Introducere în numerele complexe

Pentru ecuația $x^2=-1$x, squared, equals, minus, 1 nu avem soluție în mulțimea numerelor reale. În această lecție, vom studia o nouă mulțime de numere în care această ecuație are soluție.

Elementul de bază al acestei mulțimi este numărul $i$i, cunoscut și ca unitatea imaginară.

Luând multiplii acestei unități imaginare, putem crea o infinitate de noi numere, precum $3i$3, i, $i\sqrt{5}$i, square root of, 5, end square root și $-12i$minus, 12, i. Acestea sunt exemple de numere imaginare.

Putem merge chiar mai departe și să adunăm numere reale cu numere imaginare; de exemplu, $2+7i$2, plus, 7, i și $3-\sqrt{2}i$3, minus, square root of, 2, end square root, i. Aceste combinații se numesc numere complexe.

Un număr complex este orice număr care poate fi scris sub forma $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, unde $i$i este unitatea imaginară, iar $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 și $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd sunt numere reale.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 se numește partea $\greenD{\text{reală}}$start color #1fab54, start text, r, e, a, l, a, with, \u, on top, end text, end color #1fab54 a numărului, iar $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd se numește partea $\blueD{\text{imaginară}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, a, with, \u, on top, end text, end color #11accd a numărului.

În tabelul de mai jos avem exemple de numere complexe, cu identificarea părților reale și a celor imaginare. Unora le este mai ușor să identifice partea reală și partea imaginară dacă numărul este scris în forma standard.

Știam deja ce este un număr real și tocmai am definit și numerele complexe. Acum să ne întoarcem și să dăm o definiție concretă unui număr imaginar.

Similar, putem spune că un număr real este un număr complex $\textit{a+bi}$start text, a, plus, b, i, end text pentru care $\textit{b=0}$start text, b, =, 0, end text.

Din prima definiție, putem concluziona că orice număr imaginar este și număr complex. Din a doua definiție, concluzionăm că orice număr real este, de asemenea, și număr complex.

În plus, pot exista numere complexe care nu sunt nici reale, nici imaginare. De exemplu, $4+2i$4, plus, 2, i.

În tabelul de mai jos am clasificat mai multe numere ca fiind reale, pur imaginare şi/sau complexe.

Să observăm că toate numerele din tabel sunt numere complexe! Acest lucru este adevărat în general!

Și totuși, de ce studiem numerele complexe? Crezi sau nu, numerele complexe au multe aplicații - să numim acum doar ingineria electrică și mecanica cuantică!

Din punct de vedere pur matematic, un lucru grozav pe care ni-l permit numerele complexe este rezolvarea oricărei ecuaţii polinomiale.

De exemplu, ecuația polinomială $x^2-2x+5=0$x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 nu are soluții reale și nici soluții imaginare. Cu toate acestea, are două soluţii complexe. Acestea sunt $1+2i$1, plus, 2, i şi $1-2i$1, minus, 2, i.

Pe măsură ce continuăm studiul matematicii, vom afla mai multe despre aceste numere şi despre utilizările lor.