If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 7

Lecția 2: Operații cu matrice
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Matrice
Operații cu matrice
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Proprietățile adunării matricelor

Clasa Google
Învață despre proprietățile adunării matricelor (cum ar fi comutativitatea) și legătura cu suma numerelor reale.
În tabelul de mai jos, A, B și C sunt matrice de dimensiuni egale.
ProprietateExemplu
Comutativitatea adunăriiA, plus, B, equals, B, plus, A
Asociativitatea adunăriiA, plus, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C
Elementul neutru față de adunarePentru orice matrice A, există o matrice unică O astfel încât A, plus, O, equals, A.
Adunarea cu elementul opusPentru oricare A, există o matrice unică minus, A astfel încât A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O.
Păstrarea dimensiunilor la adunareA, plus, B este o matrice de aceleași dimensiuni ca A și B.
Acest articol explorează aceste proprietăți ale adunării matricelor.

Matrice și adunarea matricelor

O matrice este o dispunere dreptunghiulară a numerelor în linii şi coloane. Dimensiunile unei matrice indică numărul de linii și coloane ale matricei în această ordine. Deoarece matricea A are 2 linii și 3 coloane, spunem că este matrice 2, times, 3.
Pentru a aduna două matrice de aceleaşi dimensiuni, adunăm elementele de pe poziţiile corespunzătoare.
(3724)+(5281)=(3+57+22+84+1)=(89105)\begin{aligned}{\left(\begin{array}{rr}{\blueD3} &\blueD7 \\ \blueD2& \blueD4 \end{array}\right)}+\left(\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2 \\ \greenD8& \greenD1 \end{array}\right)&={\left(\begin{array}{rr}{\blueD3+\greenD5} &\blueD7+\greenD2 \\\blueD2+\greenD8& \blueD4+\greenD1 \end{array}\right)} \\\\ &=\left(\begin{array}{rr}{8} &9 \\ 10& 5 \end{array}\right)\\ \end{aligned}
Dacă noțiunile acestea sunt noi pentru tine, trebuie să vezi următoarele articole înainte de a continua:

Despre dimensiuni

Observăm că suma a două matrice 2, times, 2 este o altă matrice 2, times, 2. În general, suma a două matrice m, times, n este tot o matrice m, times, n. Putem spune că adunarea matricelor păstrează dimensiunile.
Dacă două matrice nu au aceleași dimensiuni, atunci adunarea lor nu este definită. De exemplu, dacă A este o matrice 2, times, 3 și B este o matrice 2, times, 2, atunci unele valori din matricea A nu vor avea corespondente în matricea B!
(278243)+(5281)=nedefinit\begin{aligned}{\left(\begin{array}{rr}\blueD2&\blueD7 &\goldD8 \\ \blueD2& \blueD4&\goldD3 \end{array}\right)}+\left(\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2 \\ \greenD8& \greenD1 \end{array}\right)&=\text{nedefinit} \end{aligned}

Adunarea matricelor și adunarea numerelor reale

Deoarece adunarea matricelor se bazează în mare măsură pe adunarea de numere reale, multe dintre proprietățile adunării pe care le știm ca fiind adevărate pe mulțimea numerelor reale sunt, de asemenea, adevărate pe matrice.
Să aruncăm o privire asupra fiecărei proprietăți în parte.

Proprietatea de comutativitate a adunării: A, plus, B, equals, B, plus, A

Această proprietate specifică faptul că poți aduna două matrice în orice ordine și rezultatul este același.
Aceasta rezultă din proprietatea de comutativitate a adunării numerelor reale. De exemplu, 3, plus, 5, equals, 5, plus, 3.
Următorul exemplu ilustrează această proprietate.
Observă că proprietatea de comutativitate a adunării pentru matrice este adevărată datorită proprietății de comutativitate a adunării numerelor reale!

