Conţinutul principal

Înmulțirea matricelor cu un scalar

Învață cum să calculezi rezultatul înmulțirii unei matrice cu un număr real.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor pe linii şi coloane. Fiecare număr dintr-o matrice este un element al matricei sau valoare.

Dacă acest lucru este nou pentru tine, îți recomandăm să vezi Introducere în matrice. De asemenea, trebuie să te asiguri că știi cum să aduni sau scazi matrice.

Ce vei învăța în această lecție?

Putem înmulți matrice cu numere reale. Acest articol explorează cum se face această înmulțire.

Scalari și înmulțirea cu scalari

Când lucrăm cu matrice, ne referim la numere reale ca la scalari.

Termenul înmulțire cu un scalar se referă la înmulțirea unui număr real cu o matrice. În cazul înmulțirii cu un scalar, fiecare valoare din matrice este înmulțită cu scalarul dat.

De exemplu, fiind dată matricea

A={\left(\begin{array}{rr}{10} &6 \\ 4& 3 \end{array}\right)}

, să se calculeze 2, A.

Pentru a determina 2, A, înmulțim fiecare valoare din matrice cu 2:

\begin{aligned}2A&=\greenD{2}\cdot{\left(\begin{array}{rr}{10} &6 \\ 4& 3 \end{array}\right)}\\\\\\ &={\left(\begin{array}{ll}{\greenD2 \cdot10} &\greenD2\cdot 6 \\ \greenD2\cdot 4& \greenD2\cdot3 \end{array}\right)}\\\\\\ &={\left(\begin{array}{rr}{20} &12 \\ 8& 6 \end{array}\right)}\end{aligned}

Verifică dacă ai înțeles

1) Fiind dată matricea $B={\left(\begin{array}{rr}{-4} &-2 \\ 7& 1 \end{array}\right)}$ , determină minus, 3, B.

minus, 3, B, equals

[Am nevoie de ajutor!]

2) Fiind dată matricea $C={\left(\begin{array}{rr}{-42} \\ 27 \\-3 \end{array}\right)}$ , calculează start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, C.

start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, C, equals

[Am nevoie de ajutor!]

Înmulțirea cu un scalar ca adunare repetată

Reamintește-ți că pentru a aduna (sau a scădea) două matrice, putem aduna (sau scădea) valorile corespunzătoare.

De exemplu,

\begin{aligned} &\phantom{=}{\left(\begin{array}{rr}\blueD{10} &\blueD{12} \\\blueD 6& \blueD3 \end{array}\right)}+\left(\begin{array}{rr}\goldD{1} &\goldD4 \\ \goldD{22}& \goldD7 \end{array}\right) \\\\ &={\left(\begin{array}{rr}{\blueD{10}+\goldD1} &\blueD{12}+\goldD4 \\ \blueD6+\goldD{22}& \blueD3+\goldD7 \end{array}\right)} \\\\ &=\left(\begin{array}{rr}{11} &16 \\ 28& 10 \end{array}\right)\\ \end{aligned}

Acum, să presupunem că am vrut să luăm în considerare adunarea repetată a unei matrice.

Dacă

A={\left(\begin{array}{rr}{4} &8 \\ 2& 1 \end{array}\right)}

, să calculăm A, plus, A, plus, A.

\begin{aligned} &\phantom{=}A+A+A \\\\ &= {\left(\begin{array}{rr}{4} &8 \\ 2& 1 \end{array}\right)}+{\left(\begin{array}{rr}{4} &8 \\ 2& 1 \end{array}\right)}+{\left(\begin{array}{rr}{4} &8 \\ 2& 1 \end{array}\right)}\\ \\ &={\left(\begin{array}{rr}{4+4+4} &8+8+8 \\ 2+2+2& 1+1+1 \end{array}\right)}\\\\ &={\left(\begin{array}{rr}{\greenD{3}\cdot4} &\greenD{3}\cdot8 \\ \greenD{3}\cdot2& \greenD{3}\cdot1 \end{array}\right)}\\ \\ &=\greenD{3}\cdot {\left(\begin{array}{rr}{4} &8 \\2& 1 \end{array}\right)}\\\\ &=3A \end{aligned}

Aici vedem că A, plus, A, plus, A, equals, 3, A.

Prin urmare, putem interpreta înmulțirea cu un scalar în același mod în care interpretăm înmulțirea cu numere reale – ca sumă de matrice repetată!

Rezolvarea ecuațiilor cu matrice

O ecuaţie cu matrice este pur şi simplu o ecuaţie în care variabila reprezintă o matrice.

De exemplu, ecuaţia de mai jos este o ecuaţie matriceală.

3A={\left(\begin{array}{rr}{3} &24 \\ 18& 0 \end{array}\right)}

Pentru a-l determina pe A, putem înmulți ambele părți ale ecuației matriceale cu scalarul start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, end color #1fab54.

$\begin{aligned}3A&={\left(\begin{array}{rr}{3} &24 \\ 18& 0 \end{array}\right)}\\\\ \greenD{\dfrac{1}{{3}}}\cdot {{3}}A&=\greenD{\dfrac{1}{3}}\cdot {\left(\begin{array}{rr}{3} &24 \\ 18& 0 \end{array}\right)}\\\\\ 1\cdot A&={\left(\begin{array}{ll}{\greenD{\dfrac{1}{3}}\cdot 3} &\greenD{\dfrac{1}{3}}\cdot24 \\ \greenD{\dfrac{1}{3}}\cdot18& \greenD{\dfrac{1}{3}}\cdot0 \end{array}\right)}\\\\\ A&={\left(\begin{array}{rr}{1} &8 \\ 6& 0 \end{array}\right)} \end{aligned}$

În general, rezolvăm o ecuaţie matriceală exact cum am rezolva orice ecuaţie liniară, cu excepţia faptului că operaţiile pe care le efectuăm sunt cu matrice!