If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Proprietățile înmulțirii matricelor

Învață despre proprietățile înmulțirii matricelor (cum ar fi distributivitatea) și legătura cu înmulțirea numerelor reale.

Proprietăți ale înmulțirii matricelor

În acest tabel, A, B și C sunt matrice de tip n, times, n, I este matricea unitate de tip n, times, n și O este matricea nulă de tip n, times, n.
ProprietateExemplu
Comutativitatea înmulțirii start color #df0030, start text, n, u, space, s, e, space, a, p, l, i, c, a, with, \u, on top, end text, end color #df0030A, B, does not equal, B, A
Asociativitatea înmulțiriileft parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis
Proprietăți de distributivitate A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, A, B, plus, A, C
left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, A, equals, B, A, plus, C, A
Elementul neutru față de înmulțireI, A, equals, A și A, I, equals, A
Înmulțirea cu matricea nulăO, A, equals, O și A, O, equals, O
Regula dimensiuniiProdusul dintre o matrice m, times, n și o matrice n, times, k este o matrice m, times, k.
Hai să aruncăm o privire la înmulțirea matricelor și să explorăm aceste proprietăți.

Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?

La înmulțirea matricelor, fiecare valoare din matricea produs este produsul scalar dintre o linie din prima matrice şi o coloană din matricea a doua.
Dacă aceste noțiuni sunt noi pentru tine, îți recomandăm să te uiți peste Articol despre înmulțirea matricelor.
Alte articole relevante sunt:

Înmulțirea matricelor nu este comutativă

Una dintre cele mai mari diferențe între înmulțirea numerelor reale și înmulțirea matricelor este faptul că înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Cu alte cuvinte, la înmulţirea matricelor, ordinea în care două matrice sunt înmulţite contează!

Vezi singur

Să aruncăm o privire la un exemplu concret cu următoarele matrice.
A=(3412)A=\left(\begin{array}{rr}{3} &4 \\ 1&2 \end{array}\right) \quad B=(6232)B=\left(\begin{array}{rr}{6} &2 \\ 3& 2 \end{array}\right)
1) Calculează A, B și B, A.
A, B, equals
B, A, equals

Observă că produsele nu sunt la fel! Deoarece A, B, does not equal, B, A, înmulțirea matricelor nu este comutativă!
Cu toate acestea, în afară de această diferență majoră, proprietățile înmulțirii matricelor sunt în mare parte similare cu proprietățile înmulțirii numerelor reale.

Asociativitatea înmulțirii: left parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis

Această proprietate specifică faptul că poți schimba gruparea din înmulțirea matricelor date.
De exemplu, poți înmulți matricea A cu matricea B și apoi înmulți rezultatul cu matricea C sau poți înmulți matricea B cu matricea C, apoi înmulți rezultatul cu matricea A.
Atunci când folosești această proprietate, asigură-te că acorzi atenție ordinii în care matricele sunt înmulțite, pentru că ştim că proprietatea de comutativitate nu se aplică pentru înmulţirea matricelor!

Proprietatea de distributivitate

Putem distribui matricele în aproape același mod în care distribuim numerele reale.
  • A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, A, B, plus, A, C
  • left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, A, equals, B, A, plus, C, A
Dacă o matrice A este distribuită din partea stângă, asigură-te că fiecare produs din suma rezultată are A în stânga! În mod similar, dacă o matrice A este distribuită din partea dreaptă, asigură-te că fiecare produs din suma rezultată are A în dreapta!

Elementul neutru față de înmulțire

Matricea unitate n, times, n, notată I, start subscript, n, end subscript, este o matrice cu n linii și n coloane. Valorile de pe diagonală din stânga sus spre dreapta jos sunt toate 1, iar toate celelalte valori sunt 0.
De exemplu:
I2=(1001)I3=(100010001)I4=(1000010000100001)I_2=\left(\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 0& 1 \end{array}\right)\quad I_3=\left(\begin{array}{rr}{1} &0 &0 \\ 0& 1&0\\0&0&1 \end{array}\right)\quad I_4=\left(\begin{array}{rr}{1} &0 &0&0 \\ 0& 1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{array}\right)
Elementul neutru față de înmulțire are proprietatea că produsul dintre oricare matrice A de tip n, times, n și I, start subscript, n, end subscript este întotdeauna A, indiferent de ordinea în care a fost efectuată înmulțirea. Cu alte cuvinte, A, dot, I, equals, I, dot, A, equals, A.
Rolul pe care îl are matricea unitate n, times, n în înmulțirea matricelor este similar cu rolul pe care numărul 1 îl joacă în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, atunci știm că a, dot, 1, equals, a și 1, dot, a, equals, a.

Înmulțirea cu matricea nulă

O matrice nulă este o matrice în care toate valorile sunt 0. De exemplu, matricea nulă de tip 3, times, 3 este O3×3=(000000000) O_{3\times 3}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \\ 0 & 0&0 \end{array}\right).
O matrice nulă este indicată de O și se poate conține indici pentru a arăta dimensiunile matricei, dacă este necesar.
Înmulțirea cu matricea nulă afirmă că produsul dintre oricare matrice de tip n, times, n și matricea nulă n, times, n este matricea nulă de tip n, times, n. Cu alte cuvinte, A, dot, O, equals, O, dot, A, equals, O.
Rolul pe care îl are matricea zero n, times, n în înmulțirea matricelor este similar cu rolul pe care numărul 0 îl joacă în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, atunci știm că a, dot, 0, equals, 0 și 0, dot, a, equals, 0.

Regula dimensiunii

O proprietate specifică matricelor este legată de dimensiuni. Această proprietate are două părți:
  1. Produsul a două matrice va fi definit dacă numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de linii din a doua matrice.
  2. Dacă produsul este definit, matricea rezultată va avea acelaşi număr de linii ca prima matrice şi acelaşi număr de coloane ca a doua matrice.
De exemplu, dacă A este o matrice de tip start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 și dacă B este o matrice de tip start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, regula dimensiunii ne spune:
  • Produsul A, B este definit.
  • A, B va fi matrice de tip start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10.

Verifică dacă ai înțeles

Acum că ești familiarizat cu înmulțirea matricelor și cu proprietățile acesteia, să vedem dacă le poți folosi pentru a determina expresiile matriceale echivalente.
Pentru problemele de mai jos, fie A, B și C matrice de tip 2, times, 2 şi fie O matricea nulă de tip 2, times, 2.
2) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis?
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte:

3) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu I, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, A, B, right parenthesis?
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte:

4) Care dintre următoarele expresii sunt echivalente cu O, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis?
Selectează toate variantele corecte:
Selectează toate variantele corecte: