Conţinutul principal
Recapitulare pentru BAC
Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 7
Lecția 2: Operații cu matrice- Adunarea și scăderea matricelor
- Ecuații cu matrice: adunarea și scăderea
- Înmulțirea matricelor cu un scalar
- Proprietățile înmulțirii matricei cu un scalar
- Proprietățile adunării matricelor
- Introducere în matricea nulă
- Ecuații cu matrice: înmulțire cu un scalar
- Dimensiuni la înmulțirea matricelor
- Înmulțirea matricelor
- Înmulțește matrice
- Introducere în matricele unitate
- Proprietățile înmulțirii matricelor
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie
Proprietățile înmulțirii matricelor
Învață despre proprietățile înmulțirii matricelor (cum ar fi distributivitatea) și legătura cu înmulțirea numerelor reale.
Proprietăți ale înmulțirii matricelor
În acest tabel, A, B și C sunt matrice de tip n, times, n, I este matricea unitate de tip n, times, n și O este matricea nulă de tip n, times, n.
Proprietate | Exemplu |
---|---|
Comutativitatea înmulțirii start color #df0030, start text, n, u, space, s, e, space, a, p, l, i, c, a, with, \u, on top, end text, end color #df0030 | A, B, does not equal, B, A |
Asociativitatea înmulțirii | left parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis |
Proprietăți de distributivitate | A, left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, equals, A, B, plus, A, C |
left parenthesis, B, plus, C, right parenthesis, A, equals, B, A, plus, C, A | |
Elementul neutru față de înmulțire | I, A, equals, A și A, I, equals, A |
Înmulțirea cu matricea nulă | O, A, equals, O și A, O, equals, O |
Regula dimensiunii | Produsul dintre o matrice m, times, n și o matrice n, times, k este o matrice m, times, k. |
Hai să aruncăm o privire la înmulțirea matricelor și să explorăm aceste proprietăți.
Cu ce ar trebui să fii familiarizat înainte de această lecție?
La înmulțirea matricelor, fiecare valoare din matricea produs este produsul scalar dintre o linie din prima matrice şi o coloană din matricea a doua.
Dacă aceste noțiuni sunt noi pentru tine, îți recomandăm să te uiți peste Articol despre înmulțirea matricelor.
Alte articole relevante sunt:
Înmulțirea matricelor nu este comutativă
Una dintre cele mai mari diferențe între înmulțirea numerelor reale și înmulțirea matricelor este faptul că înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Cu alte cuvinte, la înmulţirea matricelor, ordinea în care două matrice sunt înmulţite contează!
Vezi singur
Să aruncăm o privire la un exemplu concret cu următoarele matrice.
Observă că produsele nu sunt la fel! Deoarece A, B, does not equal, B, A, înmulțirea matricelor nu este comutativă!
Cu toate acestea, în afară de această diferență majoră, proprietățile înmulțirii matricelor sunt în mare parte similare cu proprietățile înmulțirii numerelor reale.
Asociativitatea înmulțirii: left parenthesis, A, B, right parenthesis, C, equals, A, left parenthesis, B, C, right parenthesis
Această proprietate specifică faptul că poți schimba gruparea din înmulțirea matricelor date.
De exemplu, poți înmulți matricea A cu matricea B și apoi înmulți rezultatul cu matricea C sau poți înmulți matricea B cu matricea C, apoi înmulți rezultatul cu matricea A.
Atunci când folosești această proprietate, asigură-te că acorzi atenție ordinii în care matricele sunt înmulțite, pentru că ştim că proprietatea de comutativitate nu se aplică pentru înmulţirea matricelor!
Proprietatea de distributivitate
Putem distribui matricele în aproape același mod în care distribuim numerele reale.
Dacă o matrice A este distribuită din partea stângă, asigură-te că fiecare produs din suma rezultată are A în stânga! În mod similar, dacă o matrice A este distribuită din partea dreaptă, asigură-te că fiecare produs din suma rezultată are A în dreapta!
Elementul neutru față de înmulțire
Matricea unitate n, times, n, notată I, start subscript, n, end subscript, este o matrice cu n linii și n coloane. Valorile de pe diagonală din stânga sus spre dreapta jos sunt toate 1, iar toate celelalte valori sunt 0.
De exemplu:
Elementul neutru față de înmulțire are proprietatea că produsul dintre oricare matrice A de tip n, times, n și I, start subscript, n, end subscript este întotdeauna A, indiferent de ordinea în care a fost efectuată înmulțirea. Cu alte cuvinte, A, dot, I, equals, I, dot, A, equals, A.
Rolul pe care îl are matricea unitate n, times, n în înmulțirea matricelor este similar cu rolul pe care numărul 1 îl joacă în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, atunci știm că a, dot, 1, equals, a și 1, dot, a, equals, a.
Înmulțirea cu matricea nulă
O matrice nulă este o matrice în care toate valorile sunt 0. De exemplu, matricea nulă de tip 3, times, 3 este .
O matrice nulă este indicată de O și se poate conține indici pentru a arăta dimensiunile matricei, dacă este necesar.
Înmulțirea cu matricea nulă afirmă că produsul dintre oricare matrice de tip n, times, n și matricea nulă n, times, n este matricea nulă de tip n, times, n. Cu alte cuvinte, A, dot, O, equals, O, dot, A, equals, O.
Rolul pe care îl are matricea zero n, times, n în înmulțirea matricelor este similar cu rolul pe care numărul 0 îl joacă în sistemul de numere reale. Dacă a este un număr real, atunci știm că a, dot, 0, equals, 0 și 0, dot, a, equals, 0.
Regula dimensiunii
O proprietate specifică matricelor este legată de dimensiuni. Această proprietate are două părți:
- Produsul a două matrice va fi definit dacă numărul de coloane din prima matrice este egal cu numărul de linii din a doua matrice.
- Dacă produsul este definit, matricea rezultată va avea acelaşi număr de linii ca prima matrice şi acelaşi număr de coloane ca a doua matrice.
De exemplu, dacă A este o matrice de tip start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 și dacă B este o matrice de tip start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10, regula dimensiunii ne spune:
- Produsul A, B este definit.
- A, B va fi matrice de tip start color #11accd, 3, end color #11accd, times, start color #e07d10, 4, end color #e07d10.
Verifică dacă ai înțeles
Acum că ești familiarizat cu înmulțirea matricelor și cu proprietățile acesteia, să vedem dacă le poți folosi pentru a determina expresiile matriceale echivalente.
Pentru problemele de mai jos, fie A, B și C matrice de tip 2, times, 2 şi fie O matricea nulă de tip 2, times, 2.
Vrei să te alături conversației?
Nici o postare încă.