If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Introducere în numerele complexe

Învată ce sunt numerele complexe, precum și despre partea reală și cea imaginară a unui număr complex.
Pentru ecuația x2=1 nu avem soluție în mulțimea numerelor reale. În această lecție, vom studia o nouă mulțime de numere în care această ecuație are soluție.
Elementul de bază al acestei mulțimi este numărul i, cunoscut și ca unitatea imaginară.
  • i2=1
  • 1=i
Luând multiplii acestei unități imaginare, putem crea o infinitate de noi numere, precum 3i, i5 și 12i. Acestea sunt exemple de numere imaginare.
Putem merge chiar mai departe și să adunăm numere reale cu numere imaginare; de exemplu, 2+7i și 32i. Aceste combinații se numesc numere complexe.

Definirea numerelor complexe

Un număr complex este orice număr care poate fi scris sub forma a+bi, unde i este unitatea imaginară, iar a și b sunt numere reale.
a+biiParteaPartearealăimaginară
a se numește partea reală a numărului, iar b se numește partea imaginară a numărului.
În tabelul de mai jos avem exemple de numere complexe, cu identificarea părților reale și a celor imaginare. Unora le este mai ușor să identifice partea reală și partea imaginară dacă numărul este scris în forma standard.
Numărul complexForma standard a+biDescrierea părților
7i22+7iPartea reală este 2 și partea imaginară este 7.
43i4+(3)iPartea reală este 4 și partea imaginară este 3
9i0+9iPartea reală este 0 și partea imaginară este 9
22+0iPartea reală este2 și partea imaginară este 0

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1
Care este partea reală a lui 13,2i+1?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Problema 2
Care este partea imaginară a lui 2114i?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Problema 3
Care este partea reală a lui 17i?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Clasificarea numerelor complexe

Știam deja ce este un număr real și tocmai am definit și numerele complexe. Acum să ne întoarcem și să dăm o definiție concretă unui număr imaginar.
Un număr imaginar este un număr complex a+bi pentru care a=0.
Similar, putem spune că un număr real este un număr complex a+bi pentru care b=0.
Din prima definiție, putem concluziona că orice număr imaginar este și număr complex. Din a doua definiție, concluzionăm că orice număr real este, de asemenea, și număr complex.
În plus, pot exista numere complexe care nu sunt nici reale, nici imaginare. De exemplu, 4+2i.
Numere complexe4+2i35iNumere reale512,23Numere imaginare5i12,2i3i

Întrebare reflectivă

Următoarea afirmaţie este adevărată sau falsă?
Orice număr complex este fie real, fie imaginar.
Alege un răspuns:

Exemple

În tabelul de mai jos am clasificat mai multe numere ca fiind reale, pur imaginare şi/sau complexe.
Real(b=0)Imaginar(a=0)Complex(a+bi)
7+8i(7+8i)X
3(3+0i)XX
1(1+0i)XX
1,3i(0+(1,3)i)XX
100i(0+100i)XX
Să observăm că toate numerele din tabel sunt numere complexe! Acest lucru este adevărat în general!

Acum încearcă și tu!

Problema 4
Ce fel de număr este 2+3i?
Selectează toate variantele corecte:

Problema 5
Ce fel de număr este 10,2?
Selectează toate variantele corecte:

Problema 6
Ce fel de număr este 17i?
Selectează toate variantele corecte:

De ce sunt importante aceste numere?

Și totuși, de ce studiem numerele complexe? Crezi sau nu, numerele complexe au multe aplicații - să numim acum doar ingineria electrică și mecanica cuantică!
Din punct de vedere pur matematic, un lucru grozav pe care ni-l permit numerele complexe este rezolvarea oricărei ecuaţii polinomiale.
De exemplu, ecuația polinomială x22x+5=0 nu are soluții reale și nici soluții imaginare. Cu toate acestea, are două soluţii complexe. Acestea sunt 1+2i şi 12i.
Pe măsură ce continuăm studiul matematicii, vom afla mai multe despre aceste numere şi despre utilizările lor.