If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Proprietățile înmulțirii matricelor

Învață despre proprietățile înmulțirii matricelor (cum ar fi distributivitatea) și legătura cu înmulțirea numerelor reale.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor

În acest tabel, A, B și C sunt matrice de tip n×n, I este matricea unitate de tip n×n și O este matricea nulă de tip n×n.
ProprietateExemplu
Comutativitatea înmulțirii nu se aplicăABBA
Asociativitatea înmulțirii(AB)C=A(BC)
Proprietăți de distributivitate A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
Elementul neutru față de înmulțireIA=A și AI=A
Înmulțirea cu matricea nulăOA=O și AO=O
Regula dimensiuniiProdusul dintre o matrice m×n și o matrice n×k este o matrice m×k.
Hai să aruncăm o privire la înmulțirea matricelor și să explorăm aceste proprietăți.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

La înmulțirea matricelor, fiecare valoare din matricea produs este produsul scalar dintre o linie din prima matrice şi o coloană din matricea a doua.
Dacă aceste noțiuni sunt noi pentru tine, îți recomandăm să te uiți peste Articol despre înmulțirea matricelor.
Alte articole relevante sunt:

Înmulțirea matricelor nu este comutativă

Una dintre cele mai mari diferențe între înmulțirea numerelor reale și înmulțirea matricelor este faptul că înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Cu alte cuvinte, la înmulţirea matricelor, ordinea în care două matrice sunt înmulţite contează!

Vezi singur

Să aruncăm o privire la un exemplu concret cu următoarele matrice.
A=(3412) B=(6232)
1) Calculează AB și BA.
AB=
BA=

Observă că produsele nu sunt la fel! Deoarece ABBA, înmulțirea matricelor nu este comutativă!
Cu toate acestea, în afară de această diferență majoră, proprietățile înmulțirii matricelor sunt în mare parte similare cu proprietățile înmulțirii numerelor reale.

Asociativitatea înmulțirii: (AB)C=A(BC)

Această proprietate specifică faptul că poți schimba gruparea din înmulțirea matricelor date.
De exemplu, poți înmulți matricea A cu matricea B și apoi înmulți rezultatul cu matricea C sau poți înmulți matricea B cu matricea C, apoi înmulți rezultatul cu matricea A.
Atunci când folosești această proprietate, asigură-te că acorzi atenție ordinii în care matricele sunt înmulțite, pentru că ştim că proprietatea de comutativitate nu se aplică pentru înmulţirea matricelor!

Proprietatea de distributivitate

Putem distribui matricele în aproape același mod în care distribuim numerele reale.
  • A(B+C)=AB+AC
  • (B+C)A=BA+CA
Dacă o matrice A este distribuită din partea stângă, asigură-te că fiecare produs din suma rezultată are A în stânga! În mod similar, dacă o matrice A este distribuită din partea dreaptă, asigură-te că fiecare produs din suma rezultată are A în dreapta!

Elementul neutru față de înmulțire

Matricea unitate n×n, notată In, este o matrice cu n linii și n coloane. Valorile de pe diagonală din stânga sus spre dreapta jos sunt toate 1, iar toate celelalte valori sunt 0.
De exemplu:
I2=(1001)I3=(100010001)I4=(1000010000100001)
Elementul neutru față de înmulțire are proprietatea că produsul dintre oricare matrice A de tip n×n și In este întotdeauna A, indiferent de ordinea în care a fost efectuată înmulțirea. Cu alte cuvinte, AI=IA=A.
Rolul pe care îl are matricea unitate n×n în înmulțirea matricelor este similar cu rolul pe care numărul 1 îl joacă în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, atunci știm că a1=a și 1a=a.

Înmulțirea cu matricea nulă

O matrice nulă este o matrice în care toate valorile sunt 0. De exemplu, matricea nulă de tip 3×3 este O3×3=(000000000).
O matrice nulă este indicată de O și se poate conține indici pentru a arăta dimensiunile matricei, dacă este necesar.
Înmulțirea cu matricea nulă afirmă că produsul dintre oricare matrice de tip n×n și matricea nulă n×n este matricea nulă de tip n×n. Cu alte cuvinte, AO=OA=O.
Rolul pe care îl are matricea zero n×n în înmulțirea matricelor este similar cu rolul pe care numărul 0 îl joacă în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, atunci știm că a0=0 și 0a=0.

Regula dimensiunii

O proprietate specifică matricelor este legată de dimensiuni. Această proprietate are două părți:
  1. Produsul a două matrice va fi definit dacă numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de linii din a doua matrice.
  2. Dacă produsul este definit, matricea rezultată va avea acelaşi număr de linii ca prima matrice şi acelaşi număr de coloane ca a doua matrice.
De exemplu, dacă A este o matrice de tip 3×2 și dacă B este o matrice de tip 2×4, regula dimensiunii ne spune:
  • Produsul AB este definit.
  • AB va fi matrice de tip 3×4.

Verifică dacă ai înțeles

Acum că ești familiarizat cu înmulțirea matricelor și cu proprietățile acesteia, să vedem dacă le poți folosi pentru a determina expresiile matriceale echivalente.
Pentru problemele de mai jos, fie A, B și C matrice de tip 2×2 şi fie O matricea nulă de tip 2×2.
2) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu A(B+C)?
Selectează toate variantele corecte:

3) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu I2(AB)?
Selectează toate variantele corecte:

4) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu O(A+B)?
Selectează toate variantele corecte: