If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 4

Lecția 1: Definirea numerelor complexe
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Numere complexe
Definirea numerelor complexe
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Puterile unității imaginare

Clasa Google
Învață cum să simplifici orice putere a unității imaginare i. De exemplu, simplifică i²⁷ ca -i.
Știm că i, equals, square root of, minus, 1, end square root și i, squared, equals, minus, 1.
Dar ce știm despre i, cubed și i, start superscript, 4, end superscript? Sau despre alte puteri ale lui i? Cum le putem calcula?

Determinarea lui i, cubed și i, start superscript, 4, end superscript

Aici ne putem folosi de puterile exponenților. De fapt, pentru a calcula puterile lui i, putem aplica proprietățile exponenților pe care le cunoaștem de la numerele reale, atât timp cât exponenții sunt numere întregi.
Având în vedere acest lucru, hai să găsim i, cubed și i, start superscript, 4, end superscript.
Știm că i, cubed, equals, i, squared, dot, i. Dar, pentru că i, squared, equals, minus, 1, observăm că:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}
În mod similar, i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Din nou, folosind faptul că i, squared, equals, minus, 1, avem următoarele:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

Mai multe puteri ale lui i

Să continuăm! Hai să găsim următoarele 4 puteri ale lui i folosind o metodă similară.
i5=i4⋅iProprieta˘ți ale exponenților=1⋅iDeoarece i4=1=ii6=i4⋅i2Proprieta˘ți ale exponenților=1⋅(−1)Deoarece i4=1 and i2=−1=−1i7=i4⋅i3Proprieta˘ți ale exponenților=1⋅(−i)Deoarece i4=1 and i3=−i=−ii8=i4⋅i4Proprieta˘ți ale exponenților=1⋅1Deoarece i4=1=1\begin{aligned} i^5 &= {i^4\cdot i}&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &=1\cdot i&&{\gray{\text{Deoarece }i^4=1}} \\\\ &= \blueD i \\\\ \\\\ i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &=1\cdot (-1)&&{\gray{\text{Deoarece }i^4=1\text{ and }i^2=-1}} \\\\ &=\greenD{-1} \\\\ \\\\ i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &=1\cdot (-i)&&{\gray{\text{Deoarece }i^4=1\text{ and }i^3=-i}} \\\\ &=\purpleD{-i} \\\\ \\\\ i^8 &= {i^4\cdot i^4}&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &=1\cdot 1&&{\gray{\text{Deoarece }i^4=1}} \\\\ &=\goldD 1 \end{aligned}
În tabel punem sinteza rezultatelor.
i, start superscript, 1, end superscripti, squaredi, cubedi, start superscript, 4, end superscripti, start superscript, 5, end superscripti, start superscript, 6, end superscripti, start superscript, 7, end superscripti, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10start color #11accd, i, end color #11accdstart color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54start color #7854ab, minus, i, end color #7854abstart color #e07d10, 1, end color #e07d10

Model repetitiv

Din tabel, observăm că puterile lui i formează secvența repetitivă start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab și start color #e07d10, 1, end color #e07d10.
Folosind acest model, putem găsi i, start superscript, 20, end superscript? Hai să încercăm!
Următoarea listă afișează primele 20 numere din secvența repetitivă.
start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10
Conform acestui raționament, i, start superscript, 20, end superscript ar trebui să fie egal cu start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Să vedem dacă putem susține asta folosind exponenți. Amintește-ți că putem folosi proprietăţile exponenţilor aici, exact ca la numerele reale!
i20=(i4)5Proprieta˘ți ale exponenților=(1)5i4=1=1Simplifica˘m\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &= (1)^5 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &= \goldD 1 &&{\gray{\text{Simplificăm}}} \end{aligned}
În orice caz, vedem că i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Puteri mai mari ale lui i

Acum să presupunem că vrem să determinăm i, start superscript, 138, end superscript. Am putea scrie secvența start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... până la al 138, start text, negative, l, e, a, end text termen, dar ne-ar lua prea mult timp!
Totuși, să observăm că i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, etc. sau, cu alte cuvinte, i ridicat la un multiplu de 4 este 1.
Putem folosi această observație împreună cu proprietățile exponenților pentru a-l simplifica pe i, start superscript, 138, end superscript.

Exemplu

Simplifică i, start superscript, 138, end superscript.

Soluție

Chiar dacă 138 nu este multiplu al lui 4, numărul 136 este. Așa că vom folosi asta pentru a-l simplifica pe i, start superscript, 138, end superscript.
i138=i136⋅i2Proprieta˘ți ale exponenților=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Proprieta˘ți ale exponenților=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1\begin{aligned} i^{138}&=i^{136}\cdot i^2&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&{\gray{\text{Proprietăți ale exponenților}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &=1\cdot -1&&{\gray{i^2=-1}} \\\\ &=-1 \end{aligned}
Deci i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.
Te-ai putea întreba de ce am ales să îl scriem pe i, start superscript, 138, end superscript ca i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared.
Ei bine, dacă puterea inițială nu este multiplu de 4, atunci găsim cel mai apropiat multiplu de 4 care este mai mic și care ne permite să coborâm cu puterea la i, i, squared sau i, cubed doar folosind faptul că i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.
Este ușor de găsit acest număr dacă împărțim exponentul dat la 4. Este exact câtul împărțirii (fără rest) ori 4.

Să exersăm cu niște probleme!

Problema 1

Simplifică i, start superscript, 227, end superscript.

Problema 2

Simplifică i, start superscript, 2016, end superscript.

Problema 3

Simplifică i, start superscript, 537, end superscript.

Problemă provocare

Care dintre următoarele este echivalentă cu i, start superscript, minus, 1, end superscript?
Alege un răspuns:

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.