If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 4

Lecția 4: Modulul unui număr complex
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Numere complexe
Modulul unui număr complex
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Recapitulare modulul și argumentul unui număr complex

Clasa Google
Recapitulăm cunoștințele despre numere complexe: modul și argument. Transformăm între coordonate carteziene și coordonate polare.
Modulul lui a, plus, b, i\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
Argumentul lui a, plus, b, itheta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Forma algebrică din modulul r și argumentul thetar, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, r, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, dot, i

Ce sunt modulul și argumentul unui număr complex?

Obișnuim să scriem numerele complexe în forma algebrică, din care obținem partea start color #11accd, start text, r, e, a, l, a, with, \u, on top, end text, end color #11accd și partea start color #1fab54, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, a, with, \u, on top, end text, end color #1fab54. Spre exemplu, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Putem reprezenta numerele în planul complex în funcție de părțile lor:
Folosind graficul, există și un alt mod de a descrie numerele complexe — start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, l, end text, end color #e07d10 și start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, u, l, end text, end color #aa87ff:
start color #e07d10, start text, V, a, l, o, a, r, e, a, space, a, b, s, o, l, u, t, a, with, \u, on top, end text, end color #e07d10, sau start color #e07d10, start text, m, o, d, u, l, u, l, end text, end color #e07d10, dă distanța numărului față de origine în planul complex, pe când start color #aa87ff, start text, u, n, g, h, i, u, l, end text, end color #aa87ff, sau start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, m, e, n, t, u, l, end text, end color #aa87ff, este unghiul pe care numărul îl formează cu sensul pozitiv al axei reale.
Valoarea absolută a unui număr complex z este scrisă în același mod ca valoarea absolută a unui număr real, vertical bar, z, vertical bar.
Vrei să înveti mai multe despre valoarea absolută și unghiul numerelor complexe? Vezi acest video.

Setul de antrenament 1: Aflarea modulului (valorii absolute)

Pentru a afla valoarea absolută a unui număr complex, luăm rădăcina pătrată din suma pătratelor părților sale (acesta este un rezultat direct al Teoremei lui Pitagora):
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Spre exemplu, valoarea absolută a lui start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i este square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5.
Problema 1.1
  • Actual
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Dă un răspuns exact.

Vrei să încerci mai multe probleme ca aceasta? Vezi acest exercițiu.

Setul de antrenament 2: Aflarea argumentului (unghiului)

Pentru a afla argumentul unui număr complex, luăm inversa tangentei raportului părților lui:
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis
Aceasta rezultă folosind trigonometria în triunghiul dreptunghic format de număr și axa reală.

Exemplul 1: Cadran start text, I, end text

Să aflăm unghiul lui start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Exemplul 2: Cadranul start text, I, I, end text

Să aflăm unghiul lui start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i. Mai întâi, observăm că start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i este în Cadranul start text, I, I, end text.
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees este în Cadranul start text, I, V, end text, nu în Cadranul start text, I, I, end text. Trebuie să adăugăm 180, degrees pentru a obține unghiul opus:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Problema 2.1
  • Actual
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Rotunjește răspunsul, daca este necesar, la cea mai apropiată zecime. Exprimă theta între minus, 180, degrees și 180, degrees.

Vrei să încerci mai multe probleme ca aceasta? Vezi acest exercițiu.

Setul de antrenament 3: Forma algebrică din modul și argument

Pentru aflarea părților reală și imaginară ale unui număr complex din valoarea lui absolută și unghi, înmulțim valoarea absolută cu sinusul sau cosinusul unghiului:
start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #11accd, a, end color #11accd, end superscript, plus, start overbrace, start color #e07d10, r, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, end overbrace, start superscript, start color #1fab54, b, end color #1fab54, end superscript, dot, i
Aceasta rezultă folosind trigonometria în triunghiul dreptunghic format de număr și axa reală.
Spre exemplu, aceasta este forma algebrică a numărului complex al cărui modul este start color #e07d10, 2, end color #e07d10 și argument este start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff:
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Problema 3.1
  • Actual
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 și theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3, slash, 5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7, slash, 4
  • un număr compus, precum 1, space, 3, slash, 4
  • un număr zecimal exact, precum 0, comma, 75
  • un multiplu al lui pi, precum 12, space, start text, p, i, end text sau 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Rotunjește răspunsurile tale la cea mai apropiată miime.

Vrei să încerci mai multe probleme ca aceasta? Vezi acest exercițiu.

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.