If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Introducere în numerele complexe

Învată ce sunt numerele complexe, precum și despre partea reală și cea imaginară a unui număr complex.
Pentru ecuația x, squared, equals, minus, 1 nu avem soluție în mulțimea numerelor reale. În această lecție, vom studia o nouă mulțime de numere în care această ecuație are soluție.
Elementul de bază al acestei mulțimi este numărul i, cunoscut și ca unitatea imaginară.
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Luând multiplii acestei unități imaginare, putem crea o infinitate de noi numere, precum 3, i, i, square root of, 5, end square root și minus, 12, i. Acestea sunt exemple de numere imaginare.
Putem merge chiar mai departe și să adunăm numere reale cu numere imaginare; de exemplu, 2, plus, 7, i și 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Aceste combinații se numesc numere complexe.

Definirea numerelor complexe

Un număr complex este orice număr care poate fi scris sub forma start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, unde i este unitatea imaginară, iar start color #1fab54, a, end color #1fab54 și start color #11accd, b, end color #11accd sunt numere reale.
a+biiParteaParteareala˘imaginara˘\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&\Large \blueD bi \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{Partea}&&\text{Partea} \\ \text{reală}&&\text{imaginară} \end{array}
start color #1fab54, a, end color #1fab54 se numește partea start color #1fab54, start text, r, e, a, l, a, with, \u, on top, end text, end color #1fab54 a numărului, iar start color #11accd, b, end color #11accd se numește partea start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, a, with, \u, on top, end text, end color #11accd a numărului.
În tabelul de mai jos avem exemple de numere complexe, cu identificarea părților reale și a celor imaginare. Unora le este mai ușor să identifice partea reală și partea imaginară dacă numărul este scris în forma standard.
Numărul complexForma standard start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iDescrierea părților
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iPartea reală este start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 și partea imaginară este start color #11accd, 7, end color #11accd.
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iPartea reală este start color #1fab54, 4, end color #1fab54 și partea imaginară este start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iPartea reală este start color #1fab54, 0, end color #1fab54 și partea imaginară este start color #11accd, 9, end color #11accd
minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iPartea reală estestart color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 și partea imaginară este start color #11accd, 0, end color #11accd

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1
Care este partea reală a lui 13, comma, 2, i, plus, 1?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Care este partea imaginară a lui 21, minus, 14, i?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Care este partea reală a lui 17, i?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Clasificarea numerelor complexe

Știam deja ce este un număr real și tocmai am definit și numerele complexe. Acum să ne întoarcem și să dăm o definiție concretă unui număr imaginar.
Un număr imaginar este un număr complex start text, a, plus, b, i, end text pentru care start text, a, =, 0, end text.
Similar, putem spune că un număr real este un număr complex start text, a, plus, b, i, end text pentru care start text, b, =, 0, end text.
Din prima definiție, putem concluziona că orice număr imaginar este și număr complex. Din a doua definiție, concluzionăm că orice număr real este, de asemenea, și număr complex.
În plus, pot exista numere complexe care nu sunt nici reale, nici imaginare. De exemplu, 4, plus, 2, i.
Numere complexe4+2i35iNumere reale512,23Numere imaginare5i12,2i3i\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Numere complexe} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Numere reale} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12{,}2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Numere imaginare} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12{,}2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

Întrebare reflectivă

Următoarea afirmaţie este adevărată sau falsă?
Orice număr complex este fie real, fie imaginar.
Alege un răspuns:

Exemple

În tabelul de mai jos am clasificat mai multe numere ca fiind reale, pur imaginare şi/sau complexe.
Real(b=0)\begin{aligned}&\text{Real}\\&(b=0)\end{aligned}Imaginar(a=0)\begin{aligned}&\text{Imaginar}\\&(a=0)\end{aligned}Complex(a+bi)\begin{aligned}&\text{Complex}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Să observăm că toate numerele din tabel sunt numere complexe! Acest lucru este adevărat în general!

Acum încearcă și tu!

Problema 4
Ce fel de număr este minus, 2, plus, 3, i?
Selectează toate variantele corecte:

Problema 5
Ce fel de număr este 10, comma, 2?
Selectează toate variantele corecte:

Problema 6
Ce fel de număr este minus, 17, i?
Selectează toate variantele corecte:

De ce sunt importante aceste numere?

Și totuși, de ce studiem numerele complexe? Crezi sau nu, numerele complexe au multe aplicații - să numim acum doar ingineria electrică și mecanica cuantică!
Din punct de vedere pur matematic, un lucru grozav pe care ni-l permit numerele complexe este rezolvarea oricărei ecuaţii polinomiale.
De exemplu, ecuația polinomială x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 nu are soluții reale și nici soluții imaginare. Cu toate acestea, are două soluţii complexe. Acestea sunt 1, plus, 2, i şi 1, minus, 2, i.
Pe măsură ce continuăm studiul matematicii, vom afla mai multe despre aceste numere şi despre utilizările lor.