Proprietatea de asociativitate a adunării: left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C, equals, A, plus, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis

Această proprietate specifică faptul că poți schimba gruparea termenilor în adunarea matricelor, iar rezultatul este acelaşi. De exemplu, putem aduna mai întâi matricele A și B, apoi matricea C sau putem aduna mai întâi matricele B și C, apoi la rezultat adunăm matricea A.
Această proprietate rezultă din proprietatea de asociativitate a adunării numerelor reale. De exemplu, left parenthesis, 2, plus, 3, right parenthesis, plus, 5, equals, 2, plus, left parenthesis, 3, plus, 5, right parenthesis.
Hai să justificăm această proprietate printr-un exemplu.
În fiecare coloană am simplificat o parte într-o singură matrice. Cele două matrice rezultate sunt echivalente datorită proprietății de asociativitate a adunării numerelor reale. De exemplu, left parenthesis, start color #01a995, 5, end color #01a995, plus, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, equals, start color #01a995, 5, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, plus, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, right parenthesis.
Datorită acestei proprietăți, putem scrie expresia A, plus, B, plus, C care este complet definită. Nu avem nevoie de paranteze care să indice ce adunare se efectuază mai întâi, pentru că nu contează!

Adunarea cu elementul neutru: A, plus, O, equals, A

O matrice nulă, notată O, este o matrice care are toate elementele 0.
Observă că atunci când se adună o matrice nulă la orice matrice A, rezultatul este întotdeauna egal cu matricea A.
  • (3−179)+(0000)=(3−179)\left(\begin{array}{rr}{3} &-1 \\ 7& 9 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}{3} &-1 \\ 7& 9 \end{array}\right)
  • (000000)+(283−157)=(283−157)\left(\begin{array}{rr}{0} &0 &{0} \\ 0& 0&{0} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}{2} &8 &3 \\ -1& 5&7 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}{2} &8 &3 \\ -1& 5&7 \end{array}\right)
Aceste exemple ilustrează ce se întâmplă la adunarea cu o matrice nulă; suma oricărei matrice A cu o matrice nulă corespunzătoare este matricea A.
O matrice nulă poate fi comparată cu numărul zero în mulțimea de numere reale. Pentru toate numerele reale a, știm că a, plus, 0, equals, a. Numărul 0 este element neutru față de adunarea numerelor reale, la fel cum O este element neutru pentru adunarea matricelor.

Adunarea cu elementul opus: A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, equals, O

Opusa matricei A este matricea minus, A, în care fiecare element al său este opusul elementului corespunzător din matricea A.
De exemplu, dacă A=(−28−31)A=\left(\begin{array}{rr}{-2} &8 \\ -3& 1 \end{array}\right), atunci −A=(2−83−1)-A=\left(\begin{array}{rr}{2} &-8 \\ 3& -1 \end{array}\right).
Dacă adunăm A la minus, A obținem o matrice nulă; acest lucru ilustrează ce se întâmplă la adunarea cu elemente opuse.
A+(−A)=(−28−31)+(2−83−1)=(−2+28+(−8)−3+31+(−1))=(0000)\begin{aligned}A+(-A)&=\left(\begin{array}{rr}{-2} &8 \\ -3& 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}{2} &-8 \\ 3& -1 \end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{rr}{-2+2} &8+(-8) \\ -3+3& 1+(-1) \end{array}\right)\\\\ &=\left(\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0& 0 \end{array}\right) \end{aligned}
Suma dintre un număr real și opusul său este întotdeauna 0, Astfel, suma oricărei matrice cu opusa sa are ca rezultat o matrice nulă. Datorită acestui fapt, ne referim la matricele opuse ca la inverse față de adunare.

Verifică dacă ai înțeles

Pentru problemele de mai jos, fie A, B și C matrice 2, times, 2 .
1) Care dintre următoarele expresii cu matrice sunt echivalente cu left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, plus, C, question mark
Selectează toate variantele corecte:

2) Care dintre următoarele expresii cu matrice sunt echivalente cu left parenthesis, A, plus, left parenthesis, minus, A, right parenthesis, right parenthesis, plus, B?
Amintește-ți că A și B sunt matrice 2, times, 2.
Selectează toate variantele corecte: