If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Dacă sunteţi în spatele unui filtru de web, vă rugăm să vă asiguraţi că domeniile *. kastatic.org şi *. kasandbox.org sunt deblocate.

Conţinutul principal

Recapitulare pentru BAC

Curs: Recapitulare pentru BAC > Unitatea 2

Lecția 2: Formule explicite și formule recurente
Matematică
Recapitulare pentru BAC
Progresii
Formule explicite și formule recurente
© 2023 Khan AcademyCondiții de utilizarePolitica de confidenţialitateNotificare Cookie

Formule explicite ale progresiilor aritmetice

Clasa Google
Înveți cum să determini formule explicite pentru progresii aritmetice. De exemplu, determină formula explicită a șirului 3, 5, 7,...
Înainte de a parcurge lecția, asigură-te că știi noțiunile de bază despre formulele progresiilor aritmetice.

Cum funcționează formulele explicite?

Iată o formulă explicită a șirului 3,5,7,…
a(n)=3+2(n−1)
În formulă, n este indicele unui termen oarecare și a(n) este al nlea termen.
Această formulă ne permite să înlocuim pur și simplu variabila cu indicele termenului care ne interesează pentru a obține valoarea termenului respectiv.
Pentru a determina al cincilea termen, de exemplu, trebuie să înlocuim n=5 în formula explicită.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
Super! Acesta este, de fapt, al cincilea termen al șirului 3,5,7,…

Verifică dacă ai înțeles

1) Determină b(10) în șirul dat prin b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Scrierea formulelor explicite

Fie progresia aritmetică 5,8,11,… Primul termen al șirului este 5 și rația este 3.
Putem obține orice termen din șir adăugând la primul termen, 5, valoarea rației, 3, în mod repetat. Observă, de exemplu, următoarele calcule ale primilor câțiva termeni.
nCalculul celui de-al nlea termen
15=5+0⋅3=5
25+3=5+1⋅3=8
35+3+3=5+2⋅3=11
45+3+3+3=5+3⋅3=14
55+3+3+3+3=5+4⋅3=17
Tabelul demonstrează că putem obține al nlea termen (unde n este indicele oricărui termen) adunând la primul termen, 5, rația, 3, în mod repetat, de n−1 ori. Acest lucru poate fi scris algebric sub forma 5+3(n−1).
În general, formula explicită standard a unei progresii aritmetice cu primul termen A și rația B este următoarea:
A+B(n−1)

Verifică dacă ai înțeles

2) Scrie o formulă explicită pentru șirul 2,9,16,….
d(n)=

3) Scrie o formulă explicită pentru șirul 5,9,1,….
e(n)=

4) Formula explicită a unui șir este f(n)=−6+2(n−1).
Care este primul termen al șirului?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi
Care este rația?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Formule explicite echivalente

Formulele explicite se pot regăsi în mai multe forme.
De exemplu, următoarele sunt toate formule explicite pentru șirul 3,5,7,….
  • 3+2(n−1) (aceasta este formula standard)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
Poate că formulele arată diferit, dar important este că putem înlocui n în formulă și obținem valoarea corectă a celui de-al nlea termen (încearcă și tu să demonstrezi că celelalte formule sunt corecte!).
Formulele explicite diferite care descriu același șir se numesc formule echivalente.

O greșeală frecventă

O progresie aritmetică poate avea diferite formule echivalente, dar este important să ne amintim că numai forma standard ne oferă primul termen și rația.
De exemplu, secvența 2,8,14,… are primul termen egal cu 2 și rația egală cu 6.
Formula explicită 2+6(n−1) descrie acest șir, însă formula explicită 2+6n descrie alt șir.
Pentru a aduce formula 2+6(n−1) la o formulă echivalentă de forma A+Bn, putem extinde parantezele și simplifica expresia:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Unii ar putea prefera formula −4+6n în locul formulei echivalente 2+6(n−1), deoarece este mai scurtă. Partea bună a formulei mai lungi este că ne oferă primul termen.

Verifică dacă ai înțeles

5) Determină toate formulele explicite corecte ale șirului 12,7,2,…
Selectează toate variantele corecte:

Probleme provocare

6*) Determină al 124lea termen al progresiei aritmetice 199,196,193,…
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

7*) Primul termen al unei progresii aritmetice este 5 și al zecelea termen este 59.
Care este rația?
  • Your answer should be
  • un întreg, precum 6
  • o fracție subunitară ireductibilă, precum 3/5
  • o fracție supraunitară simplificată, precum 7/4
  • un număr compus, precum 1 3/4
  • un număr zecimal exact, precum 0,75
  • un multiplu al lui pi, precum 12 pi sau 2/3 pi

Vrei să te alături conversației?

Conectare
Nici o postare încă.
Înțelegi engleza? Dă clic aici pentru a vedea mai multe discuții care au loc pe site-ul în limba engleză al Khan Academy.