Conţinutul principal

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 2

Lecția 2: Formule explicite și formule recurente

Transformarea formelor recurente și explicite ale progresiilor aritmetice

Înveți cum să transformi formele recurente ale progresiilor aritmetice în forme explicite și vice versa.

Înainte de a parcurge lecția, asigură-te că știi cum să determini formulele recurente și formulele explicite ale progresiilor aritmetice.

Transformarea unei formule recurente într-o formulă explicită

O progresie aritmetică are următoarea formulă recurentă:

${\begin{cases} a (1) = 3 \\ a (n) = a (n - 1) + 2 \end{cases}$ ‍

Amintește-ți că această formulă ne oferă următoarele informații:

Primul termen este $3$ ‍
Pentru a obține orice termen pornind de la termenul anterior, se adună $2$ ‍. Cu alte cuvinte, rația este $2$ ‍.

Haide să găsim o formulă explicită pentru acest șir.

Ține minte că putem scrie un șir pentru care primul termen este egal cu

A

și a cărui rație este

B

cu ajutorul formei explicite generale

A + B (n - 1)

Așadar, o formulă explicită a șirului este

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Verifică dacă ai înțeles

1) Scrie o formulă explicită pentru acest șir.

{\begin{cases} b (1) = - 22 \\ b (n) = b (n - 1) + 7 \end{cases}

b (n) =

2) Scrie o formulă explicită pentru acest șir.

{\begin{cases} c (1) = 8 \\ c (n) = c (n - 1) - 13 \end{cases}

c (n) =

Transformarea unei formule explicite într-o formulă recurentă

Exemplul 1: Formula este dată sub formă generală

Se dă următoarea formulă explicită a unei progresii aritmetice.

$d (n) = 5 + 16 (n - 1)$ ‍

Această formulă este dată sub forma explicită generală

A + B (n - 1)

unde

A

este primul termen și

B

este rația. Așadar,

primul termen al șirului este $5$ ‍, iar
rația este $16$ ‍.

Haide să determinăm o formulă recurentă pentru șir. Amintește-ți că formula recurentă ne oferă două informații:

Primul termen $($ ‍despre care știm că este $5)$ ‍
Regula pe baza căreia obținem orice termen cu ajutorul termenului său anterior $($ ‍despre care știm că este "se adună $16$ ‍" $)$ ‍

Așadar, aceasta este o formulă recurentă a șirului.

{\begin{cases} d (1) = 5 \\ d (n) = d (n - 1) + 16 \end{cases}

Exemplul 2: Formula este dată sub formă simplificată

Se dă următoarea formulă explicită a unei progresii aritmetice.

$e (n) = 10 + 2 n$ ‍

Observă că această formulă nu este dată sub forma explicită generală

A + B (n - 1)

Din acest motiv, nu putem folosi pur şi simplu structura formulei pentru a afla primul termen şi rația. În schimb, putem determina primii doi termeni:

$e (1) = 10 + 2 \cdot 1 = 12$ ‍
$e (2) = 10 + 2 \cdot 2 = 14$ ‍

Acum putem observa că primul termen este

12

și rația este

2

Așadar, aceasta este o formulă recurentă a șirului.

{\begin{cases} e (1) = 12 \\ e (n) = e (n - 1) + 2 \end{cases}

Verifică dacă ai înțeles

3) Formula explicită a unei progresii aritmetice este

f (n) = 5 + 12 (n - 1)

Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.

{\begin{cases} f (1) = A \\ f (n) = f (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍

4) Formula explicită a unei progresii aritmetice este

g (n) = - 11 - 8 (n - 1)

Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.

{\begin{cases} g (1) = A \\ g (n) = g (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍

5) Formula explicită a unei progresii aritmetice este

h (n) = 1 + 4 n

Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.

{\begin{cases} h (1) = A \\ h (n) = h (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍

6) Formula explicită a unei progresii aritmetice este

i (n) = 23 - 6 n

Completează valorile necunoscute din formula recurentă a șirului.

{\begin{cases} i (1) = A \\ i (n) = i (n - 1) + B \end{cases}


$A =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Your answer should be un întreg, precum $6$ ‍ o fracție subunitară ireductibilă, precum $3 / 5$ ‍ o fracție supraunitară simplificată, precum $7 / 4$ ‍ un număr compus, precum $1 3 / 4$ ‍ un număr zecimal exact, precum $0, 75$ ‍ un multiplu al lui pi, precum $12 pi$ ‍ sau $2 / 3 pi$ ‍

Problemă provocare

7*) Alege toate formulele care descriu corect progresia aritmetică $101, 114, 127, …$ ‍

Primul termen al șirului este

101

, iar rația este

13

Așadar, aceasta este formula recurentă corectă a șirului.

${\begin{cases} j (1) = 101 \\ j (n) = j (n - 1) + 13 \end{cases}$ ‍

Celelalte formule recurente au un prim termen greşit.

Aceasta este formula explicită generală pentru șir.

$j (n) = 101 + 13 (n - 1)$ ‍

O putem simplifica pentru a determina o altă formulă corectă.

$\begin{aligned} j (n) & = 101 + 13 (n - 1) \\ = 101 + 13 n - 13 \\ = 88 + 13 n \end{aligned}$ ‍

Celelalte formule explicite nu sunt echivalente cu formula de mai sus și, prin urmare, sunt incorecte.

În concluzie, formulele corecte sunt următoarele:

${\begin{cases} j (1) = 101 \\ j (n) = j (n - 1) + 13 \end{cases}$ ‍
$j (n) = 101 + 13 (n - 1)$ ‍
$j (n) = 88 + 13 n$ ‍

Vrei să te alături conversației?

Conectare

Ordonare după:

Nici o postare încă.

Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.