD\downarrow&\goldD\downarrow \\\\ \begin{array}{c}\blueD{\vec{a_1}\rightarrow} \\\blueD{\vec{a_2}\rightarrow}\end{array} &\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}7\\4\end{array}\right) &\cdot &\left(\begin{array}{c}3\\5\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{c}\blueD{\vec{a_1}}\cdot\goldD{\vec{b_1}}\\\blueD{\vec{a_2}}\cdot\goldD{\vec{b_1}}\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\blueD{\vec{a_1}}\cdot\goldD{\vec{b_2}}\\\blueD{\vec{a_2}}\cdot\goldD{\vec{b_2}}\end{array}\right) \\\\ &A&&&B&&&C \end{array}
Observă că fiecare valoare din matricea C este produsul scalar al unei linii din matricea A cu o coloană din matricea B. Mai exact, valoarea c, start subscript, start color #11accd, i, end color #11accd, comma, start color #e07d10, j, end color #e07d10, end subscript este produsul scalar dintre start color #11accd, a, start subscript, i, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd și start color #e07d10, b, start subscript, j, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10.
De exemplu, start color #1fab54, c, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, end color #1fab54 este produsul scalar dintre start color #11accd, a, start subscript, 1, end subscript, with, vector, on top, end color #11accd și start color #e07d10, b, start subscript, 2, end subscript, with, vector, on top, end color #e07d10.
(1274)⋅(3532)=(a1⃗⋅b1⃗a2⃗⋅b1⃗17a2⃗⋅b2⃗)\begin{array}{ccccc} \left(\begin{array}{c}\bold\blueD 1\\2\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\bold\blueD 7\\4\end{array}\right) &\cdot &\left(\begin{array}{c}3\\5\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\bold\goldD 3\\\bold\goldD 2\end{array}\right) &= &\left(\begin{array}{c}\vec{a_1}\cdot\vec{b_1}\\\vec{a_2}\cdot\vec{b_1}\end{array}\right. &\left.\begin{array}{c}\bold\greenD{17}\\\vec{a_2}\cdot\vec{b_2}\end{array}\right) \end{array}
Putem completa produsele scalare pentru a calcula matricea produs completă:
C=[38172614]C=\left[\begin{array}{rr}{38} &17 \\ 26& 14 \end{array}\right]

Verifică dacă ai înțeles

4) C=(2152)C=\left(\begin{array}{rr}{2} &1 \\ 5& 2 \end{array}\right) și D=(1436)D=\left(\begin{array}{rr}{1} &4 \\ 3& 6 \end{array}\right).
Fie F, equals, C, dot, D.
a) Care dintre următoarele este f, start subscript, 2, comma, 1, end subscript?
Alege un răspuns:

b) Calculează pe F.
F, equals

5) X=(4123)X=\left(\begin{array}{rr}{4} &1 \\ 2& 3 \end{array}\right) și Y=(2854)Y=\left(\begin{array}{rrr}{2} &8 \\ 5& 4 \end{array}\right).
Calculează Z, equals, X, dot, Y.
Z, equals

6) M=(283541)M=\left(\begin{array}{rrr}{2} &8 &3 \\ 5& 4&1 \end{array}\right) și N=(416324)N=\left(\begin{array}{rr}{4} &1 \\ 6& 3\\2&4 \end{array}\right).
Fie P, equals, M, dot, N.
a) Care dintre următoarele este p, start subscript, 1, comma, 2, end subscript?
Alege un răspuns:

b) Calculează pe P.
P, equals

De ce este înmulțirea matricelor definită în acest fel?

Până acum, este posibil să fi găsit operațiile cu matrice destul de intuitive. De exemplu, când aduni două matrice, aduni valorile corespunzătoare.
Dar lucrurile nu funcționează așa cum te-ai aștepta cu înmulțirea. Pentru a înmulți două matrice, noi nu putem pur și simplu să înmulțim valorile corespunzătoare.
Dacă acest lucru te deranjează, îți recomandăm să arunci o privire la următoarele articole, unde vei vedea înmulțirea matricelor aplicată.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.