Planul complex

Unitatea imaginară, sau $i$i, este numărul cu următoarele proprietăți echivalente:

Un număr complex este orice număr care poate fi scris sub forma $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, unde $i$i este unitatea imaginară, iar $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 și $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd sunt numere reale.

$\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 se numește partea $\greenD{\text{reală}}$start color #1fab54, start text, r, e, a, l, a, with, \u, on top, end text, end color #1fab54 a numărului, iar $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd se numește partea $\blueD{\text{imaginară}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, r, a, with, \u, on top, end text, end color #11accd a numărului.

Așa cum am folosit axa numerelor pentru a vizualiza mulțimea numerelor reale, putem folosi planul complex pentru vizualizarea mulțimii numerelor complexe.

Planul complex este reprezentat cu ajutorul a două drepte de numere care se intersectează sub un unghi drept în punctul $(0,0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

Axa orizontală de numere (pe care o cunoaștem ca axa O$x$x într-un plan cartezian) este axa reală.

Axa verticală de numere (axa O$y$y într-un plan cartezian) este axa imaginară.

Fiecare număr complex poate fi reprezentat printr-un punct în planul complex.

Spre exemplu, considerăm numărul $3-5i$3, minus, 5, i. Acest număr, care poate fi exprimat ca $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, are partea reală $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 și partea imaginară $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

Localizarea acestui număr în planul complex este punctul care corespunde lui $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 pe axa reală și $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd pe axa imaginară.

Deci numărul $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i este asociat cu punctul $(\greenD{3}, \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. În general, numărul complex $\greenD a+\blueD bi$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corespunde punctului $(\greenD a,\blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis în planul complex.

Pe vremea lui Pitagora, existența numerelor iraționale a fost o descoperire surprinzătoare! Oamenii se întrebau cum poate exista ceva ca $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root, fără o exprimare zecimală exactă și completă.

În acest context, axa numerelor reale a ajutat la elucidarea acestei dileme. De ce? Deoarece $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root are o anumită poziție pe axa numerelor reale, arătând că numărul este într-adevăr un număr real. (Dacă se ia diagonala unui pătrat unitate și plasăm un capăt în $0$0, celălalt capăt corespunde numărului $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root.)

De asemenea, putem confirma existența oricărui număr complex prin poziția sa exactă în planul complex! Probabil că vizualizarea acestor numere ne-ar face să credem că denumirea de numere "imaginare" a fost o denumire neinspirată.

Numerele complexe există și sunt o parte importantă a matematicii. Axa numerelor reale este chiar axa reală din planul complex, dar există mult mai multe lucruri interesante, dincolo de această dreaptă!