If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Înmulțirea numerelor complexe

Învață să înmulțești două numere complexe. De exemplu, înmulțește (1+2i)⋅(3+i).
Un număr complex este orice număr care poate fi scris sub forma a+bi, unde i este unitatea imaginară, iar a și b sunt numere reale.
Când înmulțim numerele complexe este util, să reamintim ca proprietățile folosite cân operăm aritmetric cu numere reale funcționează asemănător pentru numere complexe.
Uneori, este util să privim pe i ca variabilă, cum ar fi x. Apoi, cu puține ajustări la final, putem înmulți chiar cum ne-am așteptat. Hai să privim mai atent la aceasta, trecând prin câteva exemple.

Înmulțirea unui număr real cu un număr complex

Exemple

Înmulțește 4(13+5i). Scrie numărul rezultat sub forma a+bi.

Soluție

Dacă instinctul îți spune să distribui pe 4, ai încredere căci este corect! Hai să facem așa!
4(13+5i)=4(13)+(4)(5i)=5220i
Și asta este! Am folosit proprietatea de distributivitate pentru înmulțirea unui număr real cu un număr complex. Să încercăm ceva puțin mai complicat.

Înmulțirea unui număr pur imaginar cu un număr complex

Exemple

Înmulțește 2i(38i). Scrie numărul rezultat sub forma a+bi.

Soluție

Din nou, să începem cu distribuirea lui 2i fiecărui termen din paranteză.
2i(38i)=2i(3)2i(8i)=6i16i2
În acest punct, răspunsul nu este de forma a+bi deoarece el conține i2.
Oricum, știm că i2=1. Să înlocuim și să vedem unde ajungem.
2i(38i)=6i16i2=6i16(1)=6i+16
Folosind proprietatea de comutativitate, putem scrie răspunsul ca 16+6i și avem 2i(38i)=16+6i.

Verifică dacă ai înțeles

Problema 1

Înmulțește 3(2+10i).
Scrie răspunsul în forma a+bi.

Problema 2

Înmulțește 6i(5+7i).
Scrie răspunsul în forma a+bi.

Excelent! Acum suntem gata să mai facem un pas! Ceea ce urmează este cazul cel mai uzual pe care îl vei întâlni când ți se cere să înmulțești numere complexe.

Înmulțirea a două numere complexe

Exemple

Înmulțește (1+4i)(5+i). Scrie numărul rezultat sub forma a+bi.

Soluție

În acest exemplu, vedem că este foarte util să considerăm pe i ca variabilă.
În fapt, procesul înmulțirii acestor două numere complexe este foarte asemănător cu înmulțirea a două binoame. Înmulțim fiecare termen din primul număr cu fiecare termen din al doilea număr.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2
Deoarece i2=1, putem înlocui i2 cu 1 pentru a obține forma dorită de a+bi.
(15i)(6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(1)=5+21i4=1+21i

Verifică dacă ai înțeles

Problema 3

Înmulțește (1+2i)(3+i).
Scrie răspunsul în forma a+bi.

Problema 4

Înmulțește (4+i)(73i).
Scrie răspunsul în forma a+bi.

Problema 5

Înmulțește (2i)(2+i).
Scrie răspunsul în forma a+bi.

Problema 6

Înmulțește (1+i)(1+i).
Scrie răspunsul în forma a+bi.

Probleme provocare

Problema 1

Fie a și b numere reale. Cât este (abi)(a+bi)?

Problema 2

Efectuează operațiile indicate și simplifică. (1+3i)2(2+i)
Scrie răspunsul sub forma a+bi